2007年高考四川卷(理科数学)

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（四川卷）

一、选择题本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.复数3

11i i i

++-的值是

A ．0

B ．1

C ．1-

D ．i 2.函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是

3.22

11

lim 21

x x x x →-=-- A ．0 B ．1 C ．12 D ．23

4.如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误．．的是 A.//BD 平面11CB D B.1AC BD ⊥

C.1AC ⊥平面11CB D

D.异面直线AD 与1CB 所成的角为60

5.如果双曲线22

142

x y -

=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

的距离是 A

B

C

． D

．6.设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都是2π，且二面角B OA C --的大小是3π

，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回

到A 点的最短距离是 A ．76π B ．54π C ．43π D ．32π

7.设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在

OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为

A ．453a b -=

B ．543a b -=

C ．4514a b +=

D ．5414a b += 8.已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则AB 等于

A ．3

B ．4 C

．

．9.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不

小于对项目乙投资的2

3倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投

资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为

A ．36万元

B ．31.2万元

C ．30.4万元

D ．24万元 10.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有

A ．288个

B ．240个

C ．144个

D ．126个 11.如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则ABC ?的边长是

A

B

C O

A

．．36

4 C

12.已知一组抛物线2

112

y ax bx =

++，其中a 为2、4、6、8中任取的一个数，b 为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是

A ．112

B ．760

C ．6

25 D ．516

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上．

13.若函数2

()()x f x e μ--=（e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且()f x 是偶函数，则m μ+= ．

14.在正三棱柱111ABC A B C -中，

，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面11ACC A 所成的角是 .

15.已知O 的方程是2220x y +-=，'O 的方程是228100x y x +-+=，由动点

P 向O 和'O 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 . 16.下面有5个命题：

①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2

k k Z π

αα=

∈； ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点；

④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π

得到3sin 2y x =的图象；

⑤函数sin()2

y x π

=-在[0,]π上是减函数． 其中，真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）

A

B

C

1l 2l

3l

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分） 已知1cos 7

α=，13

cos()14

αβ-=，且02πβα<<<.

（Ⅰ）求tan 2α的值. （Ⅱ）求β.

18.（本小题满分12分）

厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率；

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E ξ，并求该商家拒收这批产品的概率.

19.（本小题满分12分）

如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=，PM ∥BC ，1PM =，2BC =，又

1AC =，120ACB ∠=，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角B AC M --的大小； （Ⅲ）求三棱锥MAC P -的体积.

20.（本小题满分12分）

设1F 、2F 分别是椭圆14

22

=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值;

A

B

C

M

P

（Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）

已知函数2()4f x x =-，设曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线与x 轴的交点为

1(,0)n x +()n N *∈，其中1x 为正实数．

（Ⅰ）用n x 表示1n x +；

（Ⅱ）证明：对一切正整数n ，1n n x x +≤的充要条件是12x ≥；

（Ⅲ）若14x =，记2

lg 2n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通

项公式.

22.(本小题满分14分)

设函数1

()(1)x f x n

=+（n N ∈，1n >，x N ∈）.

（Ⅰ）当6x =x =6时,求1

(1)x n

+的展开式中二项式系数最大的项；

（Ⅱ）对任意的实数x ，证明2

)

2()2(f x f +＞()f x '，（()f x '是()f x 的导函数）；

（Ⅲ）是否存在N a ∈,使得1

1

(1)(1)n

k an a n k -<+<+∑恒成立？若存在，试证明你

的结论并求出a 的值；若不存在，请说明理由.