上海市行知中学2020-2021学年高三下学期3月月考数学试题

上海市行知中学2020-2021学年高三下学期3月月考数学试

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．若复数z 满足2136z i -=+（i 为虚数单位），则z =____________. 2．函数()()1,1x

f x a b a b =+><-不经过第_________象限.

3．已知“x k >”是“

3

1x

<”的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是_________. 4．在报名的2名男教师和4名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）. 5．设函数()()cos 06f x x πωω??

=-

> ??

?

，若()4f x f π??

≤

???

对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．

6．如果已知极限1lim sin 1n n n →∞??= ???，那么极限21

5sin

lim 21

n n n n →∞--=________. 7．已知P 为曲线sin cos 12sin 2x y θθθ=+??=-?

（θ是参数，02θπ≤<）上一点，则点P 到点

()0,1Q 距离的最小值是_______.

8．已知函数()()2

11f x ax b x b =+++-，若对任意的b R ∈，函数()()F x f x x

=-总有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________.

9．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为__________.

10．若实数x 、y 满足约束条件4y x

x y y k ≤??

+≤??≥?

，且2z x y =+的最小值是9-，则实数k =

______.

11．在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，?1），P 是曲线

上一个动

点，则BP BA ?的取值范围是_____________.

12．设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D

f x x x D

?∈=???其中

集合1

,n D x x n N n *??-==

∈????

，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是____________

二、单选题

13．若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

14．设集合{

}2

110P x x ax =++>，{

}

2

220P x x ax =++>，其中a R ∈，下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集 B ．对任意a ，1P 不是2P 的子集 C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集

D ．存在a ，使得2P 是1P 的真子集

15．已知定义域为R 的函数()

(]22,2,21

,0

5

5x k k k N f x x x *

?∈-∈?

=??-≤?，

则此函数图象上关于原点对称的点有（ ） A ．6对

B ．7对

C ．8对

D ．9对

16．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）

A ．36π

B ．40π

C ．41π

D ．44π

三、解答题

17．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 中点.

（1）求证：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 是棱BC 的中点，求异面直线PC 与AM 的夹角.

18．已知()

2cos ,1m x x =+，()cos ,n x y =-，满足?0m n =． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；

(2)已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 对应的边长，()(R)f x x ∈的最大值是

()2

A

f ，且2a =，求b c +的取值范围． 19．某景区欲建两条圆形观景步道12,M M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆M 与,AB AD 分别相切于点B ，D ，圆2M 与

,AC AD 分别相切于点C ，D ．

（1）若BAD 3

π

∠=

，求圆12,M M 的半径；（结果精确到0.1米）

（2）若观景步道12,M M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当BAD ∠多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）

20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2

2:14

x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上

异于

上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.

（1）若P 在第一象限，且||OP =

P 的坐标；

（2）设83

(,)55

P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，

4PQ PM =，

求直线AQ 的方程. 21．设函数()()()*0,,,,n

n b

f x x c x n N b c R x

=+

+∈+∞∈∈. （1）当1b =-时，对于一切*n N ∈，函数()n f x 在区间1,12??

???

内总存在唯一零点，求

c 的取值范围；

（2）当0c

时，数列{}n a 的前n 项和()2n S f n =，若{}n a 是单调递增数列，求b 的

取值范围；

（3）当1b =-，1c =时，函数()n f x 在区间1,12??

???

内的零点为n x ，判断数列1x 、2x 、

、n x 、的增减性，并说明理由.

参考答案

1．23i + 【分析】

将等式2136z i -=+变形得出462

i

z +=，由此可得出复数z . 【详解】

236z i i -=+，246z i ∴=+，因此，46232

i

z i +=

=+. 故答案为23i +. 【点睛】

本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题. 2．二 【分析】

作出函数()()1,1x

f x a b a b =+><-的图象，即可得出结论.

【详解】

1a >，1b <-，则()0

010f a b b =+=+<，作出函数()y f x =的图象如下图所示：

由图象可知，函数()()1,1x

f x a b a b =+><-的图象不经过第二象限.

故答案为二. 【点睛】

本题考查指数型函数图象的应用，作出函数的图象是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 3．[

)3,+∞ 【分析】

解出不等式

3

1x

<，得出0x <或3x >，由题意得出()()(),,03,k +∞-∞+∞????，由此

可得出实数k 的取值范围. 【详解】 解不等式

31x <，即30x x -<，即3

0x x

->，解得0x <或3x >. 由题意可得()

()(),,03,k +∞-∞+∞????，3k ∴≥.

因此，实数k 的取值范围是[

)3,+∞. 故答案为：[

)3,+∞. 【点睛】

本题考查利用充分必要条件求参数，解题的关键就是利用充分必要性得出两集合的包含关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 4．16 【分析】

分两种情况讨论，两男一女和两女一男，然后利用分类计算原理可得出选取的方法种数. 【详解】

由题意可知，所选的3人中应为两男一女和两女一男，由分类计数原理可知，不同的选取方

式的种数为2112

242416C C C C +=.

故答案为16. 【点睛】

本题考分类计数原理的应用，对问题合理进行分类讨论是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 5．

2

3

【分析】

根据题意()f x 取最大值4f π??

???

，根据余弦函数取最大值条件解得ω的表达式，进而确定其最小值. 【详解】

因为()4f x f π??

≤ ???对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π?? ???

，

所以

22π()8()463

k k Z k k Z ωωπ

π

-

=∈∴=+∈，，

因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为2

3

.

【点睛】

函数cos()(0,0)y A x B A ω?ω=++>>的性质 （1）max min =+y A B y A B =-，. （2）周期2π

.T ω

=

（3）由π()x k k Z ω?+=∈求对称轴，最大值对应自变量满足2π()x k k ω?+=∈Z ，最小值对应自变量满足+2()x k k ω?ππ+=∈Z ， （4）由22()2

2

k x k k π

π

πω?π-

+≤+≤

+∈Z 求增区间；由

322()2

2

k x k k π

π

πω?π+≤+≤

+∈Z 求减区间. 6．12

-

【分析】 在分式21

5sin 21

n n n --的分子和分母中同时除以n ，然后利用题中的极限可计算出所求极限的

值. 【详解】

2151

5sin

sin

011lim

lim 1212022n n n n n n n n n

→∞→∞

---===----

. 故答案为：1

2

-.

【点睛】

本题考查极限的计算，对代数式进行合理变形是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 7

【分析】

设点P 的坐标为()sin cos ,12sin 2θθθ+-，然后利用两点间的距离公式、二倍角的正弦公式和二次函数的性质求出PQ 的最小值. 【详解】

设点P 的坐标为()sin cos ,12sin 2θθθ+-，

则PQ =

=

=1sin 28θ=-，PQ 取最小值4.

【点睛】

本题考查参数方程的应用，同时也考查了二倍角正弦公式以及二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中等题. 8．()0,1 【分析】

计算出函数()y F x =的解析式为()2

1F x ax bx b =++-，()2

410b a b ?=-->，可转

化为关于b 的二次不等式2440b ab a -+>对任意的b R ∈恒成立，再由0'?<可求出实数

a 的取值范围.

【详解】

()()21F x f x x ax bx b =-=++-，由于该函数有两个零点，则()2

410b a b ?=-->，

由题意知，关于b 的二次不等式2440b ab a -+>对任意的b R ∈恒成立， 则216160a a '?=-<，即20a a -<，解得01a <<. 因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故答案为：()0,1. 【点睛】

本题考查二次函数零点的个数问题，同时也考查了二次不等式在R 上恒成立，考查化归与

转化思想，属于中等题. 9．

34

【解析】

试题分析：由题意，此物体的侧视图如图．根据三视图间的关系可得侧视图中底

，

高，∴．故答案为

3

4

.

考点：由三视图求面积、体积.

【方法点睛】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视.由正三棱锥的正视图与俯视图形状可以看出，此物体的摆放方式是底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形，其高

是棱锥的高，由此作出其侧视图，求侧视图的面积． 10．3- 【分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线在x 轴上的截距最小时对应的最优解，然后将最优解代入目标函数解析式，可得出关于k 的方程，解出即可. 【详解】

作出不等式组4y x

x y y k ≤??

+≤??≥?

所表示的可行域如下图所示：

联立y k

y x =??

=?

，解得x y k ==，得点(),A k k . 平移直线2z x y =+，当该直线经过可行域的顶点(),A k k 时，直线2z x y =+在x 轴上的截距取得最小值，此时z 取得最小值，即min 239z k k k =+==-，解得3k =-. 故答案为：3-. 【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般要作出可行域，利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

11． 【解析】 试题分析：

由题意设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，则(cos ,1sin )BP αα=+，又(1,1)BA =，所以

=cos sin )+1[0,14

BP BA π

ααα?+++∈+，所以BP BA ?的取值范围为

[0,1+.

【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象和性质、数形结合的思想

【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到

的取值范围.本题主要考查考生的逻

辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等. 12．8

由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，

在此范围内，x Q ∈且x D ∈时，设*,,,2q

x p q p p

=

∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2n

x m n m m

=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n m

q p

=

，则

10()n

m q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ?Q ，

因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ?的部分的交点，

画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ?的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10

x x '=

=<，则在1x =附近仅有一个交点， 因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．

点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 13．B 【解析】

∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限或y 轴的非负半轴， ∵由tanα＜0，

∴角α的终边位于二四象限， ∴角α的终边位于第二象限．

14．A 【分析】

根据不等式的性质，由221020x ax x ax ++>?++>，22

2010x ax x ax ++>?++>/，

从而得出集合1P 、2P 的包含关系. 【详解】

由210x ax ++>，可得(

)

2

2

21110x ax x ax ++=+++>>， 另一方面，若220x ax ++>，假设2

1204x ax ++=

>，得27

4

x ax +=-，则23

104x ax ++=-

<. 综上所述，12P P .

故选：A. 【点睛】

本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了不等式的基本性质，考查推理能力，属于中等题. 15．C 【分析】

作出直线()21055y x x =

-≤关于原点对称的射线()21

055y x x =+≥的图象，将问题转化

为射线()21055

y x x =+≥与函数()(])22,2,f x x k k k N *=∈-∈的交点个数问题，利用数形结合思想求解即可. 【详解】

设0x ≥，则0x -≤，()2155f x x -=--，所以，函数()()21

055

f x x x =-≤关于原点对称的函数解析式为()21

055

y x x =

+≥. 函数()y f x =图象上关于原点对称的点的对数等价于射线()21

055

y x x =

+≥与函数

()(])22,2,f x x k k k N *

=∈-∈的交点个数，如下图所示：

由图象知，函数()y f x =分别在1x =、3、5、7、9取得最大值，且函数()y f x =的最大值为()213f k -=.

当21355x y +==

时，得214

55

x =，解得7x =.

∴射线()21

055

y x x =+≥与函数()(])22,2,f x x k k k N *=∈-∈的交点个数为8. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查函数方程的应用，利用对称性转化为两个函数图象的交点个数是解题的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于中等题. 16．C 【分析】

根据题意可知，当该球为底面边长分别为2、1，高为6的长方体的外接球时，球的半径取最小值，然后利用公式可计算出球体的表面积. 【详解】

由题意知，当该球为底面边长分别为2、1，高为6的长方体的外接球时，球的半径取最小值，

2

=

， 因此，该球形容器的表面积的最小值为41

4414

ππ?

=.

故选C. 【点睛】

本题考查长方体的外接球，解题的关键就是要弄清楚球为长方体的外接球时，球的半径最小，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.

17．（1）见解析；（2）. 【分析】

（1）由等腰三角形三线合一得出PO AC ⊥，连接OB ，计算出OPB ?三边边长，利用勾股定理证明出PO OB ⊥，然后利用直线与平面垂直的判定定理可得出PO ⊥平面ABC ； （2）取CM 中点Q ，PM 中点R ，连接RQ 、OR 、OM 、OQ ，由中位线的性质可得出

//RQ PC ，//OQ AM ，由此可得出异面直线AM 与PC 所成的角为OQR ∠或其补角，然

后计算出OQR ?三边边长，利用余弦定理求出OQR ∠，即可得出答案. 【详解】

（1）

4PA PC ==，O 为AC 的中点，PO AC ∴⊥，且PO ==.

连接BO ，

AB BC ==4AC =，222AB BC AC ∴+=，AB BC ∴⊥.

且有BO AC ⊥，1

22

BO AC =

=.

222PO OB PB +=，PO OB ∴⊥，

AC OB O =，AC 、OB ?平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC ；

（2）取CM 中点Q ，PM 中点R ，连接RQ 、OR 、OM 、OQ ，

R 、Q 分别为PM 、CM 的中点，//RQ PC ∴，且1

22

RQ PC =

=.

AB BC ⊥，且AB BC ==

M 为BC 的中点，则AM =

又

O 为AC 的中点，//OQ AM ∴，且12OQ AM =

=

. 所以，异面直线AM 与PC 所成的角为OQR ∠或其补角.

PO ⊥平面ABC ，OM ?平面ABC ，PO OM ∴⊥，

易知PM BC ⊥，且PM =

=

在?Rt POM 中，点R 是斜边PM 的中点，则122

OR PM =

=

.

在OQR ?中，OQ =

，OR =2

RQ =.

由余弦定理得222cos 220

OQ RQ RQ OQR OQ RQ +-∠==

?.

因此，异面直线PC 与AM 所成的角为arccos 20

. 【点睛】

本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的计算，在计算异面直线所成的角时，一般利用平移直线法，构造合适的三角形，利用余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

18．（1）π；（2）(]2,4 【分析】

（1）由向量乘法的坐标表示列式，结合二倍角公式以及辅助角公式化简，即可得出最小正周期；

（2）由最值列式，求出A 的值，根据正弦定理以正弦表示边长，由三角形内角和将正弦中的角度化为同一个角，根据角的取值范围求出最值. 【详解】

（1）由·0m n =得2

2cos cos 0x x x y +-=，

即2

2cos cos cos 2212sin 216y x x x x x x π??=+=+=++ ??

?，

所以()2sin 216f x x ?

?

=+

+ ??

?

π，其最小正周期为π. （2）由题意得32A f ??

= ???

，所以()262A k k Z πππ+=+∈，

因为0A π<<,所以3

A π

=

，

由正弦定理得sin ,33

b B

c C =

=，

24sin 36b c B C B B B ππ????+=

=+-=+ ? ????

?，

所以b +c 的取值范围为(]2,4. 【点睛】

本题考查三角函数的化简以及解三角形中的最值问题，化简时一般结合二倍角公式以及辅助角公式，求边长最值时有两个方法，一种是将边化为正弦，由角的范围求最值，另一种是结合余弦定理，由基本不等式求最值.

19．（1）34.6米，16.1米；（2）263.8千元． 【分析】

（1）利用切线的性质即可得出圆的半径；

（2）设∠BAD ＝2α，则总造价y ＝0.8?2π?60tanα+0.9?2π?60tan（45°﹣α），化简，令1+tanα＝x 换元，利用基本不等式得出最值． 【详解】

（1）连结M 1M 2，AM 1，AM 2，

∵圆M 1与AB ，AD 相切于B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ， ∴M 1，M 2⊥AD ，∠M 1AD ＝

12

∠BAD ＝6π，∠M 2AD ＝12π

，

∴M1B＝ABtan∠M1AB＝60×

3

＝

， ∵tan

6

π＝22tan

121tan

12

π

π-

＝3，∴tan 12π＝2

，

同理可得：M 2D ＝60×tan

12

π

＝60（2

．

（2）设∠BAD ＝2α（0＜α＜4

π

），由（1）可知圆M 1的半径为60tanα，圆M 2的半径为 60tan （45°﹣α），

设观景步道总造价为y 千元，则y ＝0.8?2π?60tanα+0.9?2π?60tan（45°﹣α）＝96πtanα+108π?

1tan 1tan α

α

-+，

设1+tanα＝x ，则tanα＝x ﹣1，且1＜x ＜2． ∴y ＝96π（x ﹣1）+108π（

21x -）＝12π?（8x +18

x

﹣17）≥84π≈263.8，

当且仅当8x ＝

18x 即x ＝3

2

时取等号， 当x ＝

3

2时，tanα＝12

，∴α≈26.6°，2α≈53.2°． ∴当∠BAD 为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题

20．（1）P ；（2）110

y x =+ 【解析】

试题分析：（1）设(,)(0,0)P x y x y >>，联立方程组，能求出P 点坐标. （2）设083

(,0),(0,1),(,)55M x A P ，由090P ∠=，求出029

20

x =；由090M ∠=，求出01x =或03

5

x =；由090∠=A ，则M 点在x 轴负半轴，不合题意，由此能求出点M 的横坐标.

（3）设00(,)P x y 根据向量0

0133(,)4

2

y C x --，代入椭圆的方程，求得00,x y ，得到Q 的坐标，直线AQ 的方程. 试题分析：

（1）联立22

:14x y Γ+=与222x y +=，可得P ??

（2）设(),0M m ，()28

3833,1,05

5555MA MP m m m m m ???=-?-=-+=?=

???或1m =

828

3864629,,0555

55252520PA MP m m m ?????=-?-=-+=?= ? ?????

（3）设()00,P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03,08M x ??

???，∵4PQ PM =， ∴003,32Q x y ??

-

- ???，∵2AQ AC =，∴00133,

4

2y C x -??

- ???

，代入并联立椭圆方程，

解得0x =

，019y =-，∴15,33Q ??-

???，∴直线AQ

的方程为1y x =+ 21．（1）30,2?

? ???；（2）46,3??- ???

；（3）递增，理由详见解析. 【分析】

（1）分析出函数()n y f x =在区间1,12??

???上为增函数，由()10

210

f f

???

?

?>?

可得出关于c 的不等式组，从而解出实数c 的取值范围； （2）由题意得出()2

2n b S f n n n

==+

，利用n S 求出数列{}n a 的通项公式，然后由数列{}n a 为递增数列，得出1n n a a +>，利用作差法得出关于b 的不等式，从而得出实数b 的取值范围； （3）由题意得出()()110n n n n f x f x ++==，利用放缩法证明出()()111n n n n f x f x +++<，然后利用函数()1n y f x +=在区间1,12??

???

上单调递增得出1n n x x +<，然后利用数列单调性的定义

可得出数列1x 、2x 、、n x 、

的增减性.

【详解】

（1）当1b =-时，()1n

n f x x c x

=-

+在1,12??

???上是增函数，

由于函数()n y f x =在区间1,12??

???上有唯一零点，则()1120

2210

n

f c f

c ?????

=-+

????

?=>?

， 1022n

c ??∴<<- ???，n N *∈，11322222n

??

∴-≥-= ???

，302c ∴<<.

因此，实数c 的取值范围是30,2?? ???

； （2）当0c

时，()22b f x x x =+

，则()2

2n b S f n n n

==+. 当1n =时，111a S b ==+；

当2n ≥时，()22112111n n n b b b b a S S n n n n n n n -???

?=-=+--+=-+- ???--?

???. 1,121,21n b n a b b

n n n n +=??∴=?-+-≥?-?

. 由于数列{}n a 是递增数列，对任意的n *∈N ，1n n a a +>. 于是有21a a >且()12n n a a n +>≥恒成立.

由21a a >，得312b b -

>+，解得3

4

b <. 当2n ≥时，由1n n a a +>，得212111

b b b b n n n n n n ++->-+-+-，可得3b n n >-. 构造数列3n t n n =-，则()()()

332111330n n

t t n n n n n n +??-=+-+--=--

2226n t t ≤=-=-，6b ∴>-.

综上所述，实数b 的取值范围是36,4??- ???

； （3）数列1x 、2x 、

、n x 、

为递增数列，证明如下：

当1b =-，1c =时，()11n

n f x x x

=-

+，该函数在1,12??

???上单调递增.

由函数零点的定义可得()()1111

1110110n

n n n n n n n n n f x x x f x x x +++++?=-+=??

?

?=-+=??

. 1,12n x ??∈ ???

，1n n

n n x x +∴<，()()111111110n n n n n n

n n n n f x x x f x x x ++++∴=-+<-+==， 由于函数()1n y f x +=在1,12??

???

上单调递增，所以，1n n x x +<.

因此，数列1x 、2x 、、n x 、

为递增数列.