概率论与数理统计复习题答案

概率论与数理统计复习题 一．填空题

1．设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件：

, , A B C 都发生_____________；, , A B C 中不多于一个发生______________.

解：ABC ； AB BC AC ABC ABC ABC ABC ??=???

2.一副扑克牌共52张，无大小王，从中随机地抽取2张牌，这2张牌花色不相同的概率为

解：2114131325213

17C C C p C ==或者124132

5213117

C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子，则甲的点数大于乙的点数的概率为 解：155

{(,)|,1,

,6},{},()3612

S i j i j A i j P A ===>=

= 4.设随机事件A 与B 相互独立，()0.5,()0.6P A P B ==，则()P A B -＝ ，()P A B ?＝ 。 解：()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ?=+-=

5.已知6

1

)(,31)|(,41)(===

B P A B P A P ，则()P A B ?=______________. 解：111()()(|)4312P AB P A P B A ==?=，1

()()()()3

P A B P A P B P AB ?=+-=

6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ?= . 解：()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==?=?=

()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=

7.已知 P(A)=,P(B)=,且A,B 互不相容，则()_____,()_____P AB P AB ==. 解：()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =?=--=

8.在三次独立的实验中，事件B 至少出现一次的概率为19/27，若每次实验中B 出现的 概率均为p, 则p=_______________

解：设X 表示3次试验中事件B 出现的次数，则(3,)X

B p ，

3191{1}1{0}1(1),273

P X P X p p ≥=-==--=

∴= 9.设(),0X

P λλ>，则X 的分布律为

解：{},0,1,2,

!

k e P X k k k λ

λ-==

=

10．设随机变量X 服从泊松分布，且已知{1}{2}P X P X ===，那么{4}P X == 。

解：由{1}{2}P X P X ===即

221!

2!e e λ

λ

λλλ--=

?=，422

22{4}4!3

e P X e --=== 11.设随机变量(0,5)X

U ,则方程22210Xx Xx ++=(x 为未知数)有实根的概率为 .

解：2

3

{0}{(2)420}{2}{0}5

P P X X P X P X ?≥=-?≥=≥+≤= 12.设(1,3),(2,4)X

N Y N ，X 与Y 相互独立，则23Z X Y

=

-

解：()2()3()4,()4()9()48E Z E X E Y Var Z Var X Var Y =-=-=+=,23(4,48)Z X Y N =--

13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，则其中至少有一件是不合格品的概率为 ．

解：2

621012

1133

C p C =-=-=

14. 设随机变量),(Y X 的概率分布如 右表,则()E X = ,()Var X = 解：

2212552{1},{2},(),()3,()3()33339

P X P X E X E X Var X ====∴===-=

15.已知随机变量X 服从[1,3]上的均匀分布，则()E X = ,()Var X = 。

解：13

()22

E X +==，2

(31)1()123Var X -== 16.二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ，则(,)f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=??

1 。

17．设随机变量,X Y 独立且,X Y 的概率密度分别为

201,() 0,X x x f x <

02,()

0,Y y y f y <

其它, 则(,)X Y 的联合概率密度为 。

解：X,Y 独立,801,02(,)()()

0,

X Y xy

x y f x y f x f y <<<

,

n X X X 相互独立，且服从同一分布，

()k E X μ=存在，则0ε?>，有1

1lim {||}n

k n k P X n με→+∞=-≥=∑ 0 。

19.设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，(0,10),1,2,3,n

X U n =，那么当n →+∞时

11n i i X X n ==∑依概率收敛于 010

52

+=

20.设X 、Y 相互独立且2()X m χ，2()Y n χ，则X Y +2()m n χ+。

21．设22

1212(,)

(,,,,)X Y N μμσσρ，则(,)Cov X Y = 12ρσσ

22.设12,,

n X X X 是来自总体2

(10)χ的样本，则统计量1

n

i

i Y X ==∑2(10)n χ。

23.设总体X 具有概率密度函数10()0

x

e

x f x else

θθ-??

≥=???，0θ>为已知，

样本为12,,

n X X X ，则()E X = ，()Var X = 。

解：()()E X E X θ==，2

()()Var X Var X n n

θ==。 24.在总体2

(52,6.3)N 中随机抽一容量为36的样本，则样本均值X 落在到之间的概率为 。

解：()52E X =，2

6.3()36Var X =，2

26.3(52,)(52,1.05)36

X

N N =，

53.85250.852

{50.853.8}(

)()

1.05 1.05

(1.71)( 1.14)0.9564(10.8729)0.8293

P X --<<=Φ-Φ≈Φ-Φ-=--= 25.设12,,

n X X X 是来自总体X 的样本且2(),()E X Var X μσ==，2,μσ未知，

则μ的矩估计量为 ，2

σ的矩估计量为

解：11222222

221

()()()[()]E X E X Var X E X μμμμμσμσμμ===??∴??==+==+=-??22

211,n i i X X X n μσ=∴==-∑

26. 随机抽查某校的7名学生，测得他们的裸眼视力分别为：,,,,,

,，则总体均值μ及方差2σ的矩估计值分别为=μ

? ，=2

?σ ．

解：由上22

211

111.2143,0.1755n n i i i i x x x x n n μσ==∴====-=∑∑

27．设1210,,

X X X 是来自总体2

(0,0.3)N 的样本，则10

21

{ 1.44}i i P X =>=∑

解：

102

2

2

21

1(0,1),()(1),(10)0.3

0.30.09i

i i

i X X

N X χχ=∴∴∑

10

10102222

0.90111

11{ 1.44}{16}1{16}0.90,((10)15.987)0.090.09i

i i i i i P X P X P X χ===>=>=-≤==∑∑∑ 28.设1210,,X X X 是来自总体2()X

n χ的样本，()E X = ,()Var X = ,2()E S = .

解：()()E X E X n ==，()2()10105

Var X n n

Var X =

==,2()()2E S Var X n == 29.设在总体2

(,)N μσ中抽取一容量为16的样本，这里2

,μσ为未知参数，2

S 为样本方差。

则2

2

{

2.041}S P σ

≤= ，2()Var S =

解：

2

22

(1)(1),16n S n n χσ--=

2

22

215{

2.041}{30.615}S S P P σσ

∴≤=≤2

0.99

0.99,((15)30.57830.615)χ==≈ 222244

2

222215152()()()()21515151515

S S Var S Var Var σσσσσσ=?==??=

30.铅的密度测量值服从正态分布2(,)N μσ，测量16次，算得 2.705x =，0.029s =， 则μ的置信水平为0.95的双侧置信区间为 。 解：10.95,0.05αα-==，2σ未知,μ的置信区间为

0.9750.9751122((1),(1))(2.705(15),2.705(15))(2.705 2.1314,2.705 2.1314)( 2.6895,2.7205)

X n X n αα----=-=+=-

二．计算题

1.设某人按如下原则决定某日的活动：如该天天下雨，则以的概率外出购物，以的概率去探访朋友；如该天天不下雨，则以的概率外出购物，以的概率去探访朋友，设某地下雨的概率是。（以下要求用字母表示随机事件，写出计算公式）

(1)试求那天此人外出购物的概率。(2)已知此人那天外出购物，试求那天下雨的概率。 解：设A:下雨，B: 购物 C:会友

则()0.3P A =，()0.7P A =，(|)0.2,(|)0.8P B A P C A ==，(|)0.9,(|)0.1P B A P C A == （1）()()(|)()(|)()0.69P B P BA B A P B A P A P B A P A =?=+= （2）()(|)()0.20.32

(|)()()0.6923

P AB P B A P A P A B P B P B ?=

===

2.设随机变量(1,4)X N ，现对X 进行三次独立观察，求至少有两次观察值大于1-的概率。

解：11

{1}1{1}1(

)2

P X P X -->-=-≤-=-Φ1(1(1))0.8413=--Φ=， 设Y 表示三次观察中观察值大于-1的次数，则(3,0.8413)Y

B ,则

32{2}1{0}{1}1(10.8413)30.8413(10.8413)0.9403P Y P Y P Y ≥=-=-==---?-=。

3．某地抽查结果表明，考生的外语成绩（百分制）X 近似服从正态分布),(2σμN ，平均成绩为72，96分以上的考生占%,求：(1)标准差σ的值.(2)考生成绩在60分到84分之间的概率。 解：72μ=, 9672

2.3%{96}1(

)12P X σσ

-=≥=-Φ?=

84726072

{6084}(

)()2(1)10.68281212

P X --≤≤=Φ-Φ=Φ-= 4.设随机变量X 的概率密度为4

01()0

x cx f x else

<

?。

求（1）常数c 。（2）X 的分布函数。（3）1

3{}24

P x ≤≤,（4）21Y X =+的概率密度函数。 解：（1）由1401(),55

c

f x dx cx dx c +∞

-∞

=

===?

?

（2）4

5

000()()50111

x

x x F x f x dx t dt x x x -∞

==≤

≥??

?

? （3）5

5

1

33131{}()()()()244242

P x F F ≤≤=-=-。 （4）当01x <<, 1213y x <=+<时

11

(){}{21}{}()22

Y X y y F y P Y y P X y P X F --=≤=+≤=≤

= 4

'''

5(1)13111()()()()()32

22200Y Y X X y y y y y f y F y F f ?-<<---?∴===?=???

5.将2个球随机地放入2个盒子中，若X 、Y 分别表示放入第1个，第2个盒子中球的个数， 求(1)(,)X Y 的联合分布律和边缘分布律.(2) 求{1|1}P X Y == (3) X 、Y 是否独立 解：（1） Y X 0 1 2 P{Y=j}

0 0 0 14 1

4 1 0 12 0 1

2

2 14 0 0 1

4

P{X=i} 14 12 1

4

1

(2) {1,1}{1|1}1{1}P X Y P X Y P Y =====

== (3) 1

{1|1}1{1}2

P X Y P X ===≠==,X,Y 不独立。

6.设X,Y 是独立同分布的随机变量，1

{}{}3

P X i P Y i ====

,1,2,3i =,max(,)M X Y = , min(,)N X Y =,求(M,N)的联合分布律和各自的边缘分布律并求出{}P X Y =.

解： X,Y 独立且 X 1 2 3 Y 1 2 3 k p

13 13 13 k p 13 13 13

1

{,}{}{},,1,2,3

P X i Y j P X i P Y i i j =======，所以

故M,N 的联合分布律为

并且3

1

1{}{,}3

i P X Y P X i Y i ===

===

∑。 7.已知随机向量(,)X Y 的概率密度函数为301

(,)0

x y x f x y ≤≤≤?=?

?其它。

试求：(1) ()Y f y (2 |(|)X Y f x y (3) (),(),(,)E X Var X Cov X Y (4) {1}P X Y +≤。

解：（1）12

33(1)01

()(,)2

0y Y xdx y y f y f x y dx else +∞

-∞

?=-<

=???

??

（2）当()0Y f y ≠即01y <<时2

|21(,)1(|)()0

X Y Y x

y x f x y y f x y f y else

?<

-==??

?

（3）1

1

3

000

3()(,)(3)34

x

E X xf x y dxdy x xdy dx x dx +∞

+∞

-∞-∞=

=?==????? 1122240003

()(,)(3)35

x E X x f x y dxdy x xdy dx x dx +∞+∞-∞-∞==?==?????

222333

()()[()]()5480

Var X E X E X =-=-=

11300033

()(,)(3)28

x E Y yf x y dxdy y xdy dx x dx +∞+∞-∞-∞==?==?????

11

40

033()(,)(3)210

x

E XY xyf x y dxdy xy xdy dx x dx +∞

+∞

-∞

-∞

==?==?

?

???

3333

(,)()()()1048160

Cov X Y E XY E X E Y =-=

-=

(4) 1

2

112x y x y x x ?

=?=????

?=-??=

??

, 1

12011222

00{1}(3)333(12)()|228

y y P X Y xdx dy

y dy y y -+≤==-=-=

???. 8．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(23)

60,0(,)0

x y e x y f x y else

-+>>?=?

?。

试求(1)(,)X Y 落在三角形区域:0,0,236D x y x y ≥≥+≤内的概率。 (2) ()Y f y ,|(|)X Y f x y （3）(),(),(,)E X Var Y Cov X Y 。 解(1) 62623

3

(23)

23330

{(,)}62()|

x x x y x

y

P X Y D e

dydx e

e

dx ---+--∈=

=?-??

?

3

2262636

00

2(1)(2)|17x x x e e dx e e x e -----=?-=--=-? (2)(23)30630()(,)0x y y Y e

dx e y f y f x y dx else

+∞

-+-+∞

-∞

?=>?=

=?

??

??

,即Y 服从参数为3的指数分布.

当0y >时, 2|20

(,)(|)()0x

X Y Y e x f x y f x y f y else

-?>=

=??. (3)观察得出X,Y 独立,则 220

()0

x

X e x f x else

-?>=?

?.即X 服从参数为2的指数分布. 2111

(),()(),(,)0239

E X Var Y Cov X Y ∴=

=== 9.设随机变量X 的分布如下，已知()0.9,()0.49E X Var X ==，试求 a,b,c 的值。

解：2

2

2

1,()20.9,()()(())40.90.49a b c E X b c Var X E X E X b c ++==+==-=+-=， 得0.3,0.5,0.2a b c ===

10.设总体的概率密度函数为111()01

x

e x

f x x θ

θ

-?≥?=??

。θ为未知参数，12,,n X X X 是一个样本。

(1)试求θ的最大似然估计量和矩估计。(2)试问*

X θ=是θ的无偏估计吗，为什么

解：(1) 最大似然估计: 1

1

11

(1)

()1

1

1

()(,)n

i

i i x n n

x n n x n n i

i i L f x e e

e

θ

θ

θ

θθθθθ=-----==∑=

===∏∏

1

ln(())ln ()L n n nx θθθ

=-+-

21

ln(())()0d n L n nx d θθθθ

=---= 1x θ=-为最大似然估计值，1X θ=-为最大似然估计量

矩估计：11

1

()()1x

E X xf x dx x e dx θμθθ

-+∞

+∞

-∞

==

==+?

?

，1θμ=-

矩估计量为 1X θ=- 矩估计值为 1x θ=-。

（2）*()()()1E E X E X θθθ===+≠，所以*

θ不是θ的无偏估计 11.设总体(20,),0X

B p p >为未知参数，12,,,n X X X 是来自X 的一个样本。

（1）试求p 的最大似然估计量p 。（2）试问p 是无偏估计量吗为什么 解：(1)因为总体(20,),X B p 2020

(,)(1)x

x x f x p C p p -=-， 设 12,,

,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观察值， 似然函数

202020

201

1

1()(,)(1)

()(1)i

i

i

n

n

n

x x x x

n x n n x i i i i L p f x p C p p C p p --====

=-=-∏

∏∏

201

ln(())ln()ln (20)ln(1)i

n

x i L p C nx p n nx p ==++--∑

1ln(())(20)01d nx L p n nx dp p p

=--=- 20x p =

为最大似然估计值，20

X

p =为最大似然估计量 （2）()20()(

)202020

X E X p

E p E p ====，所以p 是p 的无偏估计 12.设总体X 的概率密度为2

310,(66)

()

0,x x x f x θθθ?<<-?=???

其它,其中,(0)θθ>为未知参

数,12,,...,n X X X 是来自总体X 的样本.

(1)求θ的矩估计量θ. (2)验证矩估计量θ是θ的无偏估计. 解: (1)2

30

1

1()()(66),22

E X xf x dx x x x dx θ

μθθθμθ+∞

-∞

==

=?

-=?=?

? θ的矩估计量为θ=2X , θ的矩估计值为θ=2x

(2) ()(2)2()2()E E X E X E X θθ====,θ是θ的无偏估计 13.设某地区在职职工的月薪2(,)X

N μσ，2,μσ未知，今随机地调查6人，算得月薪分别为（单位：

元）2050 1650 2050 1850 2200 1900

试在显著水平0.05α=下检验假设：0:1900H μ≤， 1:1900H μ>。 解：（1）假设0:1900H μ≤， 1:1900H μ> （2）2

σ未知，检验统计量为

X t =

01900,6n μ==

（3）拒绝域为10.95(1)(5) 2.0150t t n t α->-== （4）根据样本算得1

(205016502050185022001900)19506

x =

+++++= 22221

[(20501950)(16501950)(20501950)5s =-+-+-

222(18501950)(22001950)(19001950)]+-+-+-185000=

则,192.3538s =, 0.6367<2.0150

t =

=,

t 没落在拒绝域内，接受0H ,即认为该地区职工的月薪不高于1900元.

14.设一批木材的小头直径2

~(,),X N μσ(单位cm),今抽出12根测得11.2x =,2

1.44s =.

(1)若已知 1.2σ=,求μ的置信水平为95%的区间估计.

(2)若σ未知,12μ≥为合格,问该批木材是否合格取显著性水平0.05α=, 即假设检验: 0:12,H μ≥ 1:12.H μ< 解: (1) 1.2σ=,0.97512

12,195%,

0.025, 1.962

n u u αα

α-=-====

μ

的置信区间为12

()(11.2 1.96)(10.5210,11.8790)X α-±

== (2) 假设0:12,H μ≤， 1:12.H μ>

2σ

未知，检验统计量为t =

012,12n μ==

拒绝域为10.950.95(1)(1)(11) 1.7959t t n t n t α-≥-=-== 又11.2, 1.2x s ==

,0.952.3094(11) 1.7959t t =

=-<=,

t 没落在拒绝域内，接受0H ,即认为该批木材不合格.

15. 自动车床加工的某种零件的直径(单位：mm )服从正态分布2

(,)N μσ，原来的加工精度2

0.09σ≤，经过一段时间后，需要检验是否保持原来的加工精度，为此，从该车床加工

的零件中抽取30个，测得数据如下：2

10.267,0.1344x s ==，问加工精度是否变差(取显

著水平0.05α=)

解：假设2

201:0.09:0.09H H σσ≤>

μ未知，检验统计量为2

2

20

(1)n S χσ-=

，2

00.09,30n σ==

拒绝域为222

10.95(1)(29)42.557n αχχχ-≥-==

又2

2

20.9520

(1)290.1344

43.3067(29)42.5570.09

n S χχσ-?=

=

=>=,

2χ落在拒绝域内，拒绝0H ,即认为加工精度变差了。