温州市平阳县鳌江中学高三数学一轮复习全能测试 专题八 解析几何 理
平阳县鳌江中学2013届高三一轮复习全能测试
专题八 解析几何
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.
参考公式：
如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；
球的表面积公式：2
4R S π=（其中R 表示球的半径）；
球的体积公式：34
3V R π=
（其中R 表示球的半径）； 锥体的体积公式：Sh V 3
1
=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；
柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）；
台体的体积公式：)(3
1
2211S S S S h V ++=
（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求）
1、若抛物线12
622
22
=+=y x px y 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4
2、过抛物线2
4y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于1122(,), (,)P x y Q x y 两点，若
126x x +=，则||PQ =
A.5
B.
6
C.8
D.10
3、两个正数a 、b 的等差中项是92
，一个等比中项是25,b a >则双曲线1
22
22=-b y a x 的离心率为
A ．53
B ．
414
C ．
54
D ．
415
4、（2012陕西理）已知圆2
2
:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则
（ ）
A ．l 与C 相交
B ．l 与
C 相切C ．l 与C 相离
D ．以上三个选项均有可能
5、设抛物线2
4y x =的焦点为F ，过点M （-1，0）的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，使
0AF BF ?=，则直线AB 的斜率k =
（ ）
A
B ．
2
C D ．
3
6、（2012福建理）已知双曲线
22
214x y b
-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 （ ）
A
B ．
C ．3
D ．5
7、已知圆C ：032422
2
2
=-++++m m y mx y x ，若过点（1，2-）可作圆的切线有两条，则实数m 的取值范围是
A ．()??? ??+∞?-∞-,231,
B ．（1-,4）
C ．??? ??4,23
D ．??
? ??-23,1
8、P 是双曲线
11692
2=-y x 的右支上一点，点N M ,分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的动点，则PN PM -的最小值为 ( )
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ．4
9、若双曲线)0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线
22y bx = 的焦点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为（ ）
A ．
9
8
B ．37
C ．
4 D ．10
10、以椭圆2
214
x y +=的短轴的一个端点(0,1)B 为直角顶点，作椭圆的内接等腰直角三角
形的个数为 （ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
非选择题部分（共100分）
注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用
黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11、若双曲线13
2
2=-y m x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则m=____．
12、已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2
=2px （p >0）的准线相切，则抛物线的焦点坐标是 。
13、已知12(1,0),(1,0)F F -的椭圆22
221x y a b
+=的两个焦点，若椭圆上一点P 满足
124PF PF +=，则椭圆的离心率e =
14、椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ?的周长最大时,FAB ?的面积是____________.
15、（2012辽宁理）已知P ,Q 为抛物线2
2x y =上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P 、
Q 分别作抛物线的切线,两切线交于A ,则点A 的纵坐标为__________.
16、若双曲线12
2
=-y x 左支上的一点),(b a P 到渐近线x y =的距离为2，则b a +的
值是 ．
17、已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交
椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，则12k k ?的值为 .
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18、(本题满分14分)已知圆O ：,12
2=+y x 直线)4(3
3
:+=
x y l 。 （I ）求圆O 上的点到直线l 的最小距离。
（II ）设圆O 与x 轴的两交点是F 1、F 2，若从F 1发出的光线经l 上的点M 反射后过点F 2，
求以F 1、F 2为焦点且经过点M 的椭圆方程。
19、(本题满分14分)若椭圆1C ：)20( 14222<<=+b b y x 的离心率等于23，抛物线2C ：
)0( 22>=p py x 的焦点在椭圆的顶点上。
（Ⅰ）求抛物线2C 的方程；
（Ⅱ）过)0,1(-M 的直线l 与抛物线2C 交P 、Q 两点，又过P 、Q 作抛物线2C 的切线1l 、
2l ，当21l l ⊥时，求直线l 的方程
20、(本题满分14分)已知椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且
离心率为
1
2
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点
0(0,)P y ，求0y 的取值范围.
21、(本题满分15分)如图，椭圆C: x 2
＋3 y 2
＝3b 2
(b ＞0).
(Ⅰ) 求椭圆C 的离心率；
(Ⅱ) 若b ＝1，A ，B 是椭圆C 上两点，且 | AB |
，
求△AOB 面积的最大值.
22、(本题满分15分)如图，在矩形ABCD 中，8,4,,,,AB BC E F G H ==分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设,(0)OP OF CQ CF λλλ==≠. （Ⅰ）求直线EP 与GQ 的交点M 的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）过圆
222x y r +=(02)r <<上一点N 作圆的切线与轨迹Γ交于,S T 两点，若20NS NT r ?+=，试求出r 的值.
平阳县鳌江中学2013届高三一轮复习全能测试
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D A B A C C C D
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分。 11、 6 12、(1,0) 13、
12 14、32 15、-4 16、12- 17、1
3
-
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、(本题满分14分)（１）ｄｍｉｎ＝１ （２）??
?
??-
325,23'
1F ＭＦ１／＋ＭＦ２＝Ｆ１＇Ｆ２＝５＝２ａ 则19
42542
2=+y x 为所求轨迹方程 19、(本题满分14分)解：(1)由椭圆方程得2=a ，2
3
==
a c e ，所以3=c ，122=-=c a
b …2分
由题意得：抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即)1,0( …………………3分 所以2=p 抛物线方程为y x 42
= …………………5分 (2) 可判断直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y
设P 、Q 坐标为),,(),,(2211y x y x …………………6分
联立???=+=y
x x k y 4)1(2 整理得 0442
=--k kx x ………………8分
所以k x x k x x 4,42121-==+ ………………10分
由y x 42
= 得 2
/
x
y =
所以2,22121x k x k l l == ………………12分
由12
22
121-=-=?=
?k x x k k l l 所以直线l 的方程为1+=x y ……………14分 20、(本题满分14分)（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得
1c =. ………………1分
因为椭圆C 的离心率为
12
， 所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分
故椭圆C 的方程为 22
143
x y +=. ………………4分
（Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分
当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.
由 22
(1),3412,
y k x x y =-??+=?消去y 整理得 0)3(48)43(2
222=-+-+k x k x k . ………………7分
设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，
则 2
122
834k x x k +=+. ………………8分 所以 212324234x x k x k +==+，33
2
3(1)34k
y k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(14332
2
2k
k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k k
k k y 43
14320+=+=
. ………………10分
当0k <时，
34k k +≤-0k >时，3
4k k
+≥
所以00y ≤<，或0012
y <≤. ………………12分
综上，0y
的取值范围是[,1212
-
. ………………14分 21、(Ⅰ)解：由x 2
＋3y 2
＝3b 2
得 22
2213x y b b
+=，
所以e ＝c a
3． …………5分
(Ⅱ)解：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，△ABO 的面积为S ．
如果AB ⊥x 轴，由对称性不妨记A 的坐标为
)，此时S
＝123
4
；
如果AB 不垂直于x 轴，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，
由22
,33,
y kx m x y =+??+=? 得x 2＋3(kx ＋m) 2
＝3， 即 (1＋3k 2
)x 2
＋6kmx ＋3m 2
－3＝0，又Δ＝36k 2m 2
－4(1＋3k 2
) (3m 2
－3)＞0，
所以 x 1＋x 2＝－2
613km
k
+，x 1 x 2＝223313m k -+， (x 1－x 2)2
＝(x 1＋x 2)2
－4 x 1 x 2＝2222
12(13)
(13)
k m k +-+， ① 由 | AB |
| AB |
(x 1－x 2)2
＝
2
3
1k +， ② 结合①，②得m 2
＝(1＋3k 2
)－222(13)4(1)k k ++．又原点O 到直线AB
所以S ＝1
2
?
，
因此 S 2
＝34?221m k +＝34?[22131k k ++－2222(13)4(1)k k ++]＝34?[－14(22
131k k
++－2)2
＋１] ＝－316?(22131k k ++－2)2
＋34≤34，
故S
．当且仅当2
2
131k k ++＝2，即k ＝±1
＞34
，故S max
． …………15分 22、（本小题满分１5分）
解：（I ）设(,)M x y ，由已知得(4,0),(4,22)P Q λλ-，
则直线EP 的方程为
22x y λ=
-，直线GQ 的方程为2
2x y λ=-+， …………4分
消去λ即得M 的轨迹Γ的方程为
22
1(0)164x y x +=≠.…………………………………………6分
（II ）方法一：由已知得2
NS NT ON
=，又ON ST ⊥，则OS OT ⊥，……8分
设直线:(2)ST y kx m m =+≠±代入22
1
164x y +=2
2
2
(14)84160k x kmx m +++-=，
设
1122(,),(,)
S x y T x y ，
则
212122
28416,1414km m x x x x k k -+=-=++.……10分 由OS OT ⊥得12120
x x y y +=，
即
221212()(1)0
km x x k x x m ++++=，
则
22
516(1)m k =+， ……………………12分 又O 到直线ST
的距离为
r =
，故
(0,2)r =
.
经检验当直线ST 的斜率不存在时也满足. ………………………………15分
方法二：设
00(,)
N x y ，则
222
00x y r +=，且可得直线ST 的方程为2
00x x y y r +=
代入22
1164x y +=得2222420000(4)84160
y x x r x x r y +-+-=，
由2NS NT ON =得2
20200120(1)()()x x x x x r y +--=，即2
01212()x x x x x r +-=， 则224220022
0084164r x r y r y x -+=+
，故(0,2)r =.