中考数学热点专题复习

从

热点专题八能力型创新问题

【考点聚焦】

能力型创新问题已成为近年中考中较难题或压轴题的主要方向，主要有以下四种类型：【热点透视】

热点1：探索性问题

探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学

科领域之中，在数学中则更为普遍．初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定

的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题

或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果索因的工作，而定格于“条件———演绎———结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．

例1（2008荆门）将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边长为1．

（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．

（2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B C D的位置，四边形ABC D

11111是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________．

（3）在△Rt BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为________时，四

边形ABC D为矩形，其理由是_______________________________；当点B的移动距离为11

______时，四边形ABC D为菱形，其理由是_________________．（图3、图4用于探究）

解：（1）是，此时AB平行且等于CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

（2）是，在平移过程中，始终保持AB平行且等于C D，一组对边平行且相等的四边

形是平行四边形．

（3）

3，此时∠ABC=90，有一个角是直角的平行四边形是矩形．

3，此时点Ｄ与点B重合，AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

111

点评：条件探索型———结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目．

例2（2008郴州）如图5，矩形纸片ABCD的边长分别为a、b（a

（

意翻折（如图6），折痕为PQ．P在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C'，PC'

的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A'，且A'M

所在直线与PM所在直线重合（如图7）折痕为MN．

（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．

（2）若∠Q PC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，MN 间的距离有何变化？请说明理由．

（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45（如图8），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC'QD，及四边形BPA'N的周长与a、b有何关系，为什么？

解：（1）PQ∥MN．

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC，

∴∠AMP=∠MPC，

由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=

∠MPC，

∠NMP=∠AMN=∠AMP，∴∠MPQ=∠NMP，

故PQ∥MN．

（2）两折痕PQ，MN间的距离不变，

过P作PH⊥MN，则PH=PM sin∠PMH，

∵∠QPC的角度不变，∴∠C'PC的角度也不变，

则所有的PM都是平行的．

又∵AD∥B C，∴所有的PM都是相等的，

又∵∠PMH=∠QPC，

故PH的长不变．

令 y = 0 ，即 - 3

0) 0) -

（3）当 ∠QPC = 45 时，

四边形 PCQC ' 是正方形，

四边形 C 'QDM 是矩形．

∵ C 'Q = CQ ， C 'Q + QD = a ，

∴矩形 C 'QDM 的周长为 2a ．

同理可得矩形 BPA 'N 的周长为 2a ，所以两个四边形的周长都为 2a ，与 b 无关．点评：结论探索型———给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．

例 3 （2008 岳阳）如图 10，抛物线 y = -

3 2

x 2 - 3x + 3 交 x 3 3

轴于 A 、B 两点，交 y 轴于点Ｃ，顶点为 D ．

（1）求 A 、B 、C 的坐标．

（△2）把 ABC 绕 AB 的中点 M 旋转180 ，得到四边形 AEBC ：

①求 E 点坐标．②试判断四边形 AEBC 的形状，并说明理由．

（3）试探索：在直线 BC 上是否存在一点 P ，使得△P AD 的周长最小，若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1） y = - 3 2 3

x 2 - x + 3 ，

3 3

令 x = 0 ，得 y = 3 ．

2 3

x 2 -

x + 3 = 0 ， 3

x 2 + 2 x - 3 = 0 ，

∴ x = 1 ， x = -3 ．

1 2

∴ A ，B ，C 三点的坐标分别为 A(-3，， B(1，， C (0，3) ．

（2）① E (-2， 3) ；

②四边形 AEBC 是矩形．

理由：四边形 AEBC 是平行四边形，且 ∠ACB = 90 ．

求得A'(3，3)，D -1，3?

过A'，D的直线为y=

，

103

，

103

（3）存在．P -

．

作出点A关于BC的对称点A'，连结A'D与直线BC交于点P．

则点P是使△P AD周长最小的点．

?43?

2．

x+，

过B，C的直线为y=-3x+3．

两直线的交点为P -

．

点评：存在探索型———在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．热点2：开放性问题

开放性试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题．观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用．

例4（2008福州）如图11，直线AC∥BD，连结AB，直线AC、BD及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结P A，PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？

（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

解：（1）解法一：如图12（１）．延长BP交直线AC于点E．∵AC∥BD，

∴∠PEA=∠PBD．

∵∠APB=∠PAE+∠PEA，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

解法二：如图12（2）．

过点P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF．

+A P

∵AC∥BD，∴FP∥B D，∴∠FPB=∠PBD．

∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD．

解法三：如图12（3）．

∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180，

即∠PAC+∠P AB+∠PBA+∠PBD=180．

又∠APB+∠PBA+∠P AB=180，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）不成立．

（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，

结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．

（b）当动点P在射线BA上，结论是∠P B D=∠P A C∠A，或∠P A C=∠P B D∠或∠APB=0，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．（c）当动点P在射线BA的左侧时，

结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．

选择（a）证明：如图12（4），连结P A，连结PB交AC于M．

∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．

又∵∠PMC=∠P AM+∠APM，

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

选择（b）证明：如图12（5）．

∵点P在射线BA上，∴∠APB=0．

∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．

∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0，

直线 y = 2 x + 1 的交点 P 的坐标 (1

的解 ?．，就是方程组 ?y = -2 x + 2

（2）用阴影表示 ? x ≤ -2 x + 2 所围成的区域． ≥ 0?

y = 2 x + 1 y = 3 （1）用作图象的方法求出方程组 ?

的解．

∠PAC = ∠PBD ．

选择（c ）证明：如图 12（6）．

连结 P A ，连结 PB 交 AC 于 F ． ∵ AC ∥ BD ，∴ ∠PFA = ∠PBD ． ∵ ∠PAC = ∠APF + ∠PFA ， ∴ ∠PAC = ∠APB + ∠FBD ．

点评：本题由点 P 的位置的改变，让同学们探究由此而引起的三个角之间的变化，将

分类思想的考查融入在探索、猜想过程中．

热点 3：阅读理解型问题

阅读理解题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题型，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思想过程，符合学生的认知规律，是中考的热点题目之一，今后的中考试题有进一步加强的趋势．

例 5 阅读：我们知道，在数轴上，x = 1 表示一个点．而在平面直角坐标系中， x = 1

表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程 2 x - y + 1 = 0 的所有解为坐标的点组成的图

形就是一次函数 y = 2 x + 1 的图象，它也是一条直线，如图13（1）可以得出：直线x = 1 与

? x = 1 ? x = 1

? ?

在直角坐标系中， x ≤ 1 表示一个平面区域，即直线 x = 1 以及它左侧的部分，如图 13

（2）；y ≤ 2 x + 1也表示一个平面区域，即直线 y = 2 x + 1 以及它下方的部分，如图 13（3）．回

答下列问题：在直角坐标系（13（3））中，

? x = -2

? x ≥ -2 ?

? y

则 ?? x = -2 y =

6 ? y = -2 x + 2

根据题意得： ?? x = 2 y x 1

+ y 1 = 90 ? 2 ?

解：（1）如图 14 所示，在坐标系中分别作出直线 x = -2 和直线 y = -2 x + 2 ，这两条

直线的交点是 P(-2，．

? ．

? x = -2

是方程组 ?

的解．

（2）如图 14 阴影所示．

点评：通过阅读本题所提供的材料，我们要明白两点：方程组的解与两直线交点坐标的关系；不等式组的解在坐标中区域的表示方法．

热点 4：方案设计型问题

近年一些省市的中考数学题中涌现了立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能力的题目．这类命题综合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等．能与初中所学的重点知识进行联结．

例 6 （2008 茂名）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点 A 出发行驶．

（1）若甲车的速度是乙车的 2 倍，甲车走了 90 千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了 1 小时．求甲、乙两车的速度；

（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200 升汽油，每升汽油可以行驶 10 千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A ，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点 A ，并求出甲车一共行驶了多少千米？

解：（1）设甲，乙两车速度分别是 x 千米/时和 y 千米/时，

? ，

解之得： ? x = 120 ? y = 60

．

即甲、乙两车速度分别是 120 千米/时、60 千米/时．

（2）方案一：设甲汽车尽可能地远离出发点 A 行驶了 x 千米，乙汽车行驶了 y 千米，

?? x + y ≤ 200 ?1(2) 则 ? ∴ 2 x ≤ 200 ?10 ? 3 即 x ≤ 3000 ．

?? x - y ≤ 200 ?10

即甲、乙一起行驶到离 A 点 500 千米处，然后甲向乙借油 50 升，乙不再前进，甲再前进 1 000 千米返回到乙停止处，再向乙借油 50 升，最后一同返回到 A 点，此时，甲车行驶了共 3 000 千米．

方案二：（画图法）如图：

此时，甲车行驶了500?2+1000?2=3000（千米）．

方案三：先把乙车的油均分4份，每份50升．当甲乙一同前往，用了50升时，甲向乙借油50升，乙停止不动，甲继续前行，当用了100升油后返回，到乙停处又用了100升油，此时甲没有油了，再向乙借油50升，一同返回到A点．

此时，甲车行驶了50?10?2+100?10?2=3000（千米）．

点评：此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、方程联系在一起．

例7（2008福州）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图15（3）、

图15（4）、图15（5）中画出三种不同的的设计图案．

提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图15（1）、图15（2）只能算一种．

解：答案不惟一，如图16：

点评：几何图形的分割与设计在中考中经常出现，有时是根据面积相等来分割，有时是

根据线段间的关系来分割，有时根据其它的某些条件来分割，做此类题一般用尺规作图．【考题预测】

1．观察算式：

1=12；

1+3=4=22；

1+3+5=9=32；

1+3+5+7=16=42；

1+3+5+7+9=25=52；……

用代数式表示这个规律（n为正整数）：9+11+13+15++(2n-1)=________．

x2-x-交x轴于A，B两点，顶点为D．以B A为直2．将图17（1）所示的正六边形进行分割得到图17（2），再将图17（2）中最小的某

一个正六边形按同样的方式进行分割得到图17（3），再将图17（3）中最小的某一个正六边

形按同样的方式进行分割…，则第n个图形中，共有________个正六边形．

3．如图18，将边长为1的正方形O APB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落

在点P，P，P，P，，P

12342008

的位置，则P

2008

的横坐标x

2008

=________．4．如图19，设抛物线y=

113

424

径作半圆，圆心为M，半圆交y轴负半轴于C．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）将△A CB绕圆心M顺时针旋转180，得到△A PB，如图20．求点P的坐标；

（3）有一动点Q在线段AB上运动，△QCD的周长在不断变化时是否存在最小值？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

5．青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．

（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润＝售价－进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；

（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：

打折前一次性购物总金额

不超过300元

超过300元且不超过400元

超过400元

优惠措施

不优惠

售价打九折

售价打八折

按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通

过计算求出所有符合要求的结果）

6．已知一元二次方程a x2-2bx+c=0的两个根满足x-x=2，且a，b，c分

别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．小敏解得此题的正确答案“∠B=120”后，思考以下问题，请你帮助解答．

（1）若在原题中，将方程改为ax2-3bx+c=0，要得到∠B=120，而条件“a=c”

不变，那么对应条件中的x-x的值作怎样的改变？并说明理由．

（2）若在原题中，将方程改为ax2-nbx+c=0（n为正整数，n≥2），要得到

∠B=120，而条件“a=c”不变，那么条件中的x-x的值应改为多少（不必说明理

由）？