数学建模算法大全模糊数学模型

第二十二章 模糊数学模型

模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学，是在美国控制论专家A. Zadeh 教授于1965年提出的模糊集合（Fuzzy Set ）基础上发展起来的一门新兴的数学分支。这门学科经过多年的发展。它在现实世界中的应用越来越广泛。

§1 模糊数学基本知识

1.1 集合与特征函数

集合是现代数学的重要概念。一般地说，具有某种属性的事物的全体或确定对象的汇总称为一个集合。不含任何元素的集合称为空集，记为Φ。

由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为Ω。若集合Ω?A ，则将集合},|{Ω∈?x A x x 且称为集合A 的补集，记为c A 。集合及其性质可用所谓特征函数来描述。

定义 1 设Ω为全集，A 为Ω的子集，则集合A 的特征函数指的是Ω到集合}1,0{=V 的一个映射A μ

V A →Ω:μ

)(x x A μ→

其中对应规则A μ满足

????∈=A

x A x A 01μ 集合的特征函数具有以下性质：

)}(),(m ax {)(x x x B A B A μμμ=Y ，记作)()(x x B A μμ∨

)}(),(m in{)(x x x B A B A μμμ=I ，记作)()(x x B A μμ∧

)(1)(x x A A c

μμ-= 1.2 模糊集合

1.2.1 模糊集合的概念

对于普通集合A 及其余集c A ，任何元素A x ∈或c

A x ∈，二者必居其一，且仅居其一；用特征函数来表示就是0)(=x A μ或1)(=x A μ有且仅有一个成立。然而，客观世界中存在着大量的模糊概念，如“高个子”，“老年人”，这些概念无法用普通集合表示，因为这些概念与其对立面之间无法划出一条明确的分界线。为了研究和处理这类模

糊概念（或现象），就需要把普通集合引申到模糊集合，用特征函数来描述就是将集合的特征函数的值域由}1,0{两个数扩展到闭区间]1,0[，这就是建立模糊集合的基本思想。

下面我们把所讨论对象的全体称为论域。

定义2 给定论域U ，模糊集合A 指的是论域U 到区间]1,0[的一个映射A μ ]1,0[:→U A μ

)(x x A μ→

对一切U x ∈，唯一确定实数)(x A μ，使得1)(0≤≤x A μ；用这个数表示x 属于

A 的程度；

其中函数)(x A μ称为A 的隶属度。而对于元素x ，函数值)(x A μ称为元素x 关于A 的隶属度。

0)(≡x A μ表示模糊集合Φ=A ，1)(≡x A μ表示模糊集合U A =。

由于模糊集合总是论域U 的子集，故也称为模糊子集。模糊子集A 通常记为~A 。由于普通集合就是隶属函数值仅取0或1的特殊的模糊集合，为了方便起见，我们不加区别地采用大写字母C B A ,,等表示模糊集合，其隶属函数一律记作)(),(x x B A μμ等。

例1 以年龄作为论域U ，取]100,0[=U ，模糊集合A 与B 分别表示概念“老年人”和“年轻人”，取隶属函数为

???

????≤

?-+≤≤=-100x 25 52511250 1)(2x x x B μ 隶属函数和隶属度是模糊数学中的重要概念，隶属函数不是唯一的，例如关于“老年人”的隶属函数也可以取为

???????≥<<-≤≤= 70

17050 20

50500 0)(x x x x x A μ

1.2.2 模糊集合的表示方法

设论域为U ，则模糊集合A 可表示为

Y U x A x x A ∈=

/)(μ

其中“/”不表示除法运算，仅表示x 为元素，)(x A μ为x 的隶属度。

若论域U 为有限论域；即设},,,{21n x x x U Λ=，则A 还可以表示为

（1） n n A A A x x x x x x A )()()

(2211μμμ+++=Λ

同样，加号与除号仅是一种记号，并不表示加、除运算。

（2） )}(,),(),({21n A A A x x x A μμμΛ=称为向量表示法。一般地，当]1,0[∈i μ),,2,1(n i Λ=时，称),,,(21n μμμΛ为模糊向量。

1.2.3 模糊集合的运算

定义3 设论域为U ，U 的所有模糊集合作为元素构成的普通集合称为U 的模糊幂集，记为)(U P 。

定义4 设论域为U ，A 和B 是U 的模糊集合，即)(U P A ∈，)(U P B ∈。如果对一切U x ∈有)()(x x B A μμ≤，则称模糊集合B 包含A ，记为B A ?；如果对一切U x ∈，有)()(x x B A μμ=，则称A 与B 相等，记为B A =。

定义5 设论域为U ，A 和B 是U 的模糊集合，即)(U P A ∈，)(U P B ∈。它们的隶属函数分别为)(x A μ和)(x B μ。A 与B 的并集是U 的模糊集合，记为B A Y ，其隶属函数为

)()()(x x x B A B A μμμ∨=Y

A 与

B 的交集是U 的模糊集合，记为B A I ，其隶属函数为

)()()(x x x B A B A μμμ∧=I

A 的余集是U 的一个模糊集合，记为c A ，其隶属函数为

)(1)(x x A A c

μμ-= 其中，“∨”和“∧”是取“最大”与“最小”的意思。

定义6 设论域为U ，A 是U 的模糊集合，R ∈λ，且10<<λ，令

})(,|{λμλ≥∈=x U x x A A

则称λA 为A 的一个-λ截集，其中λ称为阈值或置信水平。

由定义知，A 的-λ截集λA 就是U 中所有对A 的隶属度大于或等于λ的全体元素组成的普通集合。

例2 设论域},,,,{54321x x x x x U =，

5

43215.012.09.07.0x x x x x A ++++= 则},,,{54214.0x x x x A =，},{428.0x x A =。

定义7 设论域为U ，A 为U 的模糊集合，

10≤≤λ，λ与A 的模糊截积记为A λ，其隶属函数为)()(x x A A λλμλ∧=。

特别地，当A 为普通集合时有

?

???∈=A x A x x A 0)(λμλ 模糊截积具有以下性质：A A 2121λλλλ??≤。

1.3 模糊矩阵

定义8 称m n ij r R ?=)(为模糊矩阵，如果对一切n i ,,2,1Λ=，m j ,,2,1Λ=有10≤≤ij r 。当ij r 仅取0或1时，m n ij r R ?=)(为布尔矩阵。

定义9 设m n ij r R ?=)(和m n ij s S ?=)(为两模糊矩阵，如果对一切j i ,有ij ij s r =，则称R 和S 相等，记为S R =；如果对一切j i ,有ij ij s r ≤，则称S 包含R ，记为S R ?。

定义10 设m n ij r R ?=)(和m n ij s S ?=)(为两模糊矩阵，则R 和S 的并定义为m n ij ij s r S R ?∨=)(Y ，R 与S 的交m n ij ij s r S R ?∧=)(I 。

定义11 设m n ij r R ?=)(为模糊矩阵，10≤≤λ，令

?????<≥=λλλ

ij ij ij r r r 01 则称布尔矩阵m n ij r ?)(λ为R 的-λ截矩阵，记为λR 。

例如

????

??????=9.03.001.02.04.06.003.05.07.08.0R 则

????

??????=1000001001115.0R 定义12 模糊矩阵m n ij r R ?=)(与l m jk q Q ?=)(的合成是一个n 行l 列的模糊矩阵l n ik s S ?=)(，记为Q R S ο=，其中)(1jk ij m

j ik q r s ∧=∨=),,1,,,1(l k n i ΛΛ==，S 又

称为R 与Q 的模糊乘积。

例3 设模糊矩阵??????=7.06.04.01.05.07.0R ，????

??????=4.07.001.06.08.0Q 则??????=????

????????????=4.07.06.07.04.07.001.06.08.07.06.04.01.05.07.0Q R ο 1.4 模糊关系及其合成运算

两个非空子集U 与V 的笛卡儿乘积定义为一个关系：

},|),{(V v U u v u V U ∈∈=?，V U ?的子集称为U 到V 的一个关系，记为

V U R ?→?。

当R v u ∈),(时，则称u 与v 有关系R ，记为uRv ，否则称u 与v 没有关系。类似地，我们有

定义13 设V U ,为两非空集合，以V U ?为论域的模糊集合~

R 确定U 到V 的一个模糊关系，记作V U R

?→?~，其中对任意V U v u ?∈),(，),(v u 关于模糊集合~

R 的隶属度记为),(~v u R μ，它表示u 与v 关于模糊关系的相关程度，记为),(~

v u R ，特别地，

当),(~v u R 的值仅取0或1时，~

R 就是U 到V 的普通关系。所以普通关系是模糊关系的特殊情况，因此我们不加区别地用T S R ,,等表示模糊关系，并且将模糊集合的隶属函数称为模糊关系的隶属函数，记为),(),,(),,(v u T v u S v u R 。

模糊关系可以用模糊矩阵来表示，即

定义14 设},,,{21n u u u U Λ=，},,,{21m v v v V Λ=都是有限论域，U 到V 的

模糊关系V U R ?→?

，对一切),,1(n i i Λ=，),,1(m j j Λ=，令),(j i ij v u R r =，则称模糊矩阵m n ij r ?)(为模糊关系R 的矩阵表示，在不出现混淆的情况下仍记为R 。

模糊关系存在合成运算。

定义15 设W V U ,,为三个非空集合，U 到V 的模糊关系R 与V 到W 的模糊关系S 的合成是一个U 到W 的模糊关系T ，记作S R T ο=，其中对一切W U w u ?∈),(有)],(),([),(w v S v u R w u T V

v ∧∨=∈。 定理 1 设},,{1n u u U Λ=，},,{1m v v V Λ=和},,{1l w w W Λ=是三个有限论

域，模糊关系V U R ?→?

，W V S ?→?的矩阵表示分别为m n ij r R ?=)(，l m jk s S ?=)(，则模糊关系W U S

R ??→

?ο的矩阵表示就是模糊矩阵m n ij r ?)(与l m jk s ?)(的合成。 定理2 设U 和V 是两个非空集合，R 为U 到V 的模糊关系，对任意10≤≤λ可以唯一确定U 到V 的普通关系λR ，其中对一切V U v u ?∈),(，当且仅当λ≥),(v u R

时，有λR v u ∈),(，即

???<≥=λ

λλ),(0),(1),(v u R v u R v u R 则称λR 为R 的-λ截关系。

-λ截关系可以用-λ截矩阵表示。

§2 模糊分类问题

实际工作中有这样一类问题，已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确，这就是模糊模式识别的问题。这类问题的特点是：几个模型是模糊的，而待识别对象是明确的。这类问题的一般提法是：已知论域U 的若干个模糊集合n A A A ,,,21Λ，对于U 的某个特定元素0x ，判定0x 相对隶属于哪一个模糊集合。

2.1 最大隶属原则

以上提到的识别问题，一般情况可以用最大隶属原则识别。

最大隶属原则：设论域为U ，n A A A ,,,21Λ是U 的n 个模糊集合，对于U x ∈0，如果

)}(,),(max {)(0001x x x n

k A A A μμμΛ=，n k ≤≤1 则可以认为0x 相对隶属于k A 。

2.2 阈值原则

在识别问题中还会出现以下两种情况，一是待识别对象0x 关于模糊集合n A A A ,,,21Λ中的每一个的隶属度都相对较低，这说明模糊集合对元素0x 不能识别；二是有时待识别对象关于模糊集合若干个的隶属程度都相对较高，这时还可以缩小0x 的识别范围。我们可采取如下阈值原则：

阈值原则：设论域为U ，n A A A ,,,21Λ是U 的n 个模糊集合。给定一个阈值（或称置信水平）α)10(<<α，对一切n i ≤≤1，如果有αμ≤)(0x i A ，则认为0x 不属于任何一模糊集合，即不能识别；如果存在某些k ，使得αμ>)(0x k A ，则令B 是所有满足αμ>)(0x k A 的模糊集合的k A 的交，即I αμ>=

)(0x k k A A B ，则认为0x 相对隶属于模糊