GPS坐标时间序列论文文献综述DOC

文献综述

摘要：通过对数据一系列处理，运用三阶自回归AR（3）模型拟合gps坐标时间序列，由于gps坐标时间序列数据之间的相关关系，且历史数据对未来的发展有一定影响，并对未来的电力增长进行预测。理论准备：拿到一个观测值序列之后，首先要判断它的平稳性，通过平稳性检验，序列可分为平稳序列和非平稳序列两大类。如果序列值彼此之间没有任何向关性，那就意味着该序列是一个没有任何记忆的序列，过去的行为对将来的发展没有丝毫影响，这种序列我们称之为纯随机序列，从统计分析的角度而言，纯随机序列式没有任何分析价值的序列。如果序列平稳，通过数据计算进行模型拟合，并利用过去行为对将来的发展预测，这是我们所期望得到的结果。可采用下面的流程操作。

关键字：gps坐标时间序列时间序列分析数据预测

一、前言

GPS坐标时间序列分析原来是“概率论与数理统计”领域当中的一个重要分支，其中有国际著名的学术杂志“时间序列分析”。由于在过去的二十几年当中，时间序列分析方法在经济学的定量分析当中获得了空前的成功应用，因此所出现的“时间序列计量经济学”已经成为了“实证宏观经济学”的同意语或者代名词。由此可见，作为宏观经济研究，甚至已经涉及到微观经济分析，时间序列分析方法是十分重要的。

时间序列分析方法之所以在经济学的实证研究中如此重要，其主要原因是经济数据大多具有时间属性，都可以按照时间顺序构成时间序列，而时间序列分析正是分析这些时间序列数据动态属性和动态相关性的有力工具。从一些典型的研究案例中可以看出，时间序列分析方法在揭示经济变量及其相关性方法取得了重要进展。

目前关于时间序列分析的教科书和专著很多。仅就时间序列本身而言的理论性论著也很多，例如本课程主要参考的Hamilton的“时间序列分析”，以及Box 和Jankins的经典性论著“时间序列分析”；近年来出现了两本专门针对经济学和金融学所编写的时间序列专著，这也是本课程主要参考的教材。另外需要注意的是，随着平稳性时间序列方法的成熟和解决问题所受到的局限性的暴露，目前研究非平稳时间序列的论著也正在出现，其中带有结构性特征的非平稳时间序列分析方法更是受到了广泛重视。

二、本实验采用2000-01~2004-11月gps坐标时间序列数据做时间序列分析模型，数据如下：

2000.1 5.4% 2001.9 8.8% 2003.5 13.4%

2000.2 15.3% 2001.10 8.5% 2003.6 13.1%

2000.3 7.1% 2001.11 7.4% 2003.7 15.2%

2000.4 6.9% 2001.12 9.6% 2003.8 15.5%

2000.5 12.8% 2002.1 15.4% 2003.9 15.5%

2000.6 12.5% 2002.2 -3.2% 2003.10 14.8%

2000.7 13.5% 2002.3 6.2% 2003.11 15.6%

2000.8 10.6% 2002.4 10.6% 2003.12 13.4%

2000.9 7.0% 2002.5 8.5% 2004.1 5.9%

2000.10 9.3% 2002.6 13.4% 2004.2 24.7%

2000.11 9.4% 2002.7 11.4% 2004.3 15.4%

2000.12 8.5% 2002.8 13.7% 2004.4 16.2%

2001.1 0.1% 2002.9 18.6% 2004.5 16.6%

2001.2 12.8% 2002.10 16.1% 2004.6 14.3%

2001.3 9.8% 2002.11 17.1% 2004.7 11.7%

2001.4 7.7% 2002.12 14.6% 2004.8 12.1%

2001.5 7.7% 2003.1 10.7% 2004.9 11.8%

2001.6 8.4% 2003.2 23.2% 2004.10 15.8%

2001.7 10.2% 2003.3 16.2% 2004.11 14.4%

2001.8 6.3% 2003.4 14.1%

首先对数据进行平稳性与纯随机性的检验与判别

（一）平稳性的检验我们先采用图示法，时序图如下：

X

.25

.20

.15

.10

.05

.00

-.05

510152025303540455055

由图所示，该序列有很大的波动，周期性不明显。更重要的是该序列的上升或下降趋势并不明显，基本可以确认该序列是平稳的，但直观感受不能认定它就是平稳的，需进一步做检验。

样本自相关图如下:

根据序列自相关图可以看出：该序列具有短期相关性，就是随着延期数的增加，平稳序列的自相关系数很快地接近于零，自相关图大部分都在2倍的标准差范围内。所以确认该序列就是平稳序列。

下面进行纯随机性检验：由自相关图可以知道，该序列延迟16期的自相关系是0.285 0.318 0.418 0.288 0.346 0.282 0.212 0.276 0.211 0.185 0.102 0.087 0.164 0.137 0.063 0.019

延迟期的Q 统计值和对应得P值如图：

由于Q统计值都很大，而对应的P值都小a，所以拒绝该序列是白噪声的假设，故该序列是非纯随机序列。

三、对模型的识别，我们做出自相关和偏子相关图。

由于该序列的自相关系数大部分落入2倍标准差范围内，而且自相关系数衰减为零的速度很慢，所以表现出拖尾性，而偏自相关系数的三阶在二倍标准差范围外，其他衰减为零的速度很快，所以表现出三阶截尾性，所以可断定该模型是AR(3)模型，即三阶自回归模型。

一、我们采用最小二乘法进行参数估计：

从图中我们可以得出模型为：

30.1214900.426156t x x t

ε-=++

二、 对模型进行检验（一）参数的显著性检验，如图

由于以上参数的t 值显著大于2，p 值小于0.05，所以拒绝参数不显著的假设，即认为这些参数是显著的。 （二） 模型的显著性检验 主要对残差的白噪声检验，如图：

由残差序列的自相关与偏自相关的延迟阶数k 下的Q 统计值的p 值都显著大于0.05，可认为该拟合模型的残差序列属于白噪声序列，即该拟合模型显著有效。 四、模型优化

模型优化主要有两个准则——AIC和SBC准则

我们主要采用施瓦兹准则，分别对AR（1）、AR（2）、AR（3）进行检验，结果依次如下：

图表 1AR（1）

图表 2AR（2）

图表 3AR（3）

通过比较可知：各模型中的Schwarz criterion(施瓦兹准则)值在ar(3)模型中最小，所以ar(3)模型是相对优化模型。

六、预测序列未来走势

根据模型对未来五年做以下预测，如图：

预测

模型12 月

2004

1 月

2005

2 月

2005

3 月

2005

4 月

2005

V2-模型_1 预测.1344 .0941 .1647 .1285 .1301 UCL .2121 .1734 .2455 .2108 .2138 LCL .0567 .0149 .0840 .0463 .0464

对于每个模型，预测都在请求的预测时间段范围内的最后一个非缺失值之后开始，在所有预测值的非缺失值都可用的最后一个时间段或请求预测时间段的结束日期（以较早者为准）结束。

同时做出未来五年预测值的置信区间：

故预测未来五年电厂电力增长率分别为：0.1344、0.0941、0.1647、0.1285、0.1301，从数据中我们可以发现增长状况相对来讲波动不算太大，基本趋于稳定。 五、gps 坐标时间序列具体计算

一元ARMA 模型是描述时间序列动态性质的基本模型。通过介绍ARMA 模型，可以了解一些重要的gps 坐标时间序列的基本概念。 1 预期、平稳性和遍历性 1.1 预期和随机过程

假设可以观察到一个样本容量为T 的随机变量t Y 的样本：

},,,{21T y y y

这意味着这些随机变量之间的是相互独立且同分布的。

例3.1 假设T 个随机变量的集合为：},,,{21T εεε ，),0(~2σεN i 且相互独立，我们称其为高斯白噪声过程产生的样本。

对于一个随机变量t Y 而言，它是t 时刻的随机变量，因此即使在t 时刻实验，它也可以具有不同的取值，假设进行多次试验，其方式可能是进行多次整个时间序列的试验，获得I 个时间序列：

+∞=-∞=t t t y }{)1(，+∞=-∞=t t t y }{)2(，…，+∞=-∞=t t I t y }{)(

将其中仅仅是t 时刻的观测值抽取出来，得到序列：},,,{)()2()1(I t t t y y y ，这个序列便是对随机变量t Y 在t 时刻的I 次观测值，也是一种简单随机子样。

定义3.1 假设随机变量t Y 是定义在相同概率空间},,{P Ω上的随机变量，则称随机变量集合},2,1,0,{ ±±=t Y t 为随机过程。

例3.2 假设随机变量t Y 的概率密度函数为：

]21

exp[

21

)(22

t t Y y y f t σσ

π=

此时称此时密度为该过程的无条件密度，此过程也称为高斯过程或者正态过程。 定义3.2 可以利用各阶矩描述随机过程的数值特征： (1) 随机变量t Y 的数学期望定义为(假设积分收敛)：

?==+∞

∞-t

t Y t t t dy y f y Y E t )()(μ 此时它是随机样本的概率极限：

∑==∞→I

i i t I t y I P Y E 1

)(1lim )(

(2) 随机变量t Y 的方差定义为(假设积分收敛): 20)(t t t Y E μγ-=

例3.3 (1) 假设},,{21 εε是一个高斯白噪声过程，随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=，则它的均值和方差分别为：

μεμμ=+==)()(t t t E Y E 2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E

(2) 随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=，则它的均值和方差分别为：

t E t Y E t t t βεβμ=+==)()(

2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E

1.2 随机过程的自协方差

将j 个时间间隔的随机变量构成一个随机向量),,(1'=--j t t t t Y Y Y X ，通过随机试验可以获得该随机向量的简单随机样本。假设函数),,,(1),,(1j t t t Y Y Y y y y f j t t t ---- 为随机向量t X 的联合概率分布密度，则可以类似地定义：

定义3.3 随机过程t Y 的自协方差定义为：

)])([(j t j t t t t j Y Y E ----=μμγ

上述协方差可以利用联合概率分布密度求解。 1.3 平稳性

定义：假设随机过程t Y 的均值函数t μ和协方差函数t j γ与时间t 无关，则称此过程是协方差平稳过程，也称为弱平稳过程。此时对任意时间t 有：

μ=t EY

j j t t Y Y E γμμ=---)])([(

例3.4 (1) 假设随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=，则它的均值和方差与时间无关，因此该过程是协方差平稳过程。

(2) 假设随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=，则它的均值为：t E t Y E t t t βεβμ=+==)()(，它依赖时间t ，因此它不是协方差平稳过程。

由于协方差平稳过程仅仅依赖时间间隔，因此有： j j -=γγ

定义：假设随机过程t Y 满足条件：对于任意正整数值n j j j ,,,21 ，随机向量

),,,(21n j t j t j t Y Y Y +++ 的联合概率分布只取决于时间间隔n j j j ,,,21 ，而不依赖时间t ，则

称该过程是严格平稳过程，简称为严平稳过程。

如果一个随机过程是严平稳过程，而且具有有限的二阶矩，则该过程一定是协方差平稳过程，即宽平稳过程。但是，一个宽平稳过程却不一定是严平稳过程。

例3.4 假设随机过程t Y 是具有高斯分布的高斯过程，如果该过程是宽平稳过程，则此过程一定是严平稳过程。 1.4 遍历性

遍历性是时间序列中非常重要的。对于时间序列而言，我们可以得到一个随着时间顺序

的样本观测值：),,,()1()1(2)1(1T y y y ，对此可以得到一个时间平均值：

∑==T t t y T y 1

)

1(1

定义：假设时间序列t Y 是一个平稳过程，如果时间平均值按照概率收敛到总体平均值，

则称该随机过程是关于均值遍历的。

遍历性是平稳时间序列非常重要的一个性质，如果一个平稳时间序列是遍历的，那么它在每个时点上的样本矩性质(均值和协方差等)就可以在不同时点上的样本中体现出来。这就是遍历性的含义。

定理：如果一个协方差平稳过程，如果自协方差函数满足：

∞<∑∞

=0

||j j γ

则随机过程是关于均值遍历的。 定义：假设时间序列t Y 是一个协方差平稳过程，如果样本协方差按照概率收敛到总体协方差，即

j P

T j t j t t Y Y j T γμμ?→?

∑---+=-1))((1 则称该过程是关于二阶矩遍历的。高阶矩遍历意味着过程不同时间上的统计性质更接近同一时点上的随机抽样性质。

例3.4 如果随机过程t Y 是高斯协方差平稳过程，则它是均值遍历过程，也是二阶矩遍历过程。

一般情况下，平稳性和遍历性之间没有必然联系，下面的例子可以说明这一点。 例3.5 假设随机过程t Y 的均值过程满足：

t i i t Y εμ+=)()(

其中均值满足：),0(~2)(λμN i ，t ε是)(i μ独立的白噪声过程。 因为

0)(][)()(=+==t i i t t E Y E εμμ 222)(0)(σλεμγ+=+=t i t E

2)()())((λεμεμγ=++=-j t i t i t j E ，0≠j

上式表明，该过程是协方差平稳过程，但是由于

t i P

T t t i T t i t T Y T μμεμμ≠?→?

∑+=∑-==)(1

)(1)()(1)(1 因此，该过程不是均值遍历过程。 2 移动平均过程 2.1 一阶移动平均过程

假设}{t ε是白噪声过程，考虑下述随机过程：

1-++=t t t Y εθεμ

其中μ和θ是任意常数。由于这个随机过程依赖最近两个时间阶段的t ε的加权平均，因此称此过程为一阶移动平均过程，表示为)1(MA 。下面我们通过求解)1(MA 过程的均值函数和协方差函数来说明它是一个宽平稳过程。

求解均值函数为：

μεθεμμ=++==-)()(1t t t t E Y E 一阶自协方差为：

2

2121111)

()])([()]

)([(σθεθεθεεθεμμγ==++=--=-----t t t t t t t t E E Y Y E

对于更高阶的自协方差，则有：

)])([()]

)([(11=++=--=-----j t j t t t j t t jt

E Y Y E εθεεθεμμγ

上述结果表明，)1(MA 过程是一个平稳随机过程。 注意到：

∞<++=∑∞

=||)1(||2220

σθσθγj j

因此，)1(MA 也是均值遍历过程。

定义：将协方差平稳过程的第j 个自相关系数表示为j ρ，则有：

0/γγρj j =

根据相关系数的定义：

00)()(),(γγγγγρj

j j t t j t t j Y Var Y Var Y Y Cov ===--

根据Cauchy-Schwarz 不等式，可知所有自相关系数绝对值不会超过1。

对于MA(1)过程而言，它的自相关系数为：

1,0;1,12

1>==+=

j j j ρθθ

ρ 自相关系数也被称为自相关函数，它度量随着时间间隔的变化，随机过程不同时点之间的相关性。即使具有相同的自相关函数，所对应的随机过程性质可能也是不同的。 2.2 q 阶移动平均过程

推广MA(1)过程中的滞后阶数，可以得到下面表示为)(q MA 的q 阶移动平均过程：

q t q t t t t Y ---+++++=εθεθεθεμ 2211

其中残差仍然是白噪声过程，系数可以是任意实数。 (1) )(q MA 过程的均值 直接计算均值函数为：

μεθεθεθεμ=+++++=---)(2211q t q t t t t E EY (2) )(q MA 过程的自协方差 首先计算方差为：

2222212

22110)1()(σθθθεθεθεθεγq

q t q t t t E ++++=++++=---

其次计算自协方差，当时间间隔q j ≤时：

2

111111)()]

)([(σθθθθθεθεθεεθεθεγj q q j j q j t q j t j t q t q t t j E -+-------+++=++++++=

当时间间隔q j >时，则有：

)]

)([(1111=++++++=-------q j t q j t j t q t q t t j E εθεθεεθεθεγ

对于)2(MA 过程而言，则有：

222210)1(σθθγ++=，

21211)(σθθθγ+=， 222σθγ=， 0=j γ，2>j

显然，对于任意阶数的移动平均过程，均是协方差平稳的。因此，移动平均过程的平稳性对于参数没有任何要求。

(3) )(q MA 过程的自相关函数

根据自相关函数(ACF 函数)的定义，可以得到)(q MA 过程的自相关函数为：

22

2112111θθθθθρ+++=

2

2

212

21θθθρ++=

0=j ρ，2>j 上述ACF 函数的典型性质是它仅有两个突出点，当时间间隔大于2个阶段以后，ACF 函数便快速地收敛到零。如果一个随机过程的ACF 函数体现出这样的性质，便可以推断它的数据生成过程(data generating process ，简称为DGP)可能是一个MA (2)过程。 2.3 无限阶移动平均过程

无限阶移动平均过程是)(q MA 过程的进一步推广，令+∞→q ，得到)(∞MA 过程的表达式为：

j t j j t Y -∞

=∑+=εψμ0

为了与有限阶移动平均参数加以区别，上述移动平均系数利用符号j ψ表示。如果假设移动平均系数是平方可加的，即：

∑∞

=∞<0

2j j ψ

可以证明上述表示按照均方收敛到一个随机变量，因此确实定义了一个随机过程。 可以对于系数加以更强的条件，即假设是绝对可加的，即满足：

∑∞

=∞<0

||j j ψ

可以证明绝对可加可以推导出平方可加，但是反之不然。系数绝对可加的无限阶移动平均过程是平稳过程，其均值和协方差函数可以表示为：

μεψεψεψεψμ=+++++=---∞

→)(lim )(22110T t T t t t T t E Y E

2

22

221100)()(lim σ

ψ

εψεψεψεψγ∑∞

=---∞→=++++=j j

T t T t t t T E

20

)()])([(σψψμμγ∑∞

=+-=--=k k j j j t t j Y Y E

可以证明，当移动平均系数绝对可加时，自协方差也是绝对可加的：

∑∞

=∞<0

||j j λ

因此)(∞MA 过程是关于均值遍历的。 3自回归过程

上面我们介绍的移动平均过程是将一个随机过程表示为随机残差的移动平均，当期随机过程的实现没有受到过程前期取值的直接影响。如果随机过程取值对后继取值产生影响，则可以利用自回归过程表示这样随机过程的基本特征。 3.1 一阶自回归过程AR (1)

假设随机过程当期取值依赖前一个阶段的取值，如此随机过程可以利用下面一阶自回归过程AR (1)表示：

t t t Y c Y εφ++=-1

其中t ε仍然是白噪声过程。显然如此自回归过程可以表示为线性差分方程形式：

t t t w Y Y +=-1φ，t t c w ε+=

根据线性差分方程的性质可知，如果自回归系数1||>φ，外生扰动的作用将不断累积，导致该过程具有逐渐增加的均值和方差，因此该过程将不是平稳过程。为此，我们限制自回归系数满足：1||<φ，这是一阶自回归过程平稳的约束条件。

根据差分方程解的公式，可以得到： ∑∞=-------+-=++++++++=++++=0

33221332211)()()()(j j t j t t t t t t t t t c

c c c c w w w w Y εφφεφεφεφεφφφ

根据上述过程表达式，可以知道： (1) )1(AR 过程的均值函数为：

φ

μ-==1c

EY t

(2) )1(AR 过程的方差为：

2

2

2

4

2

2

01)1()(φσσφφμ

γ-=+++=-= t Y E

(3) )1(AR 过程的协方差函数为： 22

2

4

2

2212211)()])([()]

)([(σ

φφσφ

φ

φεφφεεεφφεεμμγ-=+++=++++++=--=++--------j

j j j

j t j t j t t t t j t t j E Y Y E (4) )1(AR 过程的自相关函数为：

j j φρ=， ,2,1,0=j

当平稳性条件满足时，上述自相关函数收敛到零，但是收敛的方式依赖φ的符号，如何自回归系数是正的，则呈现单调收敛模式；当自回归系数是负的时候，呈现震荡收敛模式。

由于φ的绝对值大小体现了前期过程值对当期值的影响程度，因此φ的绝对值越大，这个过程保持前期值符号的能力就越强，这样的性质可以通过对不同φ值的自回归过程的模拟当中识别出来。

在上述对)1(AR 过程的讨论当中，我们采用了无限阶移动平均表示，并根据这样的表示求解过程的均方差和自协方差等性质。下面我们在假设过程具有平稳性的条件下，简单的求解这些过程的数值特征。

(1) 对)1(AR 过程两端求数学期望，得到：

1-+=t t Y E c EY φ

如果过程是平稳的，则均值函数不依赖时间参数，则得到均值为：

φ

μ-==1c

EY t

(2) 将)1(AR 过程进行“中心化”表示，即将其根据均值进行平移： t t t Y Y εμφμ+-=--)()(1

上式两端平方运算以后取数学期望可以得到：

212122])([2])([)(t t t t t E Y E Y E Y E εεμφμφμ+-+-=--- 需要注意到：

0])([])([22211=+++=-----t t t t t t E Y E εεφεφεεμ 则得到：

2020σγφγ+= 也可以得到：

2

01φ-(3) 当0>j 时，在中心化表示两端乘以因子)(μ--j t Y ，然后取数学期望得到：

])[()])(([)])([(1t j t j t t j t t Y E Y Y E Y Y E εμμμφμμ-+--=------

则得到：

1-=j j γ

φγ，

,2,1=j

这是自协方差函数所满足的一个一阶齐次差分方程，其解为：

22

01σ

φφγφγ-==j

j

j 这同前面利用无限移动过程的推导结果完全一致。 3.2 二阶自回归过程)2(AR

二阶自回归过程表示为)2(AR ，模型形式为：

t t t t Y Y c Y εφφ+++=--2211

采用滞后算子形式表示为： t t c Y L L εφφ+=--)1(221

差分方程稳定或者上述过程平稳的条件是： 01221=--z z φφ

的所有根落在单位圆外。这时假设逆算子形式为：

++++=--=-3322101221)1()(L L L L L L ψψψψφφψ

其中算子多项式的系数j ψ由前面差分方程的讨论所确定。

利用算子多项式的逆算子，可以将)2(AR 过程表示为无限阶移动平均过程：

t t L c L Y εψψ)()(+=

可以直接证明此过程的均值为：

2

11)()(φφψμ--===c

c L Y E t

并且可以得到：

∑∞

=∞<0

||j j ψ

如果假设该过程是平稳过程，那么对)2(AR 过程直接求数学期望，也可以得到类似的均值。)2(AR 过程也存在下述中心化表示：

t t t t Y Y Y εμφμφμ+-+-=---)()()(2211

两端乘以因子)(μ--j t Y ，然后取数学期望得到：

)])(())(([)])([(2211μμφμμφμμ--+--=-------j t t j t t j t t Y Y Y Y E Y Y E

利用自协方差定义得到：

2211--+=j j j γφγφγ， ,2,1=j

这说明自协方差满足二阶差分方程，这个差分方程的稳定性是要求自回归系数落入稳定的三角形区域内。

自相关函数满足：

2211--+=j j j ρφρφρ， ,2,1=j

令1=j 得到：

1211211ρφφρφφρ+=+=-

从中可以得到：

2

11φ-令2=j 得到：

2112φρφρ+=

从中可以得到：

22

2

121φφφρ+-=

类似地，可以求解出)2(AR 过程的方差：

222110σγφγφγ++=

可以表示为：

20220110σγρφγρφγ++= 从中解出方差为：

20

2222

12221011σγφφφφφφγ+??

????+-+-= 或者：

])1)[(1()1(212222

20φφφσφγ--+-=

3.3 p 阶自回归过程)(p AR

如果将解释变量的滞后阶数扩展，可以得到下述p 阶自回归过程，表示为AR (p )： t p t p t t t Y Y Y c Y εφφφ++++=--- 2211 假设算子多项式的特征方程： 01221=----p p z z z φφφ

的根全部落入单位圆外，则AR (p )是协方差平稳的，其无限阶移动平均表示为：

t t L Y εψμ)(+=

++++=----=-3322101221)1()(L L L L L L L p p ψψψψφφφψ

∑∞

=∞<0

||j j ψ

在AR (p )过程满足协方差平稳的条件下，取均值为： μφμφμφμp c ++++= 21 则均值为：

p

c

φφφμ----=

211

得到上述均值以后，可以将在AR (p )过程进行中心化表示： t p t p t t t Y Y Y Y εμφμφμφμ+-++-+-=----)()()()(2211 两端乘以因子)(μ--j t Y ，然后取数学期望得到：

?????=++++=+++=---0,,2,1,2221

12211j j p p p j p j j j σγφγφγφγφγφγφγ 对于给定的参数),,,(12p φφσ ，可以求出方差和协方差的初值状态),,,(10p γγγ ，可以作为上述差分方程的初值，并可以进一步求解出所有阶数的协方差序列。 进一步可以得到自相关函数方程，这个差分方程被称为Yule-Walker 方程： p j p j j j ---+++=ρφρφρφρ 2211， ,2,1=j

如果算子多项式特征方程具有相异根，则协方差构成的差分方程具有解形式为：

j

p

p j j j g g g λλλγ+++= 2211

其中),,,(21p λλλ 是下述方程的根：

02211=------p p p p φλφλφλ

六、参考文献

[1] Box, G. E. P. and Jenkins, G. M., Time Series Analysis: Forecasting

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[2] Enders W., Applied Econometric Time Series , John Wiley & Sons, Inc., 1995.

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[10] Harvey, A. C., Forecasting Structural Time Series Models and the

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