北京四中2014～2015学年初二上期中考试数学试题及答案

数学试卷

（考试时间：100分钟满分：120分）

姓名：班级：成绩: ____________

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）．

A．B．C．D．

2．下列各式不能

．．分解因式的是（）．

A．2

x x

-B．2

x x

++C．22

x y

+D．2

3．点P（－3，5）关于y轴的对称点的坐标是（）．

A．（3，5）B．（3，－5）C．（5，－3）D．（－3，－5）

4. 如图，Rt ABC

△中，90

∠=°，ABC

∠的平分线BD交AC于点D，若3cm

CD=，则点D到AB的距离是（）．

A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm

5．下列各式中，正确的是（）．

A．

x x

y y

B．

a b a b

c c

+-+

C．

a b a b

c c

---

D．

a a

b a a b

6．下列命题是真命题的是（）．

A．等底等高的两个三角形全等

B．周长相等的直角三角形都全等

C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

D．有一边对应相等的两个等边三角形全等

7．如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将

△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′

的度数（）．

A．25?B．30?C．35?D．45?

8．在等腰ABC

?中，已知AB=2BC，AB=20，则ABC

?的周长为（）．A．40 B．50 C．40或50 D．无法确定

9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x的范围是（）．A．2 < x < 12 B．5 < x < 7 C．1 < x < 6 D．无法确定

10．如图，在RtΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平

分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结

论：（1）AD=BF；（2）CF=CD；（3）AC+CD=AB；（4）BE=CF；

（5）BF=2BE，其中正确的结论个数是（）．

A．1 B．2 C．3 D．4

A B

（第7题图）

（第4题图）

二、填空题（本题共20分，每小题2分）

11．若式子4

-x x 有意义，则x 的取值范围是________.

12．计算

122

93m m

+--= ． 13．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =20°,线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 为度．

14．若关于x 的二次三项式2x +kx b +因式分解为(1)(3)x x --，则k+b 的值为___． 15．若 a + b = 7, ab = 5, 则 a 2 - ab + b 2 = _______________． 16．当x 取值时，2610x x ++有最小值，最小值是． 17．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则列出的方程是________________． 18．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，在BC 上截取BD ＝BA ，作

∠ABC 的平分线与AD 相交于点P ，连结PC ，若BD=2CD ，△ABC 的面积为22cm ，则△D PC 的面积为_____________．

（第18题图）（第19题图） 19．如图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=?，195∠=?，则∠2的度数为_______． 20．如果满足条件“∠ABC =30°，AC =1， BC =k （k >0）”的△ABC 是唯一的，那么k 的取值范围是．

三、解答题

21. 把多项式分解因式（每题4分，共8分）.

(1)33312a b ab - (2)4)(4)(222+---x x x x 解：解：

B'C'

F 1

B C

（第13题图）

22.（每题4分，共8分） (1)计算：

1112--

-÷-a a

a a a . (2)解方程：542332x x x +=--. 解：解：

23.（本题5分）已知：如图， A 、B 、C 、D 四点在同一直线上， AB =CD ， AE ∥BF 且AE =BF ．求证： EC =FD ．

24．（每题4分，共8分） (1)先化简，再求值：2112()3369

m m m m +÷-+-+，其中9m =．解：

(2)已知113x y -=，求代数式21422x xy y

x xy y

----的值.

解：

C D

25．列分式方程解应用题：（本题5分）（温馨提示：你可借助图示、表格等形

式“挖掘”等量关系）

赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为

骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的

速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多9

小时．求

自驾车和自行车的速度．

四、解答题

26. （本题4分）某地区要在区域．．S ．内． (即 COD 内部．．) 建一个超市M , 如图所示, 按照要求, 超市M 到两个新建的居民小区A , B 的距离相等, 到两条公路OC , OD 的距离也相等. 这个超市应该建在何处？ (要求：尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)

27. （本题5分）阅读下列材料：

如图，在四边形ABCD 中，已知 105=∠=∠BAD ACB ， 45=∠=∠ADC ABC .

求证：CD=AB.

小刚是这样思考的：由已知可得， 60=∠DCA ， 75=∠DAC ， 30=∠CAB ，

180=∠+∠DAC ACB ，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A

作AE AB ⊥交BC 的延长线于点E ，则AB=AE ，∠E=∠D.

∵在ADC ?与CEA ?中，

75D E DAC ECA AC CA ∠=∠??

∠=∠=??=?

ADC CEA ??∴≌，

得CD AE AB ==.

请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：

如图，在四边形ABCD 中，若 180=∠+∠CAD ACB ，D B ∠=∠，请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．

28. （本题7分）在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE＝60°，EF⊥BC于F．

（1）如图1，若点D在线段BC上．

求证：①AD＝DE；②BC＝DC＋2CF；

（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．

B C

D E

B C D

图1 图2

附加题（满分20分）：

1.（本题4分）已知2310a a --=，求62120a a -+= ．

2.（本题4分）右图中，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，

求四边形ABCD 的面积为．

3.（本题6分）已知22m n =+，22n m =+，m≠n ，求 332m mn n -+的值．

4.（本题6分）已知：△ABC 中，∠ABC ＝2∠ACB ，∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的平分线CD 相交于点D ，且CD ＝AB ，求证：∠A ＝60°．

一、选择题

1、D

2、C

3、A

4、C

5、D

6、D

7、D

8、B

9、C 10、D 二、填空题

B C D

11.4≠x ； 12.3

m ； 13.60； 14.-1； 15.34； 16.x =-3，1； 17.420

480

480=+-x x ；

18.3

；19.25°； 20.2k =或0

（2）解：原式=[].)1()2()1)(2()2(222

22+-=+-=--x x x x x x

22. （1）()

1a a -

- ；（2）1x =.

23.解：∵AE ∥BF ，

∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ∴EC =FD ．

24.(1)解： 2112()3

m m m m +÷

-+-+

＝2

2(3)(3)(3)2m m m m m

-?-+ ＝

m m -+．当9m =时，原式＝

931

932

-=+．（2）解：∵

xy y x y

x 3,31

1-=-∴=- ∴上式=

.423146214)(2=----=----xy

xy xy

xy xy y x xy y x

25.解：设自行车速度为x 千米/小时依题意得：

522020=-x x 解方程得x=18.

经检验x=18是原方程的解且符合实际意义 2x=36

答：自行车的速度是18千米/小时，自驾车的速度是36千米/小时.

26.略

27.解：CD=AB

证明：延长BC 至E

使AE=AB 则∠B=∠E ∵∠B=∠D ∴∠D=∠E

∵ 180=∠+∠CAD ACB ∠ACB+∠ACE=180° ∴∠CAD=∠ACE

在ΔCAD 与ΔACE 中

??∠=∠=E D CA

AC ACE ∠=CAD ∠ ∴ΔCAD ?ΔACE ∴CD=AE ∴CD=AB.

28.（1）①过D 作DG ∥AC 交AB 于G

∵△ABC 是等边三角形，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠ACB ＝60°

∴∠BDG ＝∠ACB ＝60°，∴∠BGD ＝60° ∴△BDG 是等边三角形，∴BG ＝BD ∴AG ＝DC

∵CE 是∠ACB 外角的平分线，∴∠DCE ＝120°＝∠AGD ∵∠ADE ＝60°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝120°＝∠ADB ＋∠DAG ∴∠EDC ＝∠DAG ，∴△AGD ≌△DCE

∴AD ＝DE

②∵△AGD ≌△DCE ，∴GD ＝CE ，∴BD ＝CE

∴BC ＝CE ＋DC ＝DC ＋2CF

（2）①成立；②不成立，此时BC ＝2CF －CD

证明：过D 作DG ∥AC 交AB 延长线于G 以下略

附加题：1、1309； 2、2； 3. -2

4.证明：过点A 作AE ∥BC 交BD 延长线于E ，连接CE ，设AC 、BE 相交于点O

A B C D E

B C D

F G

则∠1＝∠ACB，∠2＝∠3

∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠3＝∠ACB

∴OB＝OC，∠1＝∠2

∴OA＝OE

又∠AOB＝∠EOC，∴△AOB≌△EOC

∴∠BAC＝∠CED，∠5＝∠4＝∠3，AB＝CE ∵CD＝AB，∴CD＝CE

∴∠CED＝∠CDE＝∠3＋∠6

又∠DCE＝∠5＋∠7，∠6＝∠7

∴∠CED＝∠CDE＝∠DCE＝60°

∴∠BAC＝∠CED＝60°

B C

1 2

7 5