等差数列单元测试题(一) 百度文库
一、等差数列选择题
1.已知等差数列{}n a 中,5470,0a a a >+<,则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为( ) A .4S
B .5S
C . 6S
D . 7S
2.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且
77b a =,则3810b b b =( )
A .1
B .8
C .4
D .2 3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8
B .10
C .12
D .14
4.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11 B .10
C .6
D .3
5.定义
12n
n p p p ++
+为n 个正数12,,
,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前
n 项的“均倒数”为
12n ,又2n n a b =,则1223
910
111
b b b b b b +++
=( ) A .
8
17 B .
1021
C .
1123 D .
919
6.设数列{}n a 的前n 项和2
1n S n =+. 则8a 的值为( ).
A .65
B .16
C .15
D .14
7.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8
B .13
C .26
D .162
8.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29
B .38
C .40
D .589.题目文件
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10.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n
n S a b n =---?+,*n N ∈,则
存在数列{}n b 和{}n c 使得( )
A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列
B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列
C .·
n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·
n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 11.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=
23
,且
11112n n n x x x -++=(n ≥2),则x n 等于( )
A .(
23
)n -1 B .(
23
)n C .
21
n + D .
1
2
n + 12.已知等差数列{}n a 中,前n 项和2
15n S n n =-,则使n S 有最小值的n 是( )
A .7
B .8
C .7或8
D .9
13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121
B .161
C .141
D .151
14.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<
B .21m +
C .22m +
D .23m +
15.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从第2天起每天比前一天多织( ) A .
1
2
尺布 B .
5
18
尺布 C .
16
31
尺布 D .
16
29
尺布 16.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且71124a a -=,则5S =( ) A .15
B .20
C .25
D .30
17.在等差数列{}n a 中,10a >,81335a a =,则n S 中最大的是( ) A .21S
B .20S
C .19S
D .18S
18.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,
n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则
n a =( )
A .21n -
B .43n -
C .54n -
D .n
19.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48
B .60
C .72
D .24
20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921
a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21
B .20
C .19
D .19或20
二、多选题
21.已知数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为( )
A .0,2,n n a n ?=??
为奇数
为偶数
B .1(1)1n n a -=-+
C .2sin
2
n n a π
= D .cos(1)1n a n π=-+
22.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则( )
A .若59S >S ,则150S >
B .若59S =S ,则7S 是n S 中最大的项
C .若67S S >, 则78S S >
D .若67S S >则56S S >.
23.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:
1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列
数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是( ) A .1055a = B .2020a 是偶数
C .202020182022
3a a a =+
D .123a a a +++…20202022a a +=
24.已知数列0,2,0,2,0,2,
,则前六项适合的通项公式为( )
A .1(1)n
n a =+-
B .2cos
2
n n a π= C .(1)2sin
2
n n a π
+= D .1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
25.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =
C .95S S >
D .6S 与7S 均为n S 的最大值
26.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S (
)*
n N ∈,公差0d ≠,6
90S
=,7a 是3a 与9
a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-
B .1
20a =-
C .当且仅当10n =时,n S 取最大值
D .当0n
S <时,n 的最小值为22
27.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,现有下列4个命题中正确的有( )
A .若100S =,则280S S +=;
B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15
C .若150S >,160S <,则{}n S 中8S 最大
D .若78S S <,则89S S <
28.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{
}n
a n
是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列
29.已知数列{}n a 满足:13a =,当2n ≥
时,)
2
11n a =
-,则关于数列
{}n a 说法正确的是( )
A .28a =
B .数列{}n a 为递增数列
C .数列{}n a 为周期数列
D .2
2n a n n =+
30.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <
B .70a >
C .{}n S 中5S 最大
D .49a a <
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一、等差数列选择题 1.B 【分析】
根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围,由此求得n S 的最大值. 【详解】
依题意55647560
0000
a a a a a a a d >?>??
?
?+=+?
,所以015n a n >?≤≤, 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 2.B 【分析】
根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】
因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=,
所以2
7720a a -=,解得72a =或70a =(舍);
又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,
所以3
3810371178b b b b b b b ===.
故选:B. 3.C 【分析】
利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】
{a n }为等差数列,
S 3=12,即1232312a a a a ++==,解得24a =. 由12a =,所以数列的公差21422d a a =-=-=, 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=, 所以62612a =?=. 故选:C 4.A 【分析】
利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】
由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,
213a a d =+=,
解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 5.D 【分析】
由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和,然后利用前n 项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得:12n n S n
=,则:2
2n S n =, 当1n =时,112a S ==,
当2n ≥时,142n n n a S S n -=-=-, 且14122a =?-=,据此可得 42n a n =-, 故212
n
n a b n =
=-,()()111111212122121n n b b n n n n +??==- ?-+-+??, 据此有:
1223910
1111111111233517191.21891919b b b b b b +++
????????=
-+-++- ? ? ???????
????
=?= 故选:D 6.C 【分析】
利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差,然后求解8a . 【详解】
由2
1n S n =+得,12a =,()2
111n S n -=-+,
所以()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-,
所以2,1
21,2n n a n n =?=?-≥?
,故828115a =?-=.
故选:C. 【点睛】
本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 7.B 【分析】
先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=,再根据
()
11313713132
a a S a +=
=求解出结果.
【详解】
因为()351041072244a a a a a a ++=+==,所以71a =,
又()
1131371313131132
a a S a +=
==?=, 故选:B. 【点睛】
结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若(
)*
2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,
(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2
m n p q t a a a a a ?=?=.
8.A 【分析】
根据等差中项的性质,求出414a =,再求10a ;
因为{}n a 为等差数列,所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选:A.
9.无
10.D 【分析】
由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:
(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+,
∴当1n =时,有110S a a ==≠;
当2n ≥时,有1
1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?, 又当1n =时,0
1()2a a b b a =-+?=也适合上式,
1()2n n a a bn b -∴=-+?,
令n b a b bn =+-,1
2n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,
故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;
因为11
()22n n n a a b bn --+=-??,0b ≠,所以{
}1
2
n bn -?即不是等差数列,也不是等比数
列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:
由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解,考查学生的计算能
力. 11.C 【分析】
由已知可得数列1n x ??????是等差数列,求出数列1n x ??
????
的通项公式,进而得出答案.
【详解】
由已知可得数列1n x ??
????
是等差数列,且121131,2x x ==,故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-?=,故21
n x n =+
12.C 【分析】
215n S n n =-看作关于n 的二次函数,结合二次函数的图象与性质可以求解.
【详解】
2
2
152251524n S n n n ??=-=--
??
?,
∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线2
1522524y x ??=--
??
?上的横坐标为正整数的离散的
点.
又抛物线开口向上,以15
2x =为对称轴,且1515|
7822
-=-|, 所以当7,8n =时,n S 有最小值. 故选:C 13.B 【分析】
由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】
因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即
127a =
所以231223161S a == 故选:B 14.C 【分析】
首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】
由21<
=
+,
()()()1232322323<02
m m m m a a S m a +++++==
+, ()()()()12222
12211>02
m m m m m a a S m a a ++++++==
++.
故选:C. 【点睛】
关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11
,2
,1n n n S S n a S n --≥?=?=?,判断数列的项的正负,
第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 15.D 【分析】
设该女子第()
N n n *∈尺布,前()
N n n *
∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公
差为d ,根据15a =,30390S =可求得d 的值. 【详解】
设该女子第()
N n n *∈尺布,前()
N n n *
∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公
差为d ,
由题意可得30130293015015293902
S a d d ?=+=+?=,解得16
29d =.
故选:D. 16.B 【分析】
设出数列{}n a 的公差,利用等差数列的通项公式及已知条件,得到124a d +=,然后代入求和公式即可求解 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=, 所以()51154
55254202
S a d a d ?=+=+=?= 故选:B 17.B 【分析】
设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+,可得关系139
2
a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】
设等差数列的公差为d .由81335a a =得,()()1137512a d a d +=+,整理得,1392
a d =-. 又10a >,所以0d <,因此
222120(20)2002222n d d d d
S n a n n dn n d ??=
+-=-=-- ??
?, 所以20S 最大. 故选:B. 18.A
【分析】
由已知等式分别求出数列的前三项,由2132a a a =+列出方程,求出公差,利用等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】
11a =,()()1211n n n a a tn a ++=+,
令1n =,则()()121211a a t a +=+,解得21a t =-
令2n =,则()()2322121a a t a +=+,即()2
311t a t -=-,若1t =,则20,1a d ==,
与已知矛盾,故解得31a t =+
{}n a 等差数列,2132a a a ∴=+,即()2111t t -=++,解得4t =
则公差212d a a =-=,所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选:A 19.A 【分析】
根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】
由条件可知1148
32
362a d a d +=??
??+=??
,解得:102a d =??=?, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.
故选:A 20.B 【分析】 由题得出1392
a d =-,则2202n d
S n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d , 由
111019
21
a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392
a d =-
,10a <,0d ∴>,
()211+
2022
n n n d
S na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上, ∴当20n =时,n S 最小.
故选:B. 【点睛】
方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列
()2111+
222n n n d d S na d n a n -?
?==+- ??
?是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值.
二、多选题
21.BD 【分析】
根据选项求出数列的前4项,逐一判断即可. 【详解】
解:因为数列{}n a 的前4项为2,0,2,0, 选项A :不符合题设;
选项B :0
1(1)12,a =-+=1
2(1)10,a =-+=
23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=,符合题设;
选项C :,12sin
2,2
a π
==22sin 0,a π==
332sin
22
a π
==-不符合题设; 选项D :1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=
3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=,符合题设.
故选:BD. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的问题,考查了基本运算求解能力,属于基础题. 22.BC 【分析】
根据等差数列的前n 项和性质判断. 【详解】
A 错:67895911415000S a a a a a S a S ?+++<>?+<;
B 对:n S 对称轴为
n =7;
C 对:6770S S a >?<,又10a >,887700a S a d S ??<<>;
D 错:6770S S a >?<,但不能得出6a 是否为负,因此不一定有56S S >. 故选:BC . 【点睛】
关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和性质,(1)n S 是关于n 的二次函数,可以利用二次函数性质得最值;(2)1n n n S S a -=+,可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小;
(3)1()
2
n n n a a S +=,因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负. 23.AC 【分析】
由该数列的性质,逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ,821a =,9211334a =+=,10213455a =+=,故A 正确; 对于B ,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数,故B 错误;
对于C ,20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=,故C 正确; 对于D ,202220212020a a a =+,202120202019a a a =+,202020192018a a a =+,
32121,a a a a a ???=+=,
各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++???+=+++???++, 所以202220202019201811a a a a a a =++???+++,故D 错误. 故选:AC. 【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 24.AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】
对于选项A ,1(1)n
n a =+-取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件;
对于选项B ,2cos 2
n n a π
=取前六项得:0,2,0,2,0,2--,不满足条件; 对于选项C ,(1)2sin
2
n n a π
+=取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件; 对于选项D ,1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得:0,2,2,8,12,22,不满足条件; 故选:AC 25.BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项即可求解. 【详解】
根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项:
{}n a 是等差数列,若67S S =,则7670S S a -==,故B 正确;
又由56S S <得6560S S a -=>,则有760d a a =-<,故A 错误;
而C 选项,95S S >,即67890a a a a +++>,可得()7820a a +>, 又由70a =且0d <,则80a <,必有780a a +<,显然C 选项是错误的. ∵56S S <,678S S S =>,∴6S 与7S 均为n S 的最大值,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】
本题考查了等差数列以及前n 项和的性质,需熟记公式,属于基础题. 26.AD 【分析】
运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由二次函数的配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由0n S <解不等式可判断D .
【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,由690S =,可得161590a d +=,即
12530a d +=,①
由7a 是3a 与9a 的等比中项,得2
739a a a =,即()()()2
111628a d a d a d +=++,化为
1100a d +=,②
由①②解得120a =,2d =-,则202(1)222n a n n =--=-,
21
(20222)212
n S n n n n =+-=-,
由2
2144124n S n ??=--+ ??
?,可得10n =或11时,n S 取得最大值110; 由2
102n S n n -<=,解得21n >,则n 的最小值为22.
故选:AD 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式,以及等比中项的性质,二次函数的最值求法,考查方程思想和运算能力,属于中档题. 27.BC 【分析】
根据等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,逐项判断,即可得答案. 【详解】
A 选项,若101109
1002
S a d ?=+
=,则1290a d +=, 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确; B 选项,若412S S =,则()5611128940a a a a a a ++
++=+=,
又因为10a >,所以前8项为正,从第9项开始为负,
因为()
()116168916802
a a S a a +=
=+=, 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确; C 选项,若()115158151502
a a S a +=
=>,()
()116168916802a a S a a +=
=+<, 则80a >,90a <,则{}n S 中8S 最大.故C 正确;
D 选项,若78S S <,则80a >,而989S S a -=,不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选:BC . 【点睛】
本题考查等差数列性质的应用,涉及等差数列的求和公式,属于常考题型. 28.AD 【分析】
根据等差数列的性质,对四个选项逐一判断,即可得正确选项. 【详解】
0d >,10n n a a d +-=> ,所以{}n a 是递增数列,故①正确,
()()2
111n na n a n d dn a d n =+-=+-????,当12d a n d -<时,数列{}n na 不是递增数列,故②不正确, 1n a a d d n n -=+,当10a d -<时,{}n a n 不是递增数列,故③不正确, 134n a nd nd a d +=+-,因为0d >,所以{}3n a nd +是递增数列,故④正确,
故选:AD 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质,属于基础题. 29.ABD 【分析】
由已知递推式可得数列2=,公差为1的等差数列,结合选项
可得结果. 【详解】
)
2
11n a =
-得)
2
11n a +=
,
1=,
即数列
2=,公差为1的等差数列,
2(1)11n n =+-?=+,
∴2
2n a n n =+,得28a =,由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列,
所以易知ABD 正确, 故选:ABD. 【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式,通过通项公式研究数列的函数性质,属于中档题. 30.AD 【分析】
先根据题意得1110a a +>,1120a a +<,再结合等差数列的性质得60a >,70a <,
0d <,{}n S 中6S 最大,49a a <-,即:49a a <.进而得答案.
【详解】
解:根据等差数列前n 项和公式得:()111111102a a S +=>,()
112121202
a a S +=< 所以1110a a +>,1120a a +<, 由于11162a a a +=,11267a a a a +=+, 所以60a >,760a a <-<, 所以0d <,{}n S 中6S 最大, 由于11267490a a a a a a +=+=+<, 所以49a a <-,即:49a a <. 故AD 正确,BC 错误. 故选:AD. 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质,是中档题.