东南大学物理课程论文机械振动与RLC电路

机械振动与RLC电路对比

xxx

（东南大学生物科学与医学工程学院，南京，211189 ）

摘要：本文主要从三个反面探究了机械振动与RCL电路的相似性，分别是：1、最简单的机械振动与电磁振荡；2、有阻尼的机械振动与电磁振荡；三、受迫振动与含电源的RCL电路。

关键词：机械振动，RCL电路，对比

物理体系是一个充满统一规律的体系，在物理课程的学习中，发现机械振动与电磁振荡虽然在性质上有本质的不同，但还是有很多可以对偶的方面，本文将在多种情况分析讨论机械振动与电磁振荡的相似之处。

一、最简单的机械振动与电磁振荡

1.1弹簧振子的简谐运动

图一是最简单、最典型的机械振动示意图，设定弹簧形变最大为Xm处于平衡位置右侧，系统无能量损失。

图一最简单的机械振动

作者简介：

作者简介：xxx，xxxx年，女，生物科学与医学工程学院，本科生

其中涉及到的物理量：

弹簧弹力：f弹

质点运动速度：v

质量：m

倔强系数倒数：1/k

角频率：ω

涉及到的物理关系：

胡克定律：

dt

df

k

v弹

1

=

牛顿第二定律：

dt

dv

m

f

m

=

弹性势能：

()

弹

f

k

kx

k

kx

Ep

1

2

1

1

2

1

2

1

2

2=

=

=

动能：2

2

1

mv

E

k

=

角频率：m

k

w=

1.2最简单的RCL电路

图二是最简单、最典型的电磁振荡电路，设定C充满电，电压为u c，系统无能量损失。

图二 最简单的RCL 电路

其中涉及到的物理量： 电容电压：u c 电流：i 电感：L 电容：C

涉及到的物理关系： 电容元件伏安关系： dt

du C

i c

= 电感元件伏安关系： dt

di L u L = 电容储存的能量： 221c c Cu W =

电感储存的能量： 2

2

1L L Li W =

振荡频率：LC

w 1=

1.3 对比分析

不难发现，上述两种物理过程中涉及到的物理量有如下对应关系：

弹簧弹力：f ----弹电容电压：u c 质点运动速度：v ----电流：i 质量：m ----电感：L 倔强系数倒数：1/k---电容：C 角频率 ---振荡频率

同时物理关系也有类似的对应关系，在此不再赘述。

二、有阻尼的机械振动与电磁振荡

在这一部分，将会在最简单的机械振动和电磁振荡上，加上阻尼部分进行研究。 2.1 弹簧振子的简谐运动

图三 含有阻尼的机械振动

受到的阻尼均为流体阻尼，设阻尼系数为k ，暂且用c 表示弹力系数。以平衡位置为原点，右侧为正方向建立坐标系。令t 时刻时小球横坐标为x ，则：

物块在水平方向上受两个力：F 弹=-cx ，F 阻=-kv 合力：F=-kv-cx 由牛顿第二定律：F=ma 则： ma=-kv-cx ma+kv+cx=0

根据加速度a 、速度v 的定义，有 m*d 2

x/dt 2

+k*dx/dt+cx=0

是二阶线性常系数齐次微分方程，用特征方程法解。

其特征方程为： mr 2+kr+c=0 解得：

r 1=(k 2

-4mc)1/2

/2m-k/2m,r 2=-(k 2

-4mc)1/2

/2m-k/2m 现在要根据特征方程Δ的取值来确认解的情况。 情况一：Δ>0（即k 2

>4mc ） 则微分方程通解为 x=C 1e

[(k^2-4mc)^(1/2)/2m-k/2m]t

+C 2e

[-(k^2-4mc)^(1/2)/2m-k/2m]t

L

C

x=C 1e

([k^2-4mc)^(1/2)/2m]t

*e

-kt/2m

+C 2e

[-(k^2-4mc)^(1/2)/2m]t

*e

-kt/2m

x=[C 1e

(k^2-4mc)^(1/2)t/2m

+C 2e

-(k^2-4mc)^(1/2)t/2m

]*e

-kt/2m

当t=0时，x=x 0，v=v 0得：

x=[x 0+(kx 0+2mv 0

)/(k 2

-4mc)1/2

]sinh[(k 2

-4mc)1/2

t/2m ]*e

-kt/2m

+x 0e

[-(k^2-4mc)^(1/2)-k]*t/2m

情况二：Δ=0（即k 2

=4mc ） 此时特征方程解为： r 1=r 2=-k/2m 则微分方程通解为 x=(C 1t+C 2)e

-kt/2m

当t=0时，x=x 0，v=v 0，得 x=(v 0t+kx 0t/2m+x 0)e

-kt/2m

情况三：Δ<0（即k 2

<4mc ） 此时特征方程的解变为：

r 1=i(4mc-k 2)1/2

/2m-k/2m,r 2=-i(4mc-k 2)1/2

/2m-k/2m 则微分方程通解为：

x={C 1sin[(4mc-k 2)1/2

t/2m]+C 2cos[(4mc-k 2)1/2

t/2m]}e -kt/2m 当t=0时，x=x 0，v=v 0得

x={(2mv 0+kx 0)/(4mc-k 2)1/2

*sin[(4mc-k 2)1/2

t/2m]+x 0

cos[(4mc-k 2)1/2t/2m]}e -kt/2m

至此得到不同情况下x 对t 的函数关系式如下： 当k 2

>4mc 时，

x=[x 0+(kx 0+2mv 0)/(k 2-4mc)1/2]sinh[(k 2-4mc)1/2

t/2m ]*e -kt/2m +x 0e [-(k^2-4mc)^(1/2)-k]*t/2m 当k 2

=4mc 时，x=(v 0t+kx 0t/2m+x 0)e

-kt/2m

当k 2<4mc 时，

x={(2mv 0+kx 0)/(4mc-k 2)1/2*sin[(4mc-k 2)1/2

t/2m]+x 0

cos[(4mc-k 2)1/2t/2m]}e -kt/2m

三种阻尼的情况分别称为过阻尼、临界阻尼、欠阻尼。

图四 有阻尼的机械振动x--t 图像

2.2含电阻的RCL 电路

图二是含电阻的RCL 电路，设定t=0时电容充满电。

图五 含有电阻的的电磁振荡电路

定义电路阻尼：=L

C

R 42

现对各种振荡情况初步分析： 基尔霍夫定律：u R +u C +u L =0 欧姆定律：u R =Ri

电感上电压、电流间的微分关系：u L =L ×di/dt 于是

i=C ×d(-Ri-L ×di/dt)/dt

i=C ×[-d(Ri)-d(L ×di/dt)]/dt i=C ×(-R ×di-L ×d 2

i/dt)/dt i=-RC ×di/dt-LC ×d 2

i/dt 2

LC ×d 2

i/dt 2

+RC ×di/dt+i=0 是一个二阶线性常系数齐次微分方程

i 对t 的二阶导数前系数为LC ；其一阶导数前系数为RC ；i 前系数为1。

x

临界阻尼

则特征方程为 LCx 2

+RCx+1=0

x=[-RC±(R 2C 2

-4LC)1/2

]/2LC

x 1=[(R 2C 2

-4LC)1/2

-RC]/2LC,x 2=-[(R 2C 2

-4LC)1/2

+RC]/2LC

根据特征方程法，下面要判断特征方程Δ的取值来确认通解的情况。 情况一：Δ>0（λ>1） 则微分方程通解为：

（注：为避免与电容符号混淆，积分变量一律用A 、B 表示） i=Ae [(R^2*C^2-4LC)^(1/2)-RC]t/2LC

+Be

-[(R^2*C^2-4LC)^(1/2)+RC]t/2LC

i=Ae (R^2*C^2-4LC)^(1/2)*t/2LC-Rt/2L +Be

-(R^2*C^2-4LC)^(1/2)*t/2LC-Rt/2L

i=Ae

(R^2*C^2-4LC)^(1/2)*t/2LC

*e

-Rt/2L

+Be -(R^2*C^2-4LC)^(1/2)*t/2LC

*e

-

Rt/2L

i=[Ae (R^2*C^2-4LC)^(1/2)*t/2LC

+Be

-(R^2*C^2-4LC)^(1/2)*t/2LC

]*e

-Rt/2L

当t=0时，因电感上电流不突变，所以i=0， 则u R =Ri=0

又因为电容上电压不突变，所以u C =-U 0 得

i=2Asinh[(R 2C 2

-4LC)1/2

t/2LC]e

-Rt/2L

i=2U 0[C/(R 2

C-4L)]1/2

sinh[(R 2C 2

-4LC)1/2

t/2LC]e

-Rt/2L

i=2U 0[1/(R 2

-4L/C)]1/2

sinh[(R 2C 2

-4LC)1/2

t/2L(C 2)1/2

]e -Rt/2L i=2U 0sinh[(R 2

-4L/C)1/2

t/2L]e -Rt/2L

/(R 2-4L/C)1/2

情况二：Δ=0（λ=1）

此时特征方程有一二重根：x 1=x 2

=-R/2L 则微分方程通解为 i=(At+B)e

-Rt/2L

当t=0时，已证i=0，则 i=U 0te

-Rt/2L

/L

情况三：Δ<0（即R 2

<4L/C ）

此时特征方程解为：

x 1=(4LC-R 2C 2)1/2j/2LC-R/2L,x 2=-(4LC-R 2C 2)1/2

j/2LC -R/2L

当t=0时，已证i=0，di/dt=U 0/L:

i=2U 0sin[(4L/C-R 2)1/2t/2L]e

-Rt/2L

/(4L/C-R 2)

1/2

（ 1 ）当 时，电路的固有频率是两个不

相等的负实数，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况。

（ 2）当 时， 电路的固有频率是两个相

等的负实数，响应处于临界状态，称为临界阻尼情况。

（ 3 ）当，

时，电路的固有频率是共轭

复数，响应将形成衰减振荡，称为欠阻尼情况。

图六 有阻尼的RCL 电路u--t 图像

2.3对比分析

从三种阻尼情况的判别条件来看：R 2

<、>、=4L/C 与k 2

<、>、=4mc ，可以看出，除了在第一部分已经讨论过的

质量：m ----电感：L

倔强系数倒数：1/c---电容：C （注：这里用小写c 表示了倔强系数） 的对应关系之外，电阻R---阻尼系数k 也具有对应关系。

此外，无论是在推导过程，结论还是关系图上，含有阻尼的机械振动和RCL 电路都是一致的。

临界阻尼

三、受迫振动与含电源的RCL电路

这里不再进行数学计算，而是通过两种振动的幅频、相频曲线，来形象地体现二者的统一性。

表一受迫振动与含电源的RCL电路幅频相频图像对比

不难看出，两者之间的高度一致性。四、结论

根据以上分析，我们可以得出，机械振动和RCL 电路具有很好的对偶性，可以为我们在处理相关问题的时候提供指导，也说明了物理体系的统一性。

参考文献：

[1]东南大学等七所工科院校编，马文蔚等改编，《物理

学》，高等教育出版社，2006

[2]邱关源著罗先觉修订《电路》. 高等教育出版社.第

五版

幅频特性曲线相频特性曲线机械

受迫

振动

RCL

电路