2018年山东省潍坊市安丘市中考试卷(含答案解析)

2018年山东省潍坊市安丘市中考试卷

副标题

题号一二三四总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.下列计算正确的是()

3=2 B. |√3?2|=2?√3

A. √6

C. (a3)2=a5

D. √3+√2=√5

2.“慈母手中线，游子身上衣”，以前用来缝衣服的针的直径为0.532毫米，那么0.532

毫米用科学记数法表示为()

A. 5.32×10?4米

B. 5.32×10?3米

C. 5.32×10?5米

D. ?5.32×10?3米

3.如图是由若干个大小相同的立方体搭成的几何体的俯视图，小正方

形中的数字表示该位置的立方体的个数，则这个几何体的左视图是

()

A. B. C. D.

4.实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是()

A. d表示的数可以是?√3

B. c?b>0

C. √(c?a)2=a?c

D. |b|?|a|=a?b

5.如图，在直角坐标系中AB垂直于y轴，垂足为A，CD垂直

于y轴，垂足为D，且点D的坐标为(0,?1)，sinB=1

，则

3

点C的坐标为()

A. (?1,?3)

B. (?3,?1)

C. (?2√2,?1)

D. (?1,?2√2)

6.关于x的一元二次方程kx2?2x+1?x2=0有两个实数根，则k的非负整数解有

几个()

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

7.选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他们成

?2

甲乙丙丁

x ?

12″33 10″26 10″26 15″29 S 2

1.1

1.1

1.3

1.6

如果选拔一名学生去参赛，应派( )去． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8. 一次函数y =kx +k ?1与反比例函数y =

k 2?1x

(k 为常数)，它们在同一坐标系中的

图象可以是( )

A.

B.

C.

D.

9. 关于x 的一元一次不等式组{2x ?1<3(x ?1)x

有三个整数解，则m 的取值范围是

( )

A. 5≤m <6

B. 5

C. 5≤m ≤6

D. 5

10. 如图，在Rt △ABC 中，

∠ACB =90°，AC =6.AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A. 3 B. 4 C. 3√3 D. 2√3

11. 如图，在直角坐标系中，圆经过

点O ，与X 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且A(0,2)，B(2√3,0)，则图中阴影部分的面积为( )

A. 43π?√32

B. 4

3π?√3

C. 32π?√32

D. 3

2π?√3

12. 二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x =?1，下列结

论：(1)abc <0；(2)b 2>4ac ；(3)3a +2c =0；(4)5a +3b +2c <0.其中正确的有几个( )

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.分解因式：?2x2y?6xy?4y=______

14.对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a,b}表示a，b中的较大值，如

max{?3,4}=4，按照这个规定，方程max{x,?x}=3x+2

x

的解为______．

15.已知|a?1|与√b?2互为相反数，则2ab+2

(a+1)(b+1)+2

(a+2)(b+2)

+?+

2

(a+2018)(b+2018)

的值为______．

16.某景区有一复古建筑，其窗户的设计如图所示．圆O的圆心

与矩形的对角线交点重合，且圆与矩形上下两边相切(切点为

E)与AD交于F，G两点，图中阴影部分为不透光区域，其余

部分为透光区域，已知圆的半径为2.若∠EOF=45°，则窗户的透光率为______．

17.如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=k

x

在第一

象限内交于点C(3,1)，则当x>0时，ax+b?k

x

>0的解集为______．

18.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=√3

2x?√3

2

与x轴交于点B1，以OB1为边长

作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2018的横坐标是______．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

19. (1)关于x ，y 的方程组{2x +y =m

x +2y =3m +1

满足x +y =5，求m 的值．

(2)关于x 的一元二次方程x 2?(m ?1)x ?m =0的两个根x 1，x 2满足x 12+x 22=5，求1

x 1

+1

x 2

的值．

四、解答题（本大题共6小题，共58.0分） 20. 学校九年级一班组织读书月活动，班委会对学生读的书籍进

行调查问卷，问卷设置了“小说”“散文”“诗歌”“其他”四个类型，每个同学只选一项，根据调查结果制作的频数分布表和扇形统计图．

类别 频数(人数) 频率 小说 ______ 0.4 诗歌 5 ______ 散文 ______ ______ 其他 8 0.16

总计

______

1

(2)若全校九年学生有500名，则估测全校九年级学生喜爱读小说的有几人？ (3)现有ABCD 四名学生，在其选出2名学生参加诗歌演讲，请用画树状图或列表法的方法，求恰好抽中A 和B 的概率．

21.如图，小明想测量楼CD的高度，他先从楼的底端C地以2

米每秒的速度走了100米到达坡度为1：2的山坡的底端E

处，又以1米每秒的速度爬到了山坡的顶端A处，从C到A

整个过程总共用了3分钟，在A处测得楼的顶端D的仰角

为30度，则楼CD的高度是多少？(结果保留整数√3≈1.7，

√5≈2.2)

22.某学校要修建一座文化长廊，有甲乙两个工程队，甲单独干需要12天，如果由甲

单独干3天，剩下的甲乙合作3天可以完成．甲队每天的工程费为3000元，乙队的比甲多1800元．要使该工程在6天内完成，如何安排甲乙两队的时间才能使总费用最低？最低费用是多少？

23.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，

交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求△OAF的面积．

24.如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，

且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．

(1)猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．

(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，

连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．

25.如图，在直角坐标系中，二次函数经过A(?2,0)，

B(2,2)，C(0,2)三个点．

(1)求该二次函数的解析式．

(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当D

点坐标为何值时，△ACD的周长最小？

(3)在直线y=x上是否存在一点E，使得△ACE为直

角三角形？有，请求出E点坐标；没有，说明理由．

答案和解析

1.【答案】B

3=2，错误；

【解析】解：A、√8

B、|√3?2|=2?√3，正确；

C、(a3)2=a6，错误；

D、√3+√2=√3+√2，错误；

故选：B．

根据立方根、幂的乘方与积的乘方解答即可．

此题考查立方根、幂的乘方与积的乘方，关键是根据立方根、幂的乘方与积的乘方解答．2.【答案】A

【解析】解：0.532毫米=0.000532米=5.32×10?4米．

故选：A．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10?n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10?n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3.【答案】A

【解析】解：从左边看有3列，第一列有3行，第二列有1行，第三列有2行，

故选：A．

根据左视图的定义画出左视图即可．

本题考查三视图，解题的关键是理解三视图的意义，属于中考常考题型．

4.【答案】C

【解析】解

依题意

选项A，∵1<√3<2，∴?2

选项B，∵|c|>|b|，∴两数相减，符号取决绝对较的数，故c?b<0，选项错误

选项C，∵|c|>|a|，∴√(c?a)2=a?c，选项正确

选项D，∵b，a均为正数，∴绝对值为它们本身，故|b|?|a|=b?a，选项错误

故选：C．

根据数轴上点的位置，可以看出c

此题考查的是数轴上的点的表示，实数都可以在数轴上一一表示；数轴上的点从左至右依次增大，负数在原点的左边，原点右边的为正数．正数的绝对值是它本身．

5.【答案】C

【解析】解：∵AB⊥y轴，CD⊥y轴，

∴AB//CD

∴∠B=∠C

∵点D的坐标为(0,?1)，

∴OD=1

∵sinB =1

3， ∴sinC =1

3=

OD OC

，

∴OC =3

∴CD =√OC 2?OD 2=2√2

∴点C 坐标为(?2√2,?1) 故选：C ．

由题可证AB//CD ，可得∠B =∠C ，即sinB =sinC =1

3=OD

OC ，可求OC 的长，由勾股定理可求CD 的长，即可得点C 的坐标．

本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练运用锐角三角函数解决问题是本题的关键．

6.【答案】C

【解析】解：kx 2?2x +1?x 2=0， (k ?1)x 2?2x =1=0，

由题意可知：(?2)2?4(k ?1)≥0且k ≠1， 解得k ≤2，

由于k 为非负整数， ∴k =0或2， 故选：C ．

根据一元二次方程的定义和根的判别式即可k 的值．

本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 7.【答案】B

【解析】解：∵x 丁?

>x 甲?

>x 丙?

=x 乙?

， ∴从乙和丙中选择一人参加比赛，

∵S 乙2

∴选择乙参赛， 故选：B ．

首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．

此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 8.【答案】B

【解析】【分析】

根据题目中的函数解析式和一次函数的性质、反比例函数的性质可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．

本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【解答】

解：一次函数y =kx +k ?1=k(x +1)?1一定过点(?1,?1)，故选项C 、D 错误，

当k>1时，反比例函数y=k2?1

x

的图象在第一、三象限，一次函数y=kx+k?1经过第一、二、三象限，故选项A错误，

当0

x

的图象在第二、四象限，一次函数y=kx+k?1经过第一、三、四象限，故选项B正确，

故选：B．

9.【答案】D

【解析】解：{2x?1<3(x?1)?①x

由①得：x>2，

由②得：x

则不等式组的解集是：2

不等式组有三个整数解，则整数解是3，4，5．

则5

故选：D．

先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．

本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解此题的关键是能得出关于m的不等式组．

10.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称，解决最短问题．

作CG⊥AD于G，并延长交AB于H，连接HF交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，CE+EF的最小值=FH，解直角三角形即可得到结论．

【解答】

解：作CG⊥AD于G，并延长交AB于H，连接HF交AD于E，

∵AD平分∠CAB，

∴C，H关于AD对称，

则此时，CE+EF的值最小，CE+EF的最小值=FH，AC=AH，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6.AB=12，

∴2AC=AB，

∴AC=AH=1

2

AB，

∵点F是AC的中点，

∴FH=1

2

BC，

∵BC=√AB2?AC2=6√3，

∴FH=3√3，

11.【答案】B

【解析】解：确定圆心P，作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，连接PO，PB

根据垂径定理，可知点C、D分别为OA、OB的中点

由题意知A(0,2)，B(2√3,0)，于是有

OD=√3，PD=1

∴PO=PB=2，且∠POB=∠PBO=30°

∴∠OPB=120°

于是S阴影=S扇形POB?S△POB

即：S

阴影=120×π×22

360

?1

2

×2√3×1=4π

3

?√3

故选：B．

找到圆心，根据垂径定理求出半径，然后计算扇形面积，再减去等腰三角形的面积，即得阴影面积．

本题考查的是扇形面积的相关计算，根据垂径定理求出圆的半径，再用公式求出阴影部分的面积．

12.【答案】B

【解析】【分析】

根据二次函数的图象与性质即可求出答案．

本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用二次函数图象与性质，本题属于中等题型．

【解答】

解：(1)由图象可知：a>0，c<0，

由对称轴可知：?b

2a

<0，

∴b>0，

∴abc<0，故(1)正确；

(2)抛物线与x轴有两个交点，

∴△=b2?4ac>0，故(2)正确；

(3)由于对称轴可知：?b

2a

=?1，

∴b=2a，

由于抛物线过点(1,0)，

∴a+b+c=0，

∴3a+c=0，故(3)错误；

(4)由于b=2a，c=?3a

5a+3b+2c

=5a+6a?6a

=5a>0，故(4)错误；

13.【答案】?2y(x +1)(x +2)

【解析】解：原式=?2y(x 2+3x +2)=?2y(x +1)(x +2)． 故答案是：?2y(x +1)(x +2)．

先提取公因式?2y ，然后利用十字相乘法进行因式分解．

本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．

14.【答案】x =3+√17

2

或x =?1或x =?2

【解析】解：①若x >?x ，即x >0，则x =3x+2x

，即x 2?3x ?2=0，

解得：x =

3+√172

(负值舍去)， 经检验：x =

3+√172

是原分式方程的解；

②若x

，即x 2+3x +2=0，

解得：x 1=?1，x 2=?2，

经检验：x =?1和x =?2是原分式方程的解； 综上，方程max{x,?x}=

3x+2x

的解为x =

3+√172

或x =?1或x =?2．

分x >?x 和x

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

15.【答案】2019

1010

【解析】解：∵|a ?1|与√b ?2互为相反数， ∴a ?1=0，b ?2=0， 解得：a =1，b =2，

则原式=2

1×2+2

2×3+2

3×4+?+2

2019×2020

=2×(1?12+12?13+?+12019?1

2020)

=2×(1?1) =2×

2019

2020

=2019

1010． 故答案为：2019

1010．

利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式后利用拆项法变形，计算即可求出值．

此题考查了分式的加减法，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16.【答案】(π+2)√2

8

【解析】解：设⊙O与矩形ABCD的另一个切M，连接OM、OG，则M、O、E共线，

由题意得：∠MOG=∠EOF=45°，

∴∠FOG=90°，且OF=OG=2，

∴S

透明区域=180π×22

360

+2×1

2

×2×2=2π+4，

过O作ON⊥AD于N，

∴ON=1

2

FG=√2，

∴AB=2ON=2×√2=2√2，

∴S

矩形

=2√2×4=8√2，

∴S

透明区域

S

矩形

=

8√2

=(π+2)√2

8

，

故答案为：(π+2)√2

8

．

把透光部分看作是两个直角三角形与四个45°的扇形的组合体，其和就是透光的面积，再计算矩形的面积，相比可得结果．

本题考查了矩形的性质、扇形的面积、直角三角形的面积，将透光部分化分为几个熟知图形的面积是解题的关键．

17.【答案】x>3

【解析】解：∵一次函数y=ax+b与反比例函数y=k

x

在第一象限内交于点C(3,1)，

∴由图象可知：当x>0时，ax+b?k

x

>0的解集为x>3．

故答案为：x>3．

结合图象，根据两函数在第一象限内交于点C，找出一次函数图象在反比例图象上方时x的范围即可．

此题考查了一次函数与反比例函数的交点，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．

18.【答案】(3

2

)2018?1

【解析】解：由题意可得：△OA1B1的边长为1，△A1B2A2的边长为3

2

，△A2B3A3的边

长9

4

…

∴OA n=OA1+A1A2+A2A3+A3A4+?A n?1A n=1+3

2+9

4

+27

8

+?+(3

2

)n?1，

∴3

2OA n=3

2

+9

4

+27

8

+?+(3

2

)n?1+(3

2

)n，

∴

1

2

OA n=(

3

2

)n?1

∵∠A1OB1=60°

∴点A n 横坐标为(3

2)n ?1， ∴点A 2018的横坐标(3

2)2018?1 故答案为：(3

2)2018?1

由题意可得：△OA 1B 1的边长为1，△A 1B 2A 2的边长为3

2，△A 2B 3A 3的边长9

4…，即可得点A n 的横坐标的规律，可求解．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找到点A n 的横坐标的规律是本题的关键． 19.【答案】解：(1)根据题意把方程组两式相加得：

2x +y +x +2y =m +3m +1 3(x +y)=4m +1

∴x +y =

4m +1

3 又∵x +y =5

∴

4m +1

3

=5 解得：m =7

2

(2)∵a =1，b =?(m ?1)，c =?m

∴△=[?(m ?1)]2?4?(?m)=m 2?2m +1+4m =m 2+2m +1=(m +1)2≥0 ∴无论m 为何值时，方程一定有实数根． ∵x 1+x 2=?b

a

=m ?1，x 1x 2=c

a =?m

∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2?2x 1x 2=(m ?1)2+2m ∵x 12+x 22=5

∴(m ?1)2+2m =5 解得：m =±2 当m =2时，1x 1

+1

x 2

=

x 1+x 2x 1x 2

=

2?1?2

=?1

2

当m =?2时，1x 1

+1

x 2

=

x 1+x 2x 1x 2

=

?2?1

2

=?3

2

∴1x 1

+1x 2

的值为?12或?3

2

【解析】(1)观察到方程组两方程相加，左边出现3(x +y)，把x +y 作为一个整体来计

算．

(2)根据韦达定理求出用m 表示x 1+x 2和x 1x 2的值，利用完全平方公式的变形得到x 12+

x 2

2

的式子，进而得到关于m 的方程． 本题考查了解二元一次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，分式的加减．

20.【答案】解：(1)被调查的总人数为8÷0.16=50，

则小说的人数为50×40%=20(人)，诗歌的频率为5÷50=0.1， 散文的人数为50?(20+5+8)=17，对应频率为17÷50=0.34， 补全表格如下：

类别频数(人数)频率

小说200.4

诗歌50.1

散文170.34

其他80.16

总计501

(2)估测全校九年级学生喜爱读小说的有500×0.4=200人；

(3)根据题意画树状图如下：

共有12种可能，且每种情况出现的可能性相同，恰好抽中AB的可能性有2种

所以恰好抽中A和B的概率为2

12=1

6

．

【解析】解答：(1)见答案；

(2)见答案；

(3)见答案．

【分析】

(1)由“其它”的人数及其频率求得总人数，再依据“频率=频数÷总数”求解可得；

(2)总人数乘以样本中喜爱读小说人数所占百分比可得；

(3)画出树状图，再根据概率公式列式计算即可．

本题考查了频数分布直方图和概率，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，概率=所求情况数与总情况数之比．21.【答案】解：由题意可得，从点C到E走了100米，可得CE=100，

∵速度为2米/秒，

可得时间=100÷2=50秒，

∴从A到E的时间为3×60?50=130秒，

所以AE=260米，

∵AE的坡比为1：2，即tan∠AEB=0.5，

∴sin∠ABE=√5

5

，

∴AB=AE?sin∠ABE=260×√5

5

≈114，

BE=AE

tan∠AEB

=228，

过点A作AF⊥CD，

在△ADF中，tan30°=DF

AF

，

DF=AF?tan30°=(228+100)×√3

3

≈189，

∴DC=DF+CF=189+114=303米．

【解析】过点A作AF⊥CD，易得AB，利用30°的正切值可求得DF的长，进而根据CD= CF+FD可求得CD的长．

本题考查了解直角三角形的应用?仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，难点是找到并运用题中相等的线段．

22.【答案】解：设乙队单独完成这项工程所需时间为x天，根据题意得，

1 12×3+3(1

12

+1

x

)=1，解得x=8，

经检验，x=8是原方程的解．

设甲需要干y天，则乙需要干8(1?y

12

)天，设总费用为w元，根据题意得，

w=3000y+(3000+1800)×8(1?y

12

)，

即w=?200y+38400，

∵?200<0，w随y的增大而减小，

∴y=6时，8(1?y

12

)=4，

w

最小

=37200，

∴安排甲干6天，乙干4天总费用最低，最低费用是37200元．

【解析】设乙队单独完成这项工程所需时间为x天，列分式方程求出乙队单独完成这项

工程所需8天；设甲需要干y天，则乙需要干8(1?y

12

)天，设总费用为w元，根据题意得w=?200y+38400，然后根据一次函数的性质解答即可．

本题考查分式方程、一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意多种情况进行分析．

23.【答案】(1)证明：∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD//AC．

∵DE⊥AC，OD是半径，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

(2)解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，

∴四边形ODEH是矩形，

∴OD=EH，OH=DE．

设AH=x．

∵DE+AE=8，OD=10，

∴AE=10?x，OH=DE=8?(10?x)=

x?2，

在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=

OA2，即x2+(x?2)2=102，

解得x1=8，x2=?6(不合题意，舍去)．

∴AH=8，OH=6，

∵OH⊥AF，

∴AH=FH=1

AF，

2

∴AF=2AH=2×8=16

×16×6=48．

∴△OAF的面积=1

2

【解析】(1)根据已知条件得到OD//AC即可，于是得到结论；

(2)如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH=x.则由矩形的性质推知：AE=10?x，OH=DE=8?(10?x)=x?2，在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2+ (x?2)2=102，通过解方程得到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF=2AH=2×8= 16，于是得到结论．

本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题时，利用了方程思想，属于中档题．

24.【答案】解：(1)PC=PE，PC⊥PE

证明：∵正方形ABCD，点P是对角线上一点

∴PA=PC

∵点P位于AE的垂直平分线上

∴PA=PE

∴PC=PE

由正方形的轴对称性质可得，∠PAD=∠PCD，

∵PA=PE

∴∠PAD=∠E

∴∠PCD=∠E

∵∠PFC=∠DFE

∴∠CPF=∠FDE

∵正方形ABCD

∴∠ADC=90°

∴∠FDE=90°

∴∠CPF=90°

∴PC⊥PE

(2)PA=CE.理由如下：

∵菱形ABCD，点P是对角线BD上一点

∴AP=PF，∠PAD=∠PCD

∵点P在AE的垂直平分线上

∴AP=PE

∴PE=PC，∠PAD=∠PED

∵∠PFC=∠DFE

∴∠CPF=∠EDF

∵菱形ABCD，∠ABC=120°

∴∠ADC=∠ABC=120°

∴∠EDF=180°?∠ADC=60°

∴∠CPF=60°

∵PE=PC

∴△PCE是等边三角形

∴CE=PE

∴AP=CE

【解析】(1)这里利用正方形的轴对称性质和线段垂直平分线的性质证明PC =PC ，再利用三角形的内角和的关系证明∠CPF =∠FDE ，再结合正方形的每个内角是90°， 证明∠CPF =90°即可． (2)由菱形轴对称性质，利用题(1)的方法证明∠CPF =60°，又因为PC =PE ，所以△PCE 是等边三角形，因此CE =PC =AP ．

本题主要考查了线段垂直平分线、等边三角形、正方形和菱形的性质．注意正方形和菱形是轴对称图形．

25.【答案】解：(1)设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c(a ≠0)，将A 、B 、C 三点代入得

{4a ?2b +2=04a +2b +2=2c =2

， 解得a =?1

4，b =1

2，

∴抛物线的解析式为y =?1

4x 2+1

2x +2．

(2)如图1，连接AB 与对称轴x =1交于点D ，点D 即为所求．

设直线AB 的解析式为y =kx +m ， 将A 、B 两点代入得 {?2k +m =02k +m =2，解得{k =1

2m =1, ∴直线AB 的解析式为y =12x +1， 当x =1时，y =3

2，

∴当D(1,3

2)时，△ACD 的周长最小．

(3)如图2，当点C 为直角顶点时，E 为OB 中点，E 1(1,1)； 当点A 为直角顶点时，在Rt △AOE 中，E 2(?1,?1)； 当点E 为直角顶点时，E 为原点，E 3(0,0)．

【解析】(1)设这个二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，利用待定系数法求抛物线解析式；

(2)AB 与对称轴的交点即为点D ，此时△ACD 的周长最小；

(3)以A、C、E三点分别为直角顶点分类讨论，运用等腰直角三角形的性质可得点E坐标．

本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质等知识．