2018年高考数学总复习基本不等式及其应用

第二节基本不等式及其应用

考纲解读

1. 了解基本不等式错误！未找到引用源。的证明过程.

2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

3. 利用基本不等式证明不等式.

命题趋势探究

基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题.

预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题.

本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分.

知识点精讲

1. 几个重要的不等式

（1）错误！未找到引用源。

（2）基本不等式：如果错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“”).

特例：错误！未找到引用源。同号.

（3）其他变形：

①错误！未找到引用源。(沟通两和错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式)

②错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式)

③错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两和错误！未找到引用源。的不等关系式)

④重要不等式串：错误！未找到引用源。即

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).

2. 均值定理

已知错误！未找到引用源。.

（1）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.

（2）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.

题型归纳及思路提示

题型91 基本不等式及其应用

思路提示

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.

例7.5“错误！未找到引用源。”是“错误！未找到引用源。”的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析：由错误！未找到引用源。能推出错误！未找到引用源。；但反之不然，因为错误！未找到引用源。的条件是错误！未找到引用源。，故选A.

变式1 已知错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。，则（）

A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

变式2（2012福建理5）下列不等式中一定成立的是（）

A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

例7.6 若错误！未找到引用源。，则下列不等式对一切满足条件的错误！未找到引用源。恒成立的是（写出所有正确命题的序号）.

①错误！未找到引用源。；②错误！未找到引用源。；③错误！未找到引用源。；④错误！未找到引用源。；⑤错误！未找到引用源。.

解析：对于①，由错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。(当且仅当错误！未找到引用源。时取等号)，故①正确；对于②，由错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。(当且仅当错误！未找到引用源。时取等号)，故②正确；对于③，由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。，故③正确.对于④，错误！未找到引用源。，因此错误！未找到引用源。(当且仅当错误！未找到引用源。时取等号)，故④不恒成立；

对于⑤，错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，故⑤正确，故填①③⑤.

变式1如果正数错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，那么（）

A. 错误！未找到引用源。，且等号成立时错误！未找到引用源。的取值唯一

B. 错误！未找到引用源。，且等号成立时错误！未找到引用源。的取值唯一

C. 错误！未找到引用源。，且等号成立时错误！未找到引用源。的取值不唯一

D. 错误！未找到引用源。，且等号成立时错误！未找到引用源。的取值不唯一

题型92 利用基本不等式求函数最值

思路提示

（1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误.

（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组，反复使用基本不等式等.

一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证

例7.7 （1）若错误！未找到引用源。，求函数错误！未找到引用源。的最小值；

（2）若错误！未找到引用源。，求函数错误！未找到引用源。的值域.

分析：（1）因为错误！未找到引用源。满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值.

（2）因为错误！未找到引用源。，故需先转化为错误！未找到引用源。，才能利用基本不等式求最值.

解析：因为错误！未找到引用源。，由基本不等式得错误！未找到引用源。，当且仅当错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。取最小值.

（2）因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，

即错误！未找到引用源。. 当且仅当错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。取最大值错误！未找到引用源。.

故函数错误！未找到引用源。的值域为错误！未找到引用源。.

评注：解（1）时，应注意积为定值这个前提条件；解（2）时，应注意使用基本不等式求最值时，各项必须为正数.

变式1 （1）求函数错误！未找到引用源。的值域

（2）求函数错误！未找到引用源。的最小值；

（3）求函数错误！未找到引用源。的最小值.

二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式

例7.8已知错误！未找到引用源。，求函数错误！未找到引用源。的最大值.

分析：因为错误！未找到引用源。，所以首先要调整符号，又错误！未找到引用源。不是常数，所以要对错误！未找到引用源。进行拆凑项，通过将函数解析式拆凑成可以使用基本不等式的形式，从而求得函数的最值.

解析：因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，由错误！未找到引用源。（当且仅当错误！未找到引用源。时，即错误！未找到引用源。时取等号）得错误！未找到引用源。. 所以函数的最大值为1.

当且仅当错误！未找到引用源。时，即错误！未找到引用源。时取等号，故当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.

评注：利用基本不等式求最值时要重视各种条件，即“一正二定上相等四同时”必须全部满足，方可利用其求得最值. 如果本题中的条件“错误！未找到引用源。”改为“错误！未找到引用源。”，则如下求解：因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，为错误求解，错误原因：在于只注重基本不等式的形式构造而未对成立条件“三相等”加以验证，事实上，错误！未找到引用源。.一般地，对勾函数错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上单调递减，在错误！未找到引用源。上单调递增，若不满足“三相等”的条件可以利用函数的单调性求最值.另外，还要注意与对勾函数错误！未找到引用源。同形质异的函数错误！未找到引用源。在上错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。均为单调增函数.如错误！未找到引用源。可直接利用单调性求最值.

变式1 求函数错误！未找到引用源。的最大值.

变式2设正实数错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，则当错误！未找到引用源。取得最大值时，错误！未找到引用源。最大值为（）

A. 0

B. 1

C. 错误！未找到引用源。

D. 3

三、“1”的变换

例7.9已知错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的

最小值.

分析：利用条件错误！未找到引用源。中“1”的变换.

解析：解法一：因为错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.当且仅当错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。的最小值为16.

解法二：由错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。

10.因为0y >，所以90y ->，所以9(9)109)101699

y y y -++≥+=--. 当且仅当999

y y -=

-，即12y =时取等号，此时4x =，所以当4,12x y ==时，x y +取得最小值16 评注本题的解法一是利用条件中的“1”，代换成“19x y

+”，将其所求的形配凑成利用基本不等式的形式，使得题目顺利求解，但下面的解法是错误的：因为19

1x y x y xy

+=≥=，即36xy ≥，所以12x y +≥≥=，错误的原因在于连续使用了两次基本不等式，但未对两个“=”成立的条件是否吻合进行验证，其实，这两次“=”不能同时取得，这就提醒我们，在多次使用基本不等式时，一定要验证多次“=”满足的条件能否同时成立.

变式1 已知0a >，0b >，2a b +=，则11y a b =

+的最小值是变式2 求函数2214(0)sin cos 2

y x x x π=+<<的最小值变式3已知a b c >>，证明：1113a b b c c a a c

++≥---- 变式4 设2a b +=，0b >则当a = 时，12a a b

+最得最小值. 四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用

例7.10若正数,a b 满足3ab a b =++，则：（1）ab 的取值范围是

（2）a b +的取值范围是

分析由等量关系的结构特征可知，只需将所求部分之外的部分利用不等式转化为所求的形式，然后解不等式即可.

解析（1）解法一：基本不等式.33ab a b =++≥，当且仅当a b =时取等号，所以

230≥31-（舍）3≥，故有9ab ≥.当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的取值范围是[9,)+∞

解法二：判别式法.令ab t =（3t >），则t b a =，代入原式得，3t t a a

=++，整理得2(3)0a t a t +-+=.

2(3)40t t ?=--≥，得9t ≥或1t ≤（舍）

，ab 的取值范围是[9,)+∞ （2）解法一：23()2

a b ab a b +=++≤，当且仅当a b =时取等号，令0S a b =+>，则2

S S +≤，整理得即24120S S --≥得6S ≥或2S ≤-（舍），即a b +的取值范围是[6,)+∞

解法二：判别式法，令a b t +=（0t >），则b t a =-，代入原式得，()3a t a t -=+，整

理得230a at t -++=24(3)0t t ?=-+≥，得6t ≥或2t ≤-（舍）.

即a b +的取值范围是[6,)+∞

评注：注意体会使用方程消元法求范围与利用基本不等式求范围的优劣，试用方程消元法求解本题的第（2）问.

变式1 若,0x y >满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是

变式2 若,0x y >满足2x y xy ++=，则x y +的最小值是

变式3 若,0x y >满足228x y xy ++=，则2x y +的最小值是（）

.A 3 .B 4 .C 92 .D 112

五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式

例7.11 设0,0x y ≥≥，2

12y x +=，则的最大值为分析观察所求式子与题中所给条件的联系，运用基本不等式灵活建立两者之间的关系是解题的核心.

解析 0x ≥，0y ≥，2

12y x +=

所以=

=22

1222y x ++

≤2212222y x ++==2212y x

+=时取“=”，

即x =，

2y =时取“=”）

. 4

评注本题除了利用基本不等式求解外，还可以利用已知条件中的2

212

y x +=，采用三角换元来求解，望同学们自己尝试．

变式１已知0a >，0b >，4a b +=，求221

1()()a b a b

+++的最小值．六、合理配组，反复应用基本不等式

例7.12 设0a b >>，则211()

a a

b a a b ++-的最小值是（） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4

解析解法一：因为2112a b a b +≤+，所以411a b a b

+≥+.故2114()ab a a b a ab ab +≥-+- 则211()a ab a a b ++-224a a ab ab ≥++-222244a a a

=+≥=（当且仅当2a b a a b =-与44a =

，0a b >>同时成立时，取得“=”

），即当a =2

b =时，211()

a a

b a a b ++-的最小值为4，故选D 解法二：22111111()()a a ab a a b ab b a b a

++=++---，因为0b >，0a b ->，所以2

2()()24a a b a b -≤=（当且仅当2a b =时取“=”），则222214

4()a a b a b a a

≥+≥=-

（当且仅当a ==”），所以当a =2b =

时，211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D

变式1 若0a >，0b >，满足11a b

++ ）

.A 2 .B .C 4 .D 5

变式2 若,x y 是正数，则2211()()22x y y x

+++的最小值是（） .A 3 .B 72 .C 4 .D 92

题型93 利用基本不等式证明不等式

思路提示

类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 例7.13 （1）,,a b c R +∈，求证：11()()4a b c a b c +++

≥+ （2）,,a b c R +∈，求证：222

a b c a b c b c a

++≥++

（3）,,x y z R +∈，且1x y z ++=解析（1）因为,,0a b c >，所以1

111()()[()]()a b c a b c a b c a b c

+++=+++++ 11a b c b c a +=++++2a b c b c a

+=+++224≥+=当且仅当a b c =+时等号成立. （2）因为,,0a b c >，所以22a b a b +≥，22b c b c +≥，2

2c a c a

+≥三式相加得：222()()()a b c b c a b c a +++++222a b c ≥++，即222

a b c a b c b c a

++≥++

（3）分析法.≤只需证3x y z +++≤，只

1≤

因为,,x y z R +∈，x y +≥，x z +≥，y z +≥，所以

2()x y z ++≥1成立.

评注本题（2）的证明是综合法，（3）的证明是分析法.综合是从已知出发推导结果，分析法是从结果出发，去分析命题成立的条件，一般情况下两种方法是可以通用的，对于比较复习的问题，也可以结合这两种方法使用

变式1若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1

11(1)(1)(1)8a b c

---≥

变式2 证明：若,,,,,x y z a b c R +∈，则

222()b c c a a b y z xy yz xz a b c

+++++≥++

最有效训练题27（限时45分钟）

1．函数1()2

f x x x =+-（2x >）在x a =处取得最小值，则a =（）

.A 1+ .B 1 .C 3 .D 4

2．已知0a >，0b >，2a b +=，则19y a b

=+的最小值是（） .A 72 .B 8 .C 92

.D 5 3．若0x >，0y >，2282y x m m x y

+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） .A (,2][4,)-∞-?+∞ .B (,4][2,)-∞-?+∞

.C (2,4)- .D (4,2)-

4．已知,a b R +∈，且21a b +=，则22

4S a b =-的最大值为（）

.A .B 1 .C 1 .D 5．若0x >，0y >，且()1xy x y -+=则（）

.A 2x y +≤ .B 2x y +≥ .C 21)x y +≤ .D 21)x y +≥

6．若224m n +<，则点(,)m n 必在（）

.A 直线20x y +-=的左下方 .B 直线20x y +-=的右上方

.C 直线220x y +-=的右上方 .D 直线220x y +-=的左下方

7．在“4+91=”中的“ ”处分别填上一个自然数，使他们的和最小，其和的最小值为

8．已知函数()1

p f x x x =+-（p 为常数，且0p >），若()f x 在(1,)+∞上的最小值是4，则实数p 的值为

9．已知关于x 的不等式227x x a

+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为 10．（1）设02x <<，求函数(42)y x x =-最大值.

（2）设(0,)x π∈，求函数4()sin sin f x x x

=+的最小值. （3）已知0x >，0y >，且1x y +=，求34x y

+的最小值（4）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是

11．已知,a b

≥

12．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车辆速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0，当车流速度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明，当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.

（1）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；

（2）当车密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

高考数学不等式知识点总结及解题思路方法

高考数学不等式知识点总结及解题思路方法考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a >（对称性） ? a< b b （2）c ? > >,（传递性） a> c a b b （3）c + ? > >（加法单调性） c a+ a b b （4）d + > >,（同向不等式相加） a+ > ? d b c a c b

（5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么 .2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D

2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2，当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立；当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2，￥当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断．

∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立，所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，

【高中数学】公式总结(均值不等式)

均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a

高考数学不等式专题

基本不等式专题一、知识点总结 1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论（1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；（7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络

其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，