高中数学必修五第三章

不等式知识点归纳

一、两实数大小的比较： 0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧)0,1n n a b a b n n >>>∈N >． 三、基本不等式定理

1、整式形式：①()2

2

2,a b ab a b R +≥∈；②()22

,2

a b ab a b R +≤∈；

③()20,02a b ab a b +??

≤>> ???

；④()2

22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???

2、根式形式：①

2a b

ab +≥（0a >，0b >）②a+b ≤)a 222b +（ 3、分式形式：a b +b

a

≥2（a 、b 同号）

4、倒数形式：a>0?a+a 1≥2 ；a<0?a+a

1

≤-2

四、公式：b

1a 12

+≤ab ≤2b

a +≤

2

2

2b a + 五、极值定理：设x 、y 都为正数，则有

⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

4

s ．

⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ． 六、解不等式

1、一元一次不等式： ax>b （a ≠0）的解：当a>0时，x>

a b ；当a<0时，x

b

；

2、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式2

4b ac ?=-

0?> 0?= 0?<

二次函数2

y ax bx c =++

()0a >的图象

一元二次方程2

0ax bx c ++=

()0a >的根

有两个相异实数根

1,22b x a

-?=

()12x x <

有两个相等实数根

122b x x a

==-

没有实数根

一元二次不等式的解集

20ax bx c ++>

()0a >

{}

1

2

x x x x x <>或

2b x x a ??≠-???

?

R

20ax bx c ++<

()0a >

{}1

2x x

x x <<

? ?

4、解一元二次不等式步骤：一化：化二次项前的系数为整数

二判：判断对应方程的根，三求：求对应方程的根，四画：画出对应函数的图像，五解集：根据图像写出不等式的解集 5、解分式不等式：

)()(f x g x >0?f(x)g(x)>0 ; )()

(f x g x ≤0????≠≤0

)(0)()(f x g x g x 6、解高次不等式：(x-1a )(x-2a )…（x-n a ）>0

7、解含参数的不等式：解形如a 2x +bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：（1）讨论a 与0的大小（2）讨论?与0的大小（3）讨论两根的大小 七、一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解。

1、1x <2x

???>?<->0

20

)(k a b k f

2、k <1x <2x ?????

???>?>->0

20)(k a b k f

3、1x

4、1k <1x <2x <2k ????

?

?

????<-<>?>>2121200

)(0)k k a b k k f f （

5、、1x <1k <2k <2x ???

?>>0

)(0

)k 21k f f （

6、1k <1x <2k <2x <3k ? ??

?

??><>0

)(0)(0)k 321k f k f f （

八、线性规划问题 1、定义：

线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件． 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ． 可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解

2、区域判断

在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．

在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．

①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线

0x y C A +B +=下方的区域．

②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线

0x y C A +B +=上方的区域．

3、解线性规划问题的一般步骤

第一步：在平面直角坐标系中做出可行域 第二步：在可行域内找出最优解所对应的点

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值