粘弹性理论初步
一维微分型本构方程
【讨论方程时引进的表示材料性能的蠕变函数和松弛函数，一般由准静态条件下的蠕变和应力松弛实验确定。这些实验所提供的是从数十秒到10年左右时间的力学行为数据，而工程上许多材料与结构所受外载荷作用的时间却很短，或受到随时间交替变化的外部作用。必须研究材料的动态力学性能（dynamic mechanical properties ）。】 01230123p p p p q q q q σσσσεεεε++++???=++++???
记作
00
,k k n
m
k
k k k k k d d p q m n dt dt σε
===≥∑∑ 或 P Q σε= 其中微分算子：00
,k k
n
m
k k k k k k d d P p Q q dt dt ====∑∑
此即为一般的一维粘弹性微分型本构方程。
Maxwell 、Kelvin 、三参量固体、Burgers 、广义Maxwell 、Kelvin 链等模型的本构方程均是上式的特殊化。 1111Maxwell: +(/,)p q p E q σσεηη=== ()0
()t t E
σσεη
=
+
蠕变 ()1
/0
=()t p t E e σε-应力松弛
理想弹簧
理想粘壶
ε
σ?=E dt
d εη
σ=
E
1
ε2
εη
σ
σ
描述应力松弛过程：当受到F 作用，弹簧瞬时形变，而粘壶由于黏性作用来不及形变，应力松弛的起始形变由理想弹簧提供，并使两个元件产生起始应力为0，随后粘壶慢慢被拉开，弹簧回缩，形变减小，到总应力为0。
弹
粘σσσ==dt
d dt d dt d 2
1εεε+=η
σσεεε+=+=dt d E dt d dt d dt d 12
1()E
e E t E t dt E
d dt d E dt
d t η
τεσεση
σ
σ
η
σ
σετ=
===-
==+=-的变化形变固定时应力随时间将上式积分时当/00,,0,
010()()ττεσεσ/0/0
00t t e
E e t t E --===
E
η
1
σ2
σσ
σ
3、三参量固体模型
2
ε1
ε1
E 1
η2
E σ
σ
蠕变柔量：表示单位应力作用下随时间变化的应变值，一般是随时间而单 调增加的函数； 0()()t Y t εσ=
松弛模量：表示单位应变作用下的应力响应，是随时间增加而减小的函数。
dt
d E ε
η
εσ+=σ
ησεηε 1211221)(++=+E E E E E 0
)()(εσt E t =
4、广义Maxwell
i
E i
ηn
E n
η
Boltzmann 叠加原理（线性粘弹性）：
原理：聚合物力学松弛行为是其整个历史上诸松弛过程的线性加和的结果。高聚物的蠕变是其整个负荷历史的函数，每个负荷对高聚物蠕变的贡献是独立的，因而各个负荷的总的效应等于各个负荷效应的加和，最终的形变是各负荷所贡献形变的简单的 利用这个原理，可以根据有限的实验数据来预测高聚物在很宽的负荷范围内的力学性质。
下图为非晶态高聚物（晶态聚合物？？？）典型的模量曲线和变形曲线，描述了定时条件下模量及变形度的温度相关性。其中模量的测定方法为静态松弛试验，取松弛10s 后的模量值作为研究对象，即0E(t)/σε= (t=10s)。
①玻璃态
T温度以下曲线基本上是水平的，变形量小，而弹性模量较高，高聚物较刚硬，在
g
处于所谓玻璃态。此时，物体受力的变形符合于虎克定律，应变与应力成直线比，并在瞬时达到平衡。这是由于温度较低时，分子动能较小，整个分子链或链段不能发生运动，分子外于“冻结”状态，只有比链段更小的结构部分(链节、侧基、原子等)在其平衡位置附近作小范围的振动。受外力作用时，链段进行瞬时的微量伸缩和微小的键角变化，外力一经去除，变形旋即消失。
②高弹态（橡胶态）
T温度之后曲线急剧变化，但很快即稳定而趋于水平。在这个阶段，变形量很大，g
而弹性模量显著降低，外力去除后变形可以回复，弹性是可逆的。高聚物表现为柔软而富弹性，具有橡胶的特性，处于所谓高弹态或橡胶态。这是因为温度较高时，分子的动能增大，足以使大分子链段运动，但还不能使整个分子链运动，但分子链的柔性已大大增加，此时分子链呈卷曲状态，这就是高弹态，它是高聚物所独有的状态。高弹态高聚物受力时，卷曲链沿外力方向逐渐舒展拉直，产生很大的的弹性变形，其宏观弹性变形量可达100%～1000％。外力去除后分子链又逐渐地回缩到原来的卷曲状态，弹性变形逐渐消失。由于大分子链的舒展和卷曲需要时间，所以这种高弹性变形的产生和回复不是瞬时完成的，而是随时间逐渐变化。
③粘流态
T后，变形迅速发展，弹性模量再次很快下降，高聚物开始产生粘性流温度高于
f
T后，分子的动能动，处于所谓粘流态，此时变形已变为不可逆。这是由于温度超过
f
大大增加，不仅使链段运动，而且能使整个分子链运动，因此，受力时极易发生分子链间的相对滑动，产生很大的不可逆的流动变形，出现高聚物的粘性流动。所以粘流态主要与大分子链的运动有关。
弹性理论应用案例
弹性理论 ——“旧帽换新帽一律八折” 在市场上各商家之间“挥泪大甩卖”、“赔本跳楼价”的价格大战从未仔细考虑过究竟是为什么，只是觉得很开心，因为在可以节省大量金钱，前几天路径一家安全帽专卖店，看到它打出这样的广告——“旧帽换新帽一律八折”。店家的意思是，如果你买安全帽时交一顶旧安全帽的话，当场退二成的价格；如果直接买新帽，对不起只能按原定价格买。这一种促销方式让人觉得好奇，是不是店家加入了什么基金会或是店家和供帽厂家有什么协定，回收旧安全帽可以让店家回收一些成本，因此拿旧帽来才有二折的优惠呢如果大家是这么想，那可就猜错了，大凡这种以旧换新的促销活动主要是针对不同消费者的需求弹性而采取的区别定价方法，即：给定一定的价格变动比例，购买者需求数量变动较大称为需求弹性较大，变动较小称为弹性较小。对需求弹性较小的购买者制定较高价格，对需求弹性较大的顾客收取较低价格。而这家安全帽专卖店的促销作法正是这个理论的实际应用，实际上，店家拿到你那顶脏脏旧旧的安全帽，并沒有什么好处，常常是在你走后往垃圾筒一丟了事。既然沒好处，店家为何还要多此一举呢答案是——店家以顾客是否拿旧安全帽，来区别顾客的需求弹性。简单地说，沒拿旧安全帽来的顾客说明他沒有安全帽，由于法令规定：驾驶摩托车必须要戴安全帽，故而无论价格的高低，购买摩托车的人一定要买顶安全帽，因此这种顾客的需求曲线较陡，弹性较小。相对地，拿旧安全帽来抵二折价款的顾客表明他本来就有一顶安全帽，如果安全帽的价格便宜他有以旧换新的需求，而如果价格太贵他也可以以后再买，因为已有了一顶安全帽，对该商品的需求沒有迫切性。因此，这类的顾客需求曲线较平坦，弹性较大。 综上所述不难看出，该安全帽专卖店采用这种“旧帽换新帽八折”的促销活动，针对不同消费者的需求定价的方法，不仅不会使其减少营业收入，反而会吸引那些本不想购买新帽的消费者前来购买，增加了收益。因此，我认为：认真研究消费者心理，了解市场需求，针对本行业的特点，制定出适合自己的价格策略，一定会给单位、公司带来丰厚的利润。 需求的收入弹性——企业与消费者必须面对的另一个问题。 消费者的收入是决定需求的一个不亚于价格的因素。所谓的需求收入弹性是指，消费者的收入变化对某物品需求量变动的影响。用公式表示：Ed=△Q/Q/△P/P需求的收入弹性与需求的价格弹性一样也有几种分类，最主要还是收入富有弹性和缺乏弹性。一般来讲收入增加对商品的需求量增加，符合这种特性的是正常商品。但收入增加后生活必需品增加比例小于收入增加的比例；收入增加后奢侈品的增加大于收入增加的比例。这两种情况无论收入弹性系数大小都是正值。但也有一些商品，比如，旧货、低挡面料的服装、处理品等商品是随着消费者的收入的增加而减少。收入弹性系数大小都是负值。通俗地说，收入增加了我们不会多吃粮食、食盐、对牙膏的增加也有限；对旧货、低档面料的服装、处理品非但不增加，而减少；收入增加后我们增加了的住房、汽车、化妆品、名牌服饰等需求的增加。近年来我们的收入不断增加，低档品从我们的生活中逐渐消失，而高档品的消费越来越多，这种变化的情况符合恩格尔定律。 恩格尔是19世纪德国统计学家，他在研究人们的消费结构变化时发现了一条规律，即一个家庭收入越少，这个家庭用来购买食物的支出所占的比例就越大，反过来也是一样。而这个家庭用以购买食物的支出与这个家庭的总收入之比，就叫恩格尔系数。这是因为食品属于缺乏弹性，我们收入增加几乎不增加食物，收入增加后增加的几乎是弹性大的商品。由此可以得出结论，对一个国家而言，这个国家越穷，其恩格尔系数就越高；反之，这个国家越富，其恩格尔系数越是下降。这就是世界经济学界所公认的恩格尔定律。 据说联合国粮农组织提出了一个划分贫困与富裕之间的标准：恩格尔系数在59%以上为贫困；50%-59%之间为小康；30%~40%之间为富裕；30%以下为特别富裕。1998年美国农业
弹性理论的应用
三、把弹性引入经济应用的实际意义 弹性就是经济学中得到广泛应用的一个重要概念,它在预测市场结果、分析市场受到干预时所发生的变化等方面起着重要作用,就是企业管理者进行科学决策的一个有利的经济分析工具。 (一)进行价格决策与销售收益分析 利用需求价格弹性的概念,可以得出价格变动如何影响销售收益的结论。这对于制定销售策略与合理确定商品价格有着重要的参考价值。 设需求函数,从而收益函数为,其边际收益。 由此可知,当需求就是富有弹性时,即当时,,说明收益就是价格的单调减函数。此时若采取降价措施,可使总收益增加,即薄利多销多收益; 当需求就是缺乏弹性时,即当时,,说明收益就是价格的单调增函数。此时可适当提高商品售价,以增加销售收入; 当需求具有单一弹性,即时,,此时的收益已经达到最大值,且总收益不受价格影响,因而无需再对商品价格进行调整。 (二)引导消费品的生产 消费品生产企业,需要科学地预测消费者购买力的投向,以便生产适销产品,增加企业利润。而居民消费品购买力又与其可支配收入有直接关系。 需求的收入弹性(以表示) ,就是指消费者收入的相对变动所引起的需求量的相对变动。其数学表达为: 。当时,, 其中,表示消费者的收入,为消费者收入的变动量。根据的大小,能够测定消费者收入变动对需求量变动的影响程度。而且可以将各种产品分为: 1、正常品:一般来说,当消费者收入提高时,会增加各种产品的需求量,当某种产品的需求量随收入的提高而增加即需求量与收入成正向变动时,叫正常品,此时。其中,又可以根据就是否大于1 ,将正常品分为两种: (1)奢侈品:若,说明收入发生相对变动时,需求量变动更大,这种产品叫奢侈品。(2)必需品:若,说明收入发生相对变动时,需求量变动较小,这种产品叫必需品。 2、劣等品:需求量随收入增加而减少的产品,叫劣等品。运用需求的收入弹性,不仅可以确定商品的性质与类型,还可以解释许多经济现象,分析许多经济问题,恕不枚举。以上讨论了需求价格弹性及需求收入弹性的定义及其在经济中的应用。类似地,还可以讨论需求交叉弹性、供给价格弹性、供给的预期价格弹性、总成本对产量的弹性、总利润对产(销)量的弹性等在经济中的应用。
弹性理论应用案例
弹性理论 ——“旧帽换新帽一律八折” 在市场上各商家之间“挥泪大甩卖”、“赔本跳楼价”的价格大战从未仔细考虑过究竟是为什么，只是觉得很开心，因为在可以节省大量金钱，前几天路径一家安全帽专卖店，看到它打出这样的广告——“旧帽换新帽一律八折”。店家的意思是，如果你买安全帽时交一顶旧安全帽的话，当场退二成的价格；如果直接买新帽，对不起只能按原定价格买。这一种促销方式让人觉得好奇，是不是店家加入了什么基金会或是店家和供帽厂家有什么协定，回收旧安全帽可以让店家回收一些成本，因此拿旧帽来才有二折的优惠呢？如果大家是这么想，那可就猜错了，大凡这种以旧换新的促销活动主要是针对不同消费者的需求弹性而采取的区别定价方法，即：给定一定的价格变动比例，购买者需求数量变动较大称为需求弹性较大，变动较小称为弹性较小。对需求弹性较小的购买者制定较高价格，对需求弹性较大的顾客收取较低价格。而这家安全帽专卖店的促销作法正是这个理论的实际应用，实际上，店家拿到你那顶脏脏旧旧的安全帽，并沒有什么好处，常常是在你走后往垃圾筒一丟了事。既然沒好处，店家为何还要多此一举呢？答案是——店家以顾客是否拿旧安全帽，来区别顾客的 需求弹性。简单地说，沒拿旧安全帽来的顾客说明他沒有安全帽，由于法令规定：驾驶摩托车必须要戴安全帽，故而无论价格的高低，购买摩托车的人一定要买顶安全帽，因此这种顾客的需求曲线较陡，弹性较小。相对地，拿旧安全帽来抵二折价款的顾客表明他本来就有一顶安全帽，如果安全帽的价格便宜他有以旧换新的需求，而如果价格太贵他也可以以后再买，因为已有了一顶安全帽，对该商品的需求沒有迫切性。因此，这类的顾客需求曲线较平坦，弹性较大。 综上所述不难看出，该安全帽专卖店采用这种“旧帽换新帽八折” 的促销活动，针对不同消费者的需求定价的方法，不仅不会使其减少营业收入，反而会吸引那些本不想购买新帽的消费者前来购买，增加了收益。因此，我认为：认真研究消费者心理，了解市场需求，针对本行业的特点，制定出适合自己的价格策略，一定会给单位、公司带来丰厚的利润。 需求的收入弹性——企业与消费者必须面对的另一个问题。消费者的收入是决定需求的一个不亚于价格的因素。所谓的需求收入弹性是指，消费者的收入变化对某物品需求量变动的影响。用公式表示：Ed=A Q/Q/△ P/P需求的收入弹性与 需求的价格弹性一样也有几种分类，最主要还是收入富有弹性和缺乏弹性。一般来讲收入增加对商品的需求量增加，符合这种特性的是正常商品。但收入增加后生活必需品增加比例小于收入增加的比例；收入增加后奢侈品的增加大于收入增加的比例。这两种情况无论收入弹性系数大小都是正值。但也有一些商品，比如，旧货、低挡面料的服装、处理品等商品是随着消费者的收入的增加而减少。收入弹性系数大小都是负值。通俗地说，收入增加了我们不会多吃粮食、食盐、对牙膏的增加也有限；对旧货、低档面料的服装、处理品非但不增加，而减少；收入增加后我们增加了的住房、汽车、化妆品、名牌服饰等需求的增加。近年来我们的收入不断增加，低档品从我们的生活中逐渐消失，而高档品的消费越来越多，这种变化的情况符合恩格尔定律。 恩格尔是19 世纪德国统计学家，他在研究人们的消费结构变化时发现了一条规律，即一个家庭收入越少，这个家庭用来购买食物的支出所占的比例就越大，反过来也是一样。而这个家庭用以购买食物的支出与这个家庭的总收入之比，就叫恩格尔系数。这是因为食品属于缺乏弹性，我们收入增加几乎不增加食物，收入增加后增加的几乎是弹性大的商品。由此可以得出结论，对一个国家而言，这个国家越穷，其恩格尔系数就越高；反之，这个国家越富，其恩格尔系数越是下降。这就是世界经济学界所公认的恩格尔定律。 据说联合国粮农组织提出了一个划分贫困与富裕之间的标准：恩格尔系数在59%以上为 贫困；50%-59%之间为小康；30%~40%之间为富裕；30%以下为特别富裕。1998 年美国农业部公布的调查数据，恩格尔系数：印度51%，墨西哥33.2%，以色列21.0%，日本17.8%，德国17.7%，法国15.2%，澳大利亚14.6%，英国是11.5%，美国是10.9%。 我国城镇居民由1995 年的49.9%下降到1999 年的41.9%，农村居民则由58.6%下降到52.6%。，
弹性力学在工程中的应用
弹性力学在土木工程中的应用 摘要：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产的应力、弹性力学，应变和位移，从而解决结构或设计中所提生出的强度和刚度问题。在土木工程方面，建筑物能够通过有效的弹性可以抵消部分晃动，从而减少在地震中房屋倒塌的现象；对于水坝结构来说，弹性变化同样具有曲线性，适合不断变化的水坝内部的压力，还有大型跨顶建筑、斜拉桥等等。弹性力学在土木工程中还有一些重要应用实例，如：地基应力与沉降计算原理、混凝土板的计算方法、混凝土材料受拉劈裂试验的力学原理、混凝土结构温度裂缝分析、工程应变分析、结构中的剪力滞后问题等。 关键词：弹性力学、力学、弹性变形、有限元法、强度、土木工程
正文： 弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性力学弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。 对于物体弹性变形，变形的机理，应从材料内部原子间里的作用来分析。实际上，固体材料之所以能保持其内部结构的稳定性是由于组成该固体材料（如金属）的原子间存在着相互平衡的力，吸力使原子间密切联系在一起，而短程排斥力则使各原子间保持一定的距离在正常情况下，这两种力保持平衡，原子间的相对位置处于规则排列的稳定状态。受外力作用时，这种平衡被打破，为了恢复平衡，原子便需产生移动和调整，使得吸力、斥力和外力之间取得平衡。因此，如果知道了原子之间的力相互之间的定律，原则上就能算出晶体在一定弹性力作用下的反应。实际上，固体结构的内部是多样的、复杂的。例如：夹杂、微孔、晶
弹性理论在现实生活中有哪些实际应用
弹性理论在现实生活中有哪些实际应用 1.什么是弹性理论 经济学中研究经济变量的相对变化对经济变量的相对变化的反应程度或灵敏程度的理论。当两个经济变量间存在函数关系时，作为自变量的经济变量的变化，必然引起作为因变量的经济变量的变化。弹性即表示因变量经济变量的相对变化对自变量相对变化的反应程度或灵敏程度。弹性理论包括需求弹性和供给弹性。
2.需求弹性和供给弹性及其在生活中的应用 2.1.需求弹性 需求弹性是指在一定时期内商品的相对变动对于该商品价格的相对变动的反应程度。需求的价格弹性： 它分为五种类型：完全弹性（奢侈品、豪华小汽车）、富有弹性（可乐钻石黄金）、单位弹性、缺乏弹性（大米、白面、鸡蛋等生活必需品）以及完全无弹性（特效药、婚丧用品）
2.2.供给曲线 供给曲线是以几何图形表示商品的价格和供给量之间的函数关系。供给指的是个别厂商在一定时间内，在一定条件下，对某一商品愿意并且有商品出售的数量。 供给弹性：完全缺乏弹性（工业制品）、完全富有弹性、单位弹性、缺乏弹性（土地）以及富有弹性。供给弹性的大小取决于：价格、成本、技术水平。举个身边的例子，我们学校食堂的饭菜可以看作是在供给曲线中附有弹性的商品，若是某一菜品的利润比较小的话那么就会减少，甚至停止这一菜品的生产。8元的盅类菜品，已经很少看见。食堂会根据各类菜品取得的利润来调整食堂菜品的供应，这样就能提升食堂的总收益。 供给曲线也有特例：典型的，供给曲线不规则。工资提高到一定水平，随着工资进一步提高，工人劳动的供给反而减少，曲线向左弯回；特殊商品市场如古字画等，供给曲线也可能不规则。它呈现的是一条垂直于横轴的直线。 3.小结 我们以穷挫丑和白富美为例最大化的投入自己的物资、精力和时间资源，试图博取白富美的好感。虽然收益无限趋近于零，但白富美几乎占据了穷挫丑的所有生活——在两人的关系中，穷挫丑的成本很高。 白富美通常会无视穷挫丑所做的一切，甚至回个信息的时间成本都不愿意投入——在两人的关系中，白富美的成本可以忽略不计。
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用
《弹性力学》读书报告 弹性力学是固体力学学科的分支。其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 一．弹性力学的作用 弹性力学研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性。切应力的成对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本构方程。对于弹性体的某一点的本构方程，除考虑该点本身外还要考虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等 二．弹性力学在常用坐标系下的基本方程 现在就解析法简要介绍弹性力学的基本方程： 1．平衡微分方程 用张量形式描述 2. 几何方程 用张量形式描述 变形协调方程
3.本构方程-广义胡克定律 用应力表示的本构方程 [][][][][][]()/(1)/()/(1)/()/(1)////x x y z E v x v E y y x z E v y v E z z x y E v z v E xy xy G yz yz G xz xz G εσσσσεσσσσεσσσσγτγτγτ=-+=+-Θ=-+=+-Θ=-+=+-Θ=== 用应变表示的本构方程 4．边界条件： 如果物体表面的面力F s x ，F s y ，F s z 为已知，则边界条件应为：
称为面力边界条件，用张量符号表示为 如果物体表面的位移已知，则边界条件应为 称为位移边界条件。除了面力边界条件和位移边界条件，还有混合边界条件。 如上所述，弹性力学的基本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，共计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个基本方程。 三．弹性力学基本的解决问题的方法： 弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。 数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对岩体在某种假设的前提下进行弹性分析，从而得出岩体的各种力学参数。数学方法是偏微分方程的边值问题，求解的方法有解析法和近似解法。 （1）解析法，即直接求解偏微分方程边值问题，这在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。 （2）数值解法是采用计算机处理的近似解法。近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得有限元方法首先在弹性力学应用领域发展起来。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。 四．弹性力学在实际应用中解决问题的实际方法： 1. 应力函数法 该方法主要是用应力作为基本变量求弹性力学的平面问题，在体力为常量时，归结为在给定的边界条件下求解平衡方程 //0//0 x x yx y Fx xy x y y Fy σττσ??+??+=??+??+= 和调和方程：▽2（σx+σy ）=0 转化成齐此方程，用数学方法求出各项参数。 直接求解弹性力学问题往往时很困难的，有时可以使用逆解法和半逆解法。
弹性理论的应用
三、把弹性引入经济应用的实际意义 弹性是经济学中得到广泛应用的一个重要概念，它在预测市场结果、分析市场受到干预时所发生的变化等方面起着重要作用，是企业管理者进行科学决策的一个有利的经济分析工具。 （一）进行价格决策与销售收益分析 利用需求价格弹性的概念，可以得出价格变动如何影响销售收益的结论。这对于制定销售策略和合理确定商品价格有着重要的参考价值。 设需求函数，从而收益函数为，其边际收益。 由此可知,当需求是富有弹性时,即当时，，说明收益是价格的单调减函数。此时若采取降价措施,可使总收益增加,即薄利多销多收益； 当需求是缺乏弹性时,即当时，，说明收益是价格的单调增函数。此时可适当提高商品售价，以增加销售收入； 当需求具有单一弹性，即时，，此时的收益已经达到最大值,且总收益不受价格影响，因而无需再对商品价格进行调整。 （二）引导消费品的生产 消费品生产企业，需要科学地预测消费者购买力的投向，以便生产适销产品，增加企业利润。而居民消费品购买力又与其可支配收入有直接关系。 需求的收入弹性(以表示) ,是指消费者收入的相对变动所引起的需求量的相对变动。其数学表达为: 。当时，， 其中，表示消费者的收入,为消费者收入的变动量。根据的大小,能够测定消费者收入变动对需求量变动的影响程度。而且可以将各种产品分为: 1. 正常品:一般来说,当消费者收入提高时,会增加各种产品的需求量,当某种产品的需求量随收入的提高而增加即需求量与收入成正向变动时,叫正常品,此时。其中,又可以根据是否大于1 ,将正常品分为两种: （1）奢侈品:若,说明收入发生相对变动时,需求量变动更大,这种产品叫奢侈品。（2）必需品:若,说明收入发生相对变动时,需求量变动较小,这种产品叫必需品。 2.劣等品:需求量随收入增加而减少的产品,叫劣等品。运用需求的收入弹性,不仅可以确定商品的性质和类型,还可以解释许多经济现象,分析许多经济问题,恕不枚举。以上讨论了需求价格弹性及需求收入弹性的定义及其在经济中的应用。类似地,还可以讨论需求交叉弹性、供给价格弹性、供给的预期价格弹性、总成本对产量的弹性、总利润对产(销)量的弹性等在经济中的应用。 的预期价格弹性、总成本对产量的弹性、总利润对产(销)量的弹性等在经济中的应用。 （三）进出口商品供求弹性与国际贸易收支 研究一国进出口商品供给和需求弹性，对一国正确地制定汇率政策、价格政策、产业政策、外贸管理政策等宏观、微观经济政策，进而改善贸易收支，促进国际收支平衡有着重大的理论意义。 一般而言，需求弹性越大，货币贬值对贸易收支的调节效果越好，越有利于改善国际贸易收支。当需求弹性无穷大时，一国货币贬值不仅能消除逆差，还可以使该国从逆差变为顺差。相反当需求缺乏弹性时，一国的货币贬值不仅不能改善国际贸易收支，反而使国际贸易收支恶化。进出口商品的供给弹性对贸易收支也有影响，但其影响方向是不确定的。 英国经济学家马歇尔率先提出了商品的供给和需求价格弹性理论，并将其运用于国际贸易领域，正式提出了"进出口需求弹性"的概念。后来在勒纳等人的相继努力下，创立了国际收支弹性分析法的马歇尔一勒纳条件，主要考察在假定供给弹性无穷大时，货币贬值与贸易收支之间的改善关系。在这一条件中，只要一国出口和进口需求弹性之和的绝对值大于
第三章 弹性理论及其应用
一、 单选题 1. 若某行业中许多生产者生产一种标准化产品，我们可估计到其中任何一个生产者的产品的需求将是（ ）。 A. 毫无弹性； B. 有单元弹性； C. 缺乏弹性或者说弹性较小； D. 富有弹性或者说弹性很大。 2.直线型需求曲线的斜率不变，因此其价格弹性也不变，这个说法 （ ）。 A. 一定正确； B. 一定不正确； C. 可能不正确； D. 无法断定正确不正确。 3.政府对卖者出售的商品每单位征税5美元，假定这种商品的需求价格弹性为零，可以预料价格的上升（ ）。 A. 小于5美元； B. 等于5美元； C. 大于5美元； D. 不可确定。 4.若需求曲线为正双曲线，则商品价格的下降将引起买者在商品上的总花费 （ ）。 A. 增加； B. 减少； C. 不变； D. 上述均可能。 5.若需求曲线为向右下倾斜一直线，则当价格从高到低不断下降时，卖者的总收益（ ）。 A. 不断增加； B. 在开始时趋于增加，达到最大值后趋于减少； C. 在开始时趋于减少，达到最小值后趋于增加； D. 不断减少。 6.如果价格下降10%能使买者总支出增加l%，则这种商品的需求量对价格 （ ）。 A. 富有弹性； B. 具有单元弹性； C. 缺乏弹性； D. 其弹性不能确定。 7.两种商品中若当其中一种的价格变化时，这两种商品的购买量同时增加或减少，则两者的交叉需求价格弹性系数为 （ ）。 A. 负； B. 正； C. 0； D. 1。 8.对劣质商品需求的收入弹性（m E ）是 （ ）。 A. m E <1； B. m E =0； C. m E <0； D. m E >0； 9.某商品的市场供给曲线是一过原点的直线，则其供给的价格弹性 （ ）。 A. 随价格的变化而变化； B. 恒为l ； C. 为其斜率值； D. 不可确定。 10. 政府为了增加财政收入，决定按销售量向卖者征税，假如政府希望税收负担全部落在买者身上，并尽可能不影响交易量，那么应该具备的条件是 （ ）。 A. 需求和供给的价格弹性均大于零小于无穷； B. 需求的价格弹性大于零小于无穷，供给的价格弹性等于零； C. 需求的价格弹性等于零，供给的价格弹性大于零小于无穷； D. 需求的价格弹性为无穷，供给的价格弹性等于零。 二、 名词解释 1. 需求价格弹性： 2. 需求收入弹性： 3. 供给价格弹性： 4. 需求交叉价格弹性： 三、 简答题 1. 简述需求价格弹性与企业总收益的关系。 2. 人们对航空旅行的需求弹性受哪些的因素影响 四、 计算题 1.假设某商品的50%为75个消费者购买，他们每个人的需求弹性为2，另外50%为25个消费者购买，他们每个人的需求弹性为3，试问这100个消费者合计的弹性为多少? 2.在某个市场上，需求方程为P Q -=400，供给方程为100+=P Q 。 （1）求均衡价格，均衡交易量和此时的需求价格弹性。 （2）若政府在消费者购买该商品时对每单位商品征收10元的消费税，求新的均衡价格，均衡交易量和相应的需求价格弹性。
弹性力学发展史及实际中的解题方法
弹性力学 弹性力学简介elasticity 弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展简史 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。 弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。 同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。 在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。 第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。 1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。 在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利——里兹法，为直接求解泛函极值问题开辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。 从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性弹性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外，还建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展。 弹性力学的基本内容