高考数学 对数与对数函数
第八节 对数与对数函数
[知识能否忆起]
1．对数的概念 (1)对数的定义：
如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N .
(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0. ②log a a ＝1.
③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c b
log c a
.
推广log a b ＝1
log b a ，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
(3)对数的运算法则：
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M
N ＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n ＝n
m log a M .
2．对数函数的概念
(1)把y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象关于y ＝x 对称．
3．对数函数的图象与性质
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0
当x >1时，y >0当0 当x >1时，y <0当0 时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 [小题能否全取] 1．(教材习题改编)设A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝? ??? ?? y |y ＝??? ?12x ，0 2，＋∞ C.????12，1 D ．(0,2) 解析：选C ∵A ＝{y |y >0}，B ＝? ??? ??y |12 ∴A ∩B ＝? ??? ?? y |12 2．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.????0，2 3 B.???? 23，0 C ．(1,0) D ．(0,1) 解析：选C 当x ＝1时y ＝0. 3．函数y ＝lg |x |( ) A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 解析：选B y ＝lg |x |是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 4．(2012·江苏高考)函数f (x )＝ 1－2log 6x 的定义域为________． 解析：由1－2log 6x ≥0，解得log 6x ≤1 2?0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]． 答案：(0， 6 ] 5．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. 解析：由f (ab )＝1得ab ＝10，于是f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2(lg a ＋lg b )＝2lg(ab )＝2lg 10＝2. 答案：2 1.在运用性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数)． 2．对数值取正、负值的规律： 当a >1且b >1，或00； 当a >1且01时，log a b <0. 3．对数函数的定义域及单调性： 在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论． 对数式的化简与求值 典题导入 [例1] 求解下列各题． (1)12lg 3249－4 3lg 8＋lg 245＝________； (2)若2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1 b ＝2，则m ＝________. [自主解答] (1)12lg 3249－4 3lg 8＋lg 245 ＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋1 2(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋1 2 lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12 . (2)由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1 b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10. ∵1a ＋1 b ＝2， ∴log m 10＝2，即m 2＝10. 解得m ＝10(∵m >0)． [答案] (1)1 2 (2)10 由题悟法 对数式的化简与求值的常用思路 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并． (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． 以题试法 1．化简：(1)lg 3 7＋lg 70－lg 3－lg 23－lg 9＋1； (2)? ?? ? ?lg 4－lg 60lg 3＋lg 53－45×2－11. 解：(1)原式＝lg 3 7 ×703－ lg 23－2lg 3＋1 ＝lg 10－ (lg 3－1)2 ＝1－|lg 3－1|＝lg 3. (2)原式＝? ?? ??lg 4－(lg 4＋lg 15)lg 153－210×2－11 ＝? ?? ??－lg 15lg 153－2－1 ＝－32. 对数函数的图象及应用 典题导入 [例2] (1)(2012·烟台调研)函数y ＝ln(1－x )的图象大致为( ) (2)(2012·新课标全国卷)当0 A.? ?? ? 0， 22 B.?? ? ? 22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) [自主解答] (1)由1－x >0，知x <1，排除选项A 、B ；设t ＝1－x (x <1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x )为减函数，可排除D 选C. (2)法一：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0 2，即2 ?2 2，1. 法二：∵0 则有412＝2，log 121 2 ＝1，显然4x [答案] (1)C (2)B 若本例(2)变为：若不等式(x －1)2 解析：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2 当01时，如图， 要使x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只 需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2， 又即log a 2≥1. 所以1 由题悟法 1．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解． 2．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解． 以题试法 2．已知函数f (x )＝???? ? 3x ，x ≤1，log 13 x ，x >1，则y ＝f (1－x )的大致图象是( ) 解析：选C 由题意可得f (1－x )＝???? ? 31－x ，x ≥0，log 13(1－x )，x <0，因此当x ≥0时，y ＝f (1－x )为 减函数，且y >0；当x <0时，y ＝f (1－x )为增函数，且y <0. 对数函数的性质及应用 典题导入 [例3] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (x )定义域为R ，求a 的取值范围； (2)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． [自主解答] (1)因为f (x )的定义域为R ， 所以ax 2＋2x ＋3>0对任意x ∈R 恒成立． 显然a ＝0时不合题意， 从而必有????? a >0，Δ<0，即????? a >0，4－12a <0， 解得a >1 3 . 即a 的取值范围是??? ?1 3，＋∞. (2)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0得－1 则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (3)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有??? a >0， 3a －1 a ＝1， 解得a ＝1 2 . 故存在实数a ＝1 2 使f (x )的最小值为0. 由题悟法 研究复合函数y ＝log a f (x )的单调性(最值)时，应先研究其定义域，分析复合的特点，结合函数u ＝f (x )及y ＝log a u 的单调性(最值)情况确定函数y ＝log a f (x )的单调性(最值)(其中a >0，且a ≠1)． 以题试法 3．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性． 解：(1)由a x －1>0得a x >1，当a >1时，x >0； 当0 ∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当01时，设0 故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 类似地，当0 [典例] (2012·大纲全国卷)已知x ＝ln π，y ＝ log 52，z ＝e －1 2 ，则( ) A ．x ＜y ＜z B ．z ＜x ＜y C ．z ＜y ＜x D ．y ＜z ＜x [巧思妙解] 因为ln π＞ln e ＝1，log 52＜log 55＝1，所以x ＞y .故排除A 、B ；又因为log 52＜log 55＝12，e －12＝1e ＞1 2 ，所以z ＞y .故排除C. [答案] D ——————[ 高 手 支 招]——————————————————————————— 本题在比较三个数的大小时利用中间值，进行第一次比较时，中间值常选用的有0,1，由指数、对数式可知x >1,0 ————————————————————————————————————— — 针对训练 1．(2012·北京东城区综合练习)设a ＝log 1 23，b ＝????130.3，c ＝ln π，则( ) A ．a D ．b 解析：选A a ＝log 123 21＝0,0ln e ＝1，故a b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．b >c >a 解析：选B 因为函数y ＝????32x 为增函数，所以a ＝????320.1>??? ?320＝1； 因为sin 2 012π3＝sin ????670π＋2π3＝sin 2π3＝3 2<1，函数y ＝ln x 为(0，＋∞)上的增函数，所以ln sin 2 012π3＝ln 3 2 因为1>12>13，而函数y ＝log 13x 为(0，＋∞)上的减函数，所以0＝log 131 3＝ 1. 所以b <0 1．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为( ) A ．(0,8] B ．(2,8] C ．(－2,8] D ．[8，＋∞) 解析：选C 由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg 10，则? ???? x ＋2≤10， x ＋2>0，解 得－2 2．(2012·安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( ) A.1 4 B.12 C ．2 D ．4 解析：选D (log 29)·(log 34)＝ lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2 lg 3 ＝4. 3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 1 2 x D ．2x － 2 解析：选A f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x . 4．(2011·天津高考)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b 解析：选B a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96， y ＝log 4x (x ＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96， ∴a ＞c ＞b . 5．(2013·安徽名校模拟)函数y ＝log 2|x |x 的大致图象是( ) 解析：选C 由于log 2|－x |－x ＝－log 2|x |x ，所以函数y ＝log 2|x | x 是奇函数，其图象关于原点对 称．当x >0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C. 6．已知函数f (x )＝log 1 2|x －1|，则下列结论正确的是( ) A ．f ????－1 2 2 2 ?－1 2 解析：选C 依题意得f (3)＝log 122＝－1<0，log 122 21，即－1 2 1＝0，因此有f (3) 7．(2012·长安一中质检)对任意的非零实数a ，b ，若a ?b ＝??? b －1 a ，a b ，a ≥b ，则lg 10 000 ?????12－2＝________. 解析：∵lg 10 000＝lg 104＝4，????12－2 ＝4， ∴lg 10 000?????12－2＝4＋14＝54. 答案：54 8．函数y ＝log 1 2 (x 2－6x ＋17)的值域是________． 解析：令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数，所以有log 12t ≤log 1 28＝－ 3. 答案：(－∞，－3] 9．函数f (x )＝log a x (a >1)在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为1 2，则a 等于________． 解析：∵a ＞1， ∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上为增函数． ∴log a 2a －log a a ＝1 2，解得a ＝4. 答案：4 10．计算下列各式． (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)(lg 3)2－lg 9＋1·(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2 . 解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. (2)原式＝ (lg 3)2－2lg 3＋1·????32 lg 3＋3lg 2－32(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1) ＝(1－lg 3)·3 2(lg 3＋2lg 2－1) (lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1) ＝－3 2. 11．说明函数y ＝log 2|x ＋1|的图象，可由函数y ＝log 2x 的图象经过怎样的变换而得到．并由图象指出函数的单调区间． 解：作出函数y ＝log 2x 的图象，再作其关于y 轴对称的图形得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数 y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)． 由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)． 12．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值； (2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )＜f (1)． 解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b . 由已知得(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，即a ＝2. 又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4. ∴a 2－a ＋b ＝4.∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2. 从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2 ＝? ???log 2x －122＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74 . (2)由题意? ???? (log 2x )2－log 2x ＋2＞2， log 2(x 2 －x ＋2)＜2 ?????? x ＞2或0＜x ＜1， －1＜x ＜2 ?0＜x ＜1. 1．(2012·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝? ???? log 2(8－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则 f (3)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－3 解析：选D 依题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝[f (1)－f (0)]－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3. 2．已知f (x )是周期为2的奇函数，当0 A ．a B ．b C ．c D ．c 解析：选D 已知f (x )是周期为2的奇函数，当0 －45＝－f ????45＝－lg 45 >0， b ＝f ????32＝f ????－12＝－f ????12＝－lg 1 2>0， c ＝f ????52＝f ????12＝lg 1 2<0. 又因为lg 45>lg 12， 所以0<－lg 45<－lg 1 2. 所以c 3．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)，满足对任意的x 1，x 2，当x 1 2时，f (x 1) －f (x 2)>0，求实数a 的取值范围． 解：因为对任意的x 1，x 2，当x 1 2时，f (x 1)－f (x 2)>0， 所以函数f (x )在? ???－∞，a 2上单调递减． 令t ＝x 2－ax ＋3，则二次函数t ＝x 2－ax ＋3的对称轴为x ＝a 2，其在????－∞，a 2上单调递减． 由复合函数的单调性，可知y ＝log a x 为单调增函数，故a >1. 由对数函数的定义域，可知在区间? ???－∞，a 2上，t >0恒成立，即x 2－ax ＋3>0在区间? ???－∞，a 2上恒成立． 而函数 t ＝x 2－ax ＋3 在区间????－∞，a 2上的最小值为????a 22－a ×a 2＋3＝3－a 2 4.故3－a 2 4 >0， 解得|a |<2 3. 综上可得a 的取值范围是(1,23)． 1．设函数f (x )＝????? log 12x ，x >0， log 2(－x )，x <0，若f (m ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 解析：选C 当m >0时，f (m ) 2 m 当m <0时，f (m ) 2(－m )?－1 ∪(1，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝|lg x |，若0 D ．[3，＋∞) 解析：选B 由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增，当01，故f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ．由f (a )＝f (b )，得－lg a ＝log b ，即lg(ab )＝0，故ab ＝1.则2a ＋b ≥22ab ＝22，当且仅当2a ＝b ，即a ＝ 2 2 ，b ＝2时取等号． 3．化简：log 3 4 273·log 5[412log 210－(33)23 －7log 72]． 解：原式＝log 33343·log 5[2log 210－(332)2 3－7log 72] ＝????3 4log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝????34－1·log 55＝－14 . 4．(2012·上海徐汇二模)已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x . (1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域； (2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]． 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得 (3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ， 令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0,2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k <4t ＋9t －15恒成立， 因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝3 2时取等号， 所以4t ＋9 t －15的最小值为－3，即k ∈(－∞，－3)．