高中一年级上学期数学知识点总结(含答案)

高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结

一、集合与命题

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P Q 、为两个非空实数集合，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的有________个。（答：8）（2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7）

2.遇到A B =?I 时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =U ，则实数a ＝______.（答：10,1,2

a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数

依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7）

4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??U ； ⑵A B B B A =??I ；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???I 痧； ⑸u A B U A B =??U e； ⑹()U C A B I U U C A C B =U ；⑺()U U U C A B C A C B =U I .如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A I ，}4{)(=B A C U I ，}5,1{)()(=B C A C U U I ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）

5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：(){}|x y f x =—函数的定义域；(){}|y y f x =—函数的值域；(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集，

如设集合{|M x y ==，集合N ＝{}

2|,y y x x M =∈，则M N =I _ _ （答：[4,)+∞）；

6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关

于x 的不等式

250ax x a

-<-的解集为M ，若3M ∈且5M ?求实数a 的取值范围。 （答：(]519253a ??∈????U ，，） 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 则q ” ；逆否命题为“若q 则p ”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）

哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题

为

（答：在ABC ?中，若90C ∠≠o ，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11

x x f x a a x -=+>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。 8.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若

B A ?，则A 是B 的充分条件；若B A ?，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充

要条件。如设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。若p 是q 的必

要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1[0,]2

） 二、不等式

1. 不等式的性质：

（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不

能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则

a b c >）；

（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>

（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b

>。 如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；

④b a b a 11,0<<<则若；⑤b

a a

b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b

c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）

（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：[]1,7）

（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ （答：12,2??-- ??

?） 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；

（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如设2a >，12

p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >） 3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b

>的形式，若0a >,则b x a >

；若0a <,则b x a

<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈?。如已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3

1,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）

4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0?=和0?<时的解集你会正确表

示吗？设0a >,,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且x x <，则其解集如下表：

如解关于x 的不等式：01)1(2

<++-x a ax 。（答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <

；当01a <<时，11x a <<；当1a =时，x ∈?；当1a >时，11x a

<<） 5. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a 是否为0，

其次若0≠a ，则一定有042≥-=?ac b 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中

含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么？(答：k D ∈，其中D 为()f x 的值域)

6. 一元二次方程根的分布理论。方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两

根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？ 0

()0()02f m f n b m a

n ?≥>><-

?≥>->???????、

0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．

如12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使

0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3(3,)2-） 7. 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程2

0ax bx c ++=的两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。如（1）32

ax >+的解集是(4,)b ，则a =__________（答：18

）；（2）若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m Y ，

其中0<

m Y ）；（3）不等式23210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是_______（答：?）。

8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

如：（1）解不等式2

(1)(2)0x x -+≥。 （答：[){}1,2+∞-U ） （2）不等式(0x -≥的解集是____（答：[){}3,1+∞-U ）

（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x >g 的解集为______（答：()[),12,-∞+∞U ）

（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是.（答：817,8??????

） 9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将

分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

如：（1）解不等式25123x x x -<---

（答：()()1,12,3-U ） （2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，求关于x 的不等式

02>-+x b ax 的解集 （答：()(),12,-∞-+∞U ）

10. 绝对值不等式的解法：

（1）分段讨论（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2

1|2|432|+-≥-

x x （答：R ） （2）利用绝对值的定义； （3）数形结合；如解不等式|||1|3x x +->（答：()(),12,-∞-+∞U ）

（4）两边平方：如若不等式|32||2|x x a +≥+对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围。（答：43??????

）

11. 含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. （见4中例题）

12. 含绝对值不等式的性质：

a b 、同号或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.

如设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+

13. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

如：（1）下列命题中正确的是 A.1y x x =+的最小值是

2 B.2y =的最小值是2 C .423(0)y x x x =-->

的最大值是2- D.423(0)y x x

=-->的最小值是2- （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是

______（答：

（3）正数,x y

满足21x y +=

，则y

x 11+的最小值为______（答：3+ 14. 常用不等式有：（12211a b a b

+≥≥≥+(当且仅当a b c ==时，取等号)，根据目标不等式左右的结构选用；（2）a b c R ∈、、，222a b c ab bc ca

++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m

+<+（糖水的浓度问题）。如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）

15. 证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。 常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n

-=<<=-++--

=

<<=

如（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；

(2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；

（3）已知,,,a b x y R +∈，且

11,x y a b >>，求证：x y x a y b >++；

(4)若*n N ∈(1)n +<

n ；

(5)已知||||a b ≠，求证：||||||||||||

a b a b a b a b -+≤-+；

16. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

（1）恒成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

如（1）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围

（2）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围

（3）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.

（2）能成立问题

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；

若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如 已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____

（3）恰成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .

三、函数

1. 函数的定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈=I 中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数422

12+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：

2）

2. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）

3. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，0次幂的底数不能为零。如（1）函数

3y x =

-的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4)U U )；（2）若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______(答：30,4??????

)；（3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________(答：

[,]a a -)；

（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。

（3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。如（1）若函数)(x f y =的定

义域为??

????2,21，则(2)x f 的定义域为__________（答：{}

42|≤≤x x ）；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）． 4. 求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如

（1）求函数2

25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：2

1-≥a ）； 特别说明：二次函数在区间[],m n 上最值的求法，一定要注意顶点的横坐标是否在定义域内。如果是选择、填空可以很快写答案:先看看2b a

-是否在[],m n 内，如果在的话，算三个数()()()2b f m f n f a

-

、、,三数中谁最大谁就是最大值，谁最小谁就是最小值。如果不在的话，只要算两个数()()f m f n 、，大的就最大值，小的就最小值。 （2）换元法

――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）21y x =++_____

（答：(3,)+∞t =，0t ≥。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；

（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，

（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求1(19)y x x x =-<<的值域为______（答：80(0,)9

）； （5）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用