专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理(解析版)

专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理

一、单选题

1．（2019·全国高二课时练习）已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ） A ．2a ，a ﹣b ，a +2b B ．2b ，b ﹣a ，b +2a C ．a ，2b ，b ﹣c D ．c ，a +c ，a ﹣c

【答案】C 【解析】 对于A ，因为2a =

43（a ﹣b ）+2

3（a +2b ），得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A 不正确； 对于B ，因为2b =

43（b ﹣a ）+2

3

（b +2a ），得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B 不正确；

对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a =λ?2b +μ（b ﹣c ）成立，故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面， 它们能构成一个基底，C 正确； 对于D ，因为c =12（a +c ）﹣1

2

（a ﹣c ），得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D 不正确 故选：C ．

2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =，

AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （ ）

A ．12

a b c -++ B ．a b c -++

C ．12

a b c --+

D ．12

a b c -+

【答案】A

【解析】

N 是BC 的中点，

11111

222

A N A A A

B BN a b B

C a b A

D a b c ∴=++=-++=-++=-++.

故选：A.

3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）

A ．111

333OA OB OC ++ B ．111

234OA OB OC ++

C ．111244

OA OB OC ++

D ．111446

OA OB OC ++

【答案】C 【解析】

在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点

∴1

2

OG OA AD =+

11

()22OA AB AC =+?+

1

()4OA OB OA OC OA =+?-+-

111

244

OA OB OC =++ 故选:C.

4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，设AB a =，

AD b =，1AA c =，则CE =（ ）

A ．1

2

a b c --

+ B ．1

2

a b c -

+ C ．1

2

a b c -

- D ．1

2

a b c +

- 【答案】A 【解析】

由题意结合平行六面体的性质可得1111CE CC C D D E =++

111111111

222

CC C D D A AA AB AD a b c =++=--=--+.

故选：A.

5．（2020·广东省红岭中学高二期末） AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】

根据向量共线的定义，可知若AB 与CD 共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合； 若AB ∥CD ，则AB 与CD 共线；

根据充分条件和必要条件的概念，可知AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的必要不充分条件， 故选B

点睛：向量共线的定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 .

6．（2020·广东省红岭中学高二期末）O 为空间任意一点,,,A B C 三点不共线,若OP =1

11

326

OA OB OC ++,则,,,A B C P 四点 A ．一定不共面 B ．不一定共面 C ．一定共面

D ．无法判断

【答案】C

【解析】：点P 在平面ABC 内，O 是平面ABC 外的任意一点，则

OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=．利用此推论可直接证明一定共面．

详解：

因为OP =1

11326OA OB OC +

+，且111

1326

++=，所以,,,A B C P 四点共面. 7．（2019·随州市第一中学高二期中）空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且51

33

PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（ ） A ．

1

3

B ．13-

C ．23

D ．2

3

-

【答案】A 【解析】

因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有

5133PA PB xPC PD =

--，所以51133x --=，解得13

x =. 故选A

8．（2020·甘肃省高二期末）如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，

BN NC =，则MN 等于( )

A ．221332a b c ++

B ．

1221

21a b c +- C ．122132

a b c -++

D ．12312

2a b c -+

【答案】C 【解析】

BN NC =，1()2ON OB OC ∴=+，2OM MA =，2

3OM OA ∴=，

2121()23321

2

MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=++-=-+，故选：C.

9．（2020·广西壮族自治区高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）． A ．

11

22

++a b c B ．11

22

-

++a b c C ．11

22

-

-+a b c D ．

11

22

-+a b c 【答案】B 【解析】

11111111111

()()=2222

BM BB B M BB A D A B C b a a b c =+=+-=+--++

故选B.

10．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH 中，若AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ，，则x ＋y ＋z 等于( )

A ．

7

6

B ．

23

C ．

56

D ．1

【答案】C 【解析】

在平行六面体ABCD ﹣EFGH 中，AG =AB +BC +CG ， ∵AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ，CG =DH ， ∴x=1，﹣2y=1，3z=1，

∴11

2x y ==-，，z=1

3

， ∴x+y+z=

56

， 故选：C ． 二、多选题

11．（2019·山东省济南一中高二期中）已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ）

A ．A

B CB A

C -=

B ．A

C AB B C CC ''''=++

C ．AA CC ''=

D ．AB BB BC C C AC '''+++=

【答案】ABC 【解析】

作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=，则A 正确；

AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=，则D 不正确.综上，正确的有ABC.

故选：ABC

12．（2020·江苏省高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC 的有( )

A ．A

B B

C C

D ++ B ．11111AA BC DC ++ C ．111AB C C BC -+ D ．111

AA DC B C ++ 【答案】BCD 【解析】

A ．1A A

B B

C C

D AD C ++=≠，故错误；

B ．11111

111111

AA BC DC AA A D DC AC ++=++=，故正确；

C ．1111111111

AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=，故正确； D ．111111111

AA DC BC AA A B BC AC ++=++=，故正确. 故选：BCD.

13．（2020·山东省高二期末）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外的任一点，则“点M 与点A ，B ，C 共面”的充分条件的是（ ） A ．2OM OA OB OC =-- B ．OM OA OB OC =+- C ．11

23OM OA OB OC =++ D ．111

236

OM OA OB OC =

++ 【答案】BD 【解析】

当MA mMB nMC =+时，可知点M 与点,,A B C 共面， 所以()()

MO OA m MO OB n MO OC +=+++， 所以()1x y OM OA xOB yOC +-=-++，

所以11111

OA mOB nOC m n

OM OA OB OC m n m n m n m n -++==-+++-+-+-+-，

不妨令11x m n -

=+-，1m y m n =+-，1

n z m n =+-，且此时1x y z ++=，

因为()()21101+-+-=≠，()1111++-=，111111236++=

≠，111

1236

++=， 由上可知：BD 满足要求. 故选：BD.

点睛：常见的证明空间中四点,,,M A B C 共面的方法有：(1)证明MA xMB yMC =+；(2)对于空间中任意一

点O ，证明OM

OA xMB yMC =++；(3) 对于空间中任意一点O ，证明

()1OM xOA yOB zOC x y z =++++=.

三、填空题

14．（2019·江苏省高二期末）直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1BA =__________． 【答案】a b c -+ 【解析】

直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===

111BA BA AA CA CB CC a b c =+=-+=-+

故答案为a b c -+

15．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知非零向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，

BC =5a -＋6b ，72CD a b =-，则,,,A B C D 中一定共线的三点是________.

【答案】A ，B ，D 【解析】

由向量的加法原理：

5672242BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=

又,BD AB 共点B ，故A ，B ，D 三点共线 故答案为：A ，B ，D

16．（2019·浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC ，点D 是BC 中点，P 是AD 中点，设

OP xOA yOB zOC =++，则x y z ++=________；x =________.

【答案】1 1

2

【解析】 如图，

()()

111222OP OA OD OA OB OC ??=

+=++????

111

244

OA OB OC xOA yOB zOC =++=++, 所以111,,244

x y z ===，所以1x y z ++=，1

2x =.

故答案为：1； 1

2

17．（2019·江苏省高二期中）如图在正方体1111ABCD A B C D -中，已知1A A a =,11A B b =,11A D c =,O 为底面的ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =______

【答案】215

326

a b c ++ 【解析】

在正方体1111ABCD A B C D -中，1A A a =,11A

B b =,11A D c =, O 为底面的ABCD 的中心，G 为11D

C O 的重心，

∴AG AO OG =+

()(

)

1111

23

AB AD OD OC =+++ ()

12b c =+(

)11132BA BC DD ?+++??()

112AB AD CC ?+++??

()()()

11111

=

26363b c b c a b c a ++-+++++ 215326

a b c ++=. 故答案为：215

326

a b c ++.

四、解答题

18．（2018·全国高二课时练习）如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AD=2,AA 1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.

(1)单位向量共有多少个? (2)5.

(3)试写出与AB 相等的所有向量. (4)试写出1AA 的相反向量.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析． 【解析】 分析：

（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为5，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量. 详解：

(1)模为1的向量有11111111

,,,,,,,A A AA B B BB C C CC D D DD ,共8个单位向量. (2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5,因此模为5的向量为111,,,

AD D A A D 11111,,,,DA BC C B B C CB .

(3)与向量AB 相等的向量(除它自身之外)为1111,A B DC DC 及. (4)向量1AA 的相反向量为1111,,,A A B B C C D D

. 19．（2020·全国高一课时练习）如图，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为

123,,r r r ，求OD ．

【答案】321OD r r r =+- 【解析】

因为OD OC CD =+，CD BA OA OB ==-， 所以132OD OC OA OB r r r -=+-=+．

20．（2019·三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,AB AD AA 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P 在线段BC 上，且3BP BC =，记1,,a AB b AD c AA ===.

（1）试用,,a b c 表示1D P ； （2）求1D P 模.

【答案】（1）23

a b c --； （25【解析】

（1）111()()D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+， 12()33a b b c a b c ?

?=+-+=-- ??

?.

（2）因为AB ，AD ，1AA 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1. 所以3

3,1,2

a b a c b c ?=?=?=

， 2

2212

444

23

933

D P a b c a b c a b a c b c =--=

+

+-?-?+? 441422=++--+5=21．（2018·全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,AC 与BD 交于O,G 为BD 上一点,BG=2GD,PA =a ,PB =b ,PC =c ,试用基底{a ,b ,c }表示向量PG . 【答案】212

333

a b c -+ 【解析】

因为BG=2GD,所以2

BG BD 3

=

.

又BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=a+c-2b, 所以PG PB BG =+=b+2

3

(a+c-2b) =

23a-13b+23

c. 22．（2019·全国高一课时练习）设e 1,e 2是不共线的空间向量，已知AB =2e 1+ke 2，CB =e 1+3e 2，CD =2e 1-e 2.若A,B,D 三点共线，求k 的值. 【答案】k=-8. 【解析】

分析：A ，B ，D 三点共线，故存在唯一实数λ，使得AB BD λ=，再由已知条件表示出BD 与AB ,建立方程组可求出k 和λ值 详解：

由已知，有BD CD =-CB =(2e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2.

∵A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB =λBD ，即2e 1+ke 2=λ(e 1-4e 2)，∴2e 1+ke 2=λe 1-4λe 2.

∵e 1,e 2是不共线的空间向量，∴24k λλ=??=-?

，解得8k =-.

23．（2018·全国高二课时练习）已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且

OA =e 1+2e 2-e 3,OB =-3e 1+e 2+2e 3,OC =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC }能否作为空间的一个基底?若能,试以此

基底表示向量OD =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由. 【答案】能，OD =17OA -5OB -30OC ． 【解析】

能作为空间的一组基底．

假设,,OA OB OC 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y 使OA =x OB +y OC 成立

123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-

又因为{}

123,,e e e 是空间的一个基底, 所以123,,e e e 不共面.

因此-31,2,2--1,x y x y x y +=??

+=??=?

此方程组无解,

即不存在实数x,y 使OA =x OB +y OC , 所以,,OA OB OC 不共面.

故{,,OA OB OC }能作为空间的一个基底. 设OD =p OA +q OB +z OC ,

则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-

123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-

因为{}

123,,e e e 为空间的一个基底,

所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=??++=??+=?解得17,-5,-30.p q z =??

=??=?

故OD =17OA -5OB -30OC .

点睛：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使

p xa yb zc =++．我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底，其中,,a b c 叫基向量.