解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质
4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质
一、选择题
1．(2010·安徽双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 (
A. B. C. D．(，0
解析：∵原方程可化为－＝1，a2＝1，
b2＝，c2＝a2＋b2＝，
∴右焦点为.
答案：C
2．(2010·天津已知双曲线－＝1(a>0，b>0的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 (
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.①
∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，
∴c＝6.②
又c2＝a2＋b2，③
由①②③知，a2＝9，b2＝27，
此双曲线方程为－＝1.
答案：B
4．(2010·辽宁设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ (
A．4 B．8 C．8 D．16
解析：解法一：AF直线方程为：
y＝－(x－2，
当x＝－2时，y＝4，4A(－2,4．
当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6，
4P(6,4，
4|PF|＝|PA|＝6－(－2＝8.故选B.
解法二：5PA∞l，4PA%x轴．
又5 AFO＝60°，4 FAP＝60°，
又由抛物线定义知PA＝PF，
4≥PAF为等边三角形．
又在Rt≥AFF′中，FF′＝4，
4FA＝8，4PA＝8.故选B.
答案：B
5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 (
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而
PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2，则A(－5,0，C(5,0，设P(x，y，得＝2
化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．
答案：A
二、填空题
解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c e∈(0,1，所以e∈. 答案： 7．(2010·浙江设抛物线ψ2＝2πξ(π>0的焦点为Φ，点A(0，2．若线段ΦA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________． 解析：F，则B， ∴2p×＝1，解得p＝. ∴B，因此B到该抛物线的准线的距离为＋＝. 答案： 8．(2010·北京已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________． 解析：∵椭圆＋＝1的焦点为(±4,0，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0， ∴c＝4，＝2，c2＝a2＋b2， ∴a＝2，b2＝12， ∴双曲线方程为－＝1， ∴渐近线方程为y＝±x＝±x， 即x±y＝0. 答案：(±4,0x±y＝0 即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e＝a－.又由|BF|＝2|FD|，得a＝ 2a－，整理得a2＝3c2， 即e2＝，解得e＝. 答案： 三、解答题 10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程． 解：解法一：设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0或＋＝1(a>b>0，两个焦点 分别为F1、F2，则由题意，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，∴a＝.在方程＋＝1 中，令x＝±c，得|y|＝.在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.依题意知＝， ∴b2＝.即椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. 解法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2， 则|PF1|＝，|PF2|＝. 由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝. 由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴． 故在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝， ∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝. 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋ ＝1或＋＝1. 11．(2010·湖北已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0的距离减去它到y轴距离的差都是1. (1求曲线C的方程； (2是否存在正数m，对于过点M(m,0且与曲线C有两个交点A、B的任一直线， 都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1设P(x，y是曲线C上任意一点，那么点P(x，y满足－x＝1(x>0， 化简得y2＝4x(x>0． (2设过点M(m,0(m>0的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1，B(x2，y2． 设l的方程为x＝ty＋m，由得 y2－4ty－4m＝0， Δ＝16(t2＋m>0，于是① 又＝(x1－1，y1，＝(x2－1，y2， ·<0?(x1－1(x2－1＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2＋1＋y1y2<0. ② 又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1<0?＋y1y2－[(y1＋ y22－2y1y2]＋1<0，③ 由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2，④ 对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2 由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2． 12．(2009·陕西，21已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0，离心率e＝，顶点 到渐近线的距离为. (1求双曲线C的方程； (2如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两 条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若＝λ，λ∈ ，求△AOB面积的取值范围． 解：解法一：(1由题意知，双曲线C的顶点(0，a到渐近线ax－by＝0的距离为，∴＝，即＝. 由得 ∴双曲线C的方程为－x2＝1. (2由(1知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x. 设A(m,2m，B(－n,2n，m>0，n>0. 由＝λ＝λ得P点的坐标为， 将P点坐标代入－x2＝1， 化简得mn＝， 设∠AOB＝2θ，∵tan＝2， ∴tan θ＝，sin 2θ＝. 又|OA|＝m，|OB|＝n， ∴S△AOB＝|OA|·|OB|·sin 2θ ＝2mn＝＋1. 记S(λ＝＋1，λ∈， 则S′(λ＝. 由S′(λ＝0得λ＝1，又S(1＝2， S＝，S(2＝， ∴当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2，当λ＝时，△AOB的面积取得最大值.∴△AOB面积的取值范围是. 解法二：(1同解法一． (2设直线AB的方程为y＝kx＋m， 由题意知|k|<2，m>0. 由 得A点的坐标为， 由，得B点的坐标为. 由=λ得P点的坐标为 ， 将P点坐标代入－x2＝1得＝. 设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m． S△AOB＝S△AOQ＋S△BOQ＝|OQ|·|x A|＋|OQ|·|x B|＝m·(x A－x B＝m＝· ＝＋1. 以下同解法一． 7.1数学思想方法--函数与方程思想 一、选择题 1．已知向量a＝(3,2，b＝(－6,1，而(λa＋b⊥(a－λb，则实数λ等于 ( A．1或2 B．2或－ C．2 D．0 解析：λa＋b＝(3λ－6,2λ＋1，a－λb＝(3＋6λ，2－λ，若(λa＋b⊥(a－λb，则 (3λ－6·(3＋6λ＋(2λ＋1(2－λ＝0，解得λ＝2或λ＝－ 答案：B 2．设f(x是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x＝x2.若对任意的x [t，t＋2]，不等式f(x＋t≥2f(x恒成立，则实数t的取值范围是 ( A．[，＋∞ B．[2，＋∞ C．(0,2] D．[－，－1]*[，] 答案：A 3．f(x是定义在(0，＋∞上的非负可导函数，且满足xf′(x＋f(x≤0.对任意正数a、 b，若a A．af(a≤f(b B．bf(b≤f(a C．af(b≤bf(a D．bf(a≤af(b 解析：∵xf′(x＋f(x≤0，即[xf(x]′≤0， ∴xf(x是减函数．又∵a ∴af(a≥bf(b． 又∵b>a>0，f(x≥0， ∴bf(a≥af(a且bf(b≥af(b， ∴bf(a≥af(a≥bf(b≥af(b， ∴bf(a≥af(b． 答案：C 4．f(x是定义在R上的以3为周期的奇函数，f(2＝0，则函数y＝f(x在区间(－1,4内的 零点个数为 ( A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵f(x是定义在R上的奇函数， ∴f(0＝0.由f(2＝0，得f(－2＝0. 又∵f(x的周期为3，∴f(1＝0，f(3＝0. 又∵f＝f＝f＝－f， ∴f＝0.故选D. 答案：D 5．已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x＝x2＋(a－4x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是 ( A．1 C．1 解析：将f(x＝x2＋(a－4x＋4－2a看作是a的一次函数，记为g(a＝(x－2a＋x2－ 4x＋4. 当a∈[－1,1]时恒有g(a>0，只需满足条件 即， 解之得x<1或x>3. 答案：B 二、填空题 6．已知不等式(x＋y≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ________． 解析：只需求(x＋y的最小值大于等于9即可，又(x＋y＝1＋a·＋＋ a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以(2＋2＋ 1≥9，即(2＋2－8≥0求得≥2或≤－4(舍， 所以a≥4，即a的最小值为4. 答案：4 7．若关于x的方程(2－2－|x－2|2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________． 解析：令f(x＝(2－2－|x－2|2，要使f(x＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x的值域内的值． ∵f(x的值域为[1,4 ∴1δa＋2<4，∴－1δa<2. 答案：[－1,2 8．已知函数f(x＝，a∈R，若方程f2(x－f(x＝0共有7个实数根， 则a＝________. 解析：设y＝t2－t，t＝f(x作出两函数的图象如图所示，由t2－t＝0知t＝0，或t＝1，当t＝0时，方程有两个实根；当t＝1时，要使此时方程有5个不同实根，则a＝1. 答案：1 9．若数列{a n}的通项公式为a n＝×n－3×n＋n(其中n∈N*，且该数列中最大 的项为a m，则m＝________. 解析：令x＝n，则0 构造f(x＝x3－3x2＋x，x∈ ∴f′(x＝8x2－6x＋1 令f′(x＝0，故x1＝，x2＝. ∴f(x在上为增函数， f(x在上为减函数 ∴f(x max＝f 即当x＝时，f(x最大， ∴n＝2时，a2最大． ∴m＝2. 答案：2 三、解答题 10．设P是椭圆＋y2＝1(a>1短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值． 解：依题意可设P(0,1，Q(x，y，则 |PQ|＝. 又因为Q在椭圆上，所以x2＝a2(1－y2． |PQ|2＝a2(1－y2＋y2－2y＋1＝(1－a2y2－2y＋1＋a2 ＝(1－a22－＋1＋a2， 因为|y|≤1，a>1，若a≥，则≤1， 当y＝时，|PQ|取最大值； 若1 综上，当a≥时，|PQ|最大值为；当1 11．已知f(x是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，f(x＋1－f(x＝1，当x为偶数时，f(x＋1－f(x＝3，且满足f(1＋f(2＝5. (1求证：{f(2n－1}(n∈N*是等差数列； (2求f(x的解析式． (1证明：由题意得 ， 两式相加得f(2n＋1－f(2n－1＝4. 因此f(1，f(3，f(5，…，f(2n－1成等差数列． 即{f(2n－1}(n∈N*是等差数列． (2解：由题意得，解得. 所以f(2n－1＝f(1＋(n－1×4＝2(2n－1，因此当x为奇数时，f(x＝2x. 又因为当x为奇数时，f(x＋1－f(x＝1，所以f(x＋1＝2x＋1＝2(x＋1－1，故当x为偶数时，f(x＝2x－1. 综上，f(x＝. 12．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：3－x与t＋1成反比例．如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2010年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需再投资32万元，当年每件化妆品的零售价定为“年平均成本的150%”与“年均每件所占促销费的一半”之和，则当年的产销量相等． (1将2010年的年利润y万元表示为促销费t万元的函数； (2该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝收入－生产成本－促销费 解：(1由题意，得3－x＝， 将t＝0，x＝1代入，得k＝2. ∴x＝3－. 由题意，知每件零售价为＋·. 年利润y＝x－(3＋32x－t ＝16x－t＋＝16－t＋ ＝50－＝(t≥0． (2∵y＝50－≤50－2＝42(万元，当且仅当＝，即t＝7时，y max＝42， ∴当促销费定为7万元时，利润最大． 3.2数列求和及数列综合应用 一、选择题 1．若等比数列{an}的前n项和Sn，且S10＝18，S20＝24，则S40等于 ( A. B. C. D. 解析：根据分析易知： ∵S10＝18，S20－S10＝6，∴S30－S20＝2，S40－S30＝， ∴S40＝，故选A. 答案：A 2．数列{an}的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n为( A．25 B．576 C．624 D．625 解析：an＝＝－(－，前n项和Sn＝－[(1－＋(－＋… ＋(－]＝－1＝24，故n＝624.选C. 答案：C 3．(2010·大连模拟设Sn为数列{an}的前n项之和，若不等式a＋≥λa对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为 ( A．0 B. C. D．1 解析：a1＝0时，不等式恒成立，当a1≠0时，λ≤＋，将an＝a1＋(n－1d， Sn＝na1＋代入上式，并化简得： λ≤2＋， ∴λ≤，∴λmax＝. 答案：B 4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*，则a20等于 ( A．0 B．－ C. D. 解析：5a1＝0，a n＋1＝， 4a2＝－，a3＝，a4＝0，…. 从而知3为最小正周期， 从而a20＝a3×6＋2＝a2＝－. 答案：B 5．(2009·广东已知等比数列{a n}满足a n>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3，则当n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ ( A．(n－12 B．n2 C．(n＋12 D．n(2n－1 解析：5a5·a2n－5＝22n＝a，a n>0， 4a n＝2n， 4log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a n－1＝log221＋3＋…＋(2n－1＝log22n2＝n2.故 选B. 答案：B 二、填空题 6．设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝(n∈N*，且a4＝54，则a1＝________. 解析：由于S n＝(n N*，则a4＝S4－S3＝－＝27a1，且 a4＝54，则a1＝2. 答案：2 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝5a3，则＝________. 解析：设等差数列的公差为d，首项为a1， 则由a5＝5a3知a1＝－d，4＝＝9. 答案：9 8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．解析： 设等差数列的首项为a1，公差为d， 则S4＝4a1＋6d≥10，即2a1＋3d≥5， S5＝5a1＋10d≤15，即a1＋2d≤3.又a4＝a1＋3d， 因此求a4的最值可转化为在线性约束条件 限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如图，可知在当a4＝a1＋3d，经 过点A(1,1时有最大值4. 答案：4 9．(2009·福建五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所 报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次． 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总 次数为________． 解析：1,1,2,3,5,8,13,21，…该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2, 1,0，… 所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍 数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96次，共5 个数，故答案为5. 答案：5 三、解答题 10．(2010·济南模拟已知等比数列{a n}的前n项和为S n＝k·2n＋m，k≠0，且a ＝3. (1求数列{a n}的通项公式； (2设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n. 解：(1方法一：依题意有① 解得a2＝2k，a3＝4k， ∴公比为q＝＝2，＝＝2，k＝3，代入①得m＝－3， ∴an＝3·2n－1. 方法二：n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1·k. 由a1＝3得k＝3，∴an＝3·2n－1， 又a1＝2k＋m＝3，∴m＝－3. (2bn＝＝，Tn＝，② Tn＝，③ ②－③得Tn＝， Tn＝＝. 11．(2010·浙江五校联考已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＋a n＝1. (1求数列{a n}的通项公式； (2设b n＝log3(1－S n＋1，求适合方程＋＋…＋＝的n的值． 解：当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝. 当n≥2时，∵S n＝1－a n，S n－1＝1－a n－1， ∴S n－S n－1＝(a n－1－a n，即a n＝(a n－1－a n，∴a n＝a n－1.∴{a n}是以为首项，为公比的等比数列， 故a n＝·n－1＝2·n. (2∵1－S n＝a n＝n，b n＝log3(1－S n＋1 ＝log3n＋1＝－n－1， ∴＝＝－， ∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝－. 解方程－＝，得n＝100. 12．已知函数f(x＝(x≠－1，设数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n，数列{b n}满足 b n＝|a n－|，S n＝b1＋b2＋…＋b n(n N*． (1用数学归纳法证明：bn≤； (2证明：Sn<. 证明：(1当x≥0时，f(x＝1＋>1. 因为a1＝1，所以an≥1(n∈N*． 下面用数学归纳法证明不等式bn≤. ①当n＝1时，b1＝－1，不等式成立． ②假设当n＝k时，不等式成立，即bk≤，那么bk＋1＝|ak＋1－|＝≤bk≤. 所以，当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据①和②，可知不等式对任意n∈N*都成立． (2由(1知bn≤. 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn ≤(－1＋＋…＋ ＝(－1·<(－1·＝. 故对任意n∈N*，Sn<. 2.(安徽理10 函数在区 0.5 间〔 0,1 〕上的图像如图所示，则 m ， n 的值 可能是 （A）y (B (C (D 【答案】B【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当，，则 ，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由 ，知a存在.故选B.