专题29 图形折叠中的直角三角形存在性问题(解析版)
专题29 图形折叠中的直角三角形存在性问题
【精典讲解】
1、如图例3-1，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，△B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE △BC 交AB 边于点E ，将△B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为
图例3-1
图例3-2
图例3-3
【答案】2或1.
【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知△BED =△DEF =60°，所以△AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点.
分两种情况考虑： △当△EAF =90°时，如图例3-2所示. △△B =30°，BC =3
△30AC tan BC =??=
2AB AC = △△EAF =90°
△△AFC =60°，△CAF =30°
在Rt △ACF 中，有：cos AF AC CAF =÷∠÷
，24BF AF == 由折叠性质可得：△B =△DFE =30°，1
22
BD DF BF ==
=
△当△AFE =90°时，如图例3-3所示.
由折叠性质得：△B =△DFE =30°，1
22
BD DF BF === △△AFC =60°，△F AC =30°
△tan 1CF FAC AC =∠?=
= 所以，BF =2，1
12
BD DF BF ==
= 综上所述，BD 的长为2或1.
【点睛】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：△遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置；△解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.
2、如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把△B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ．
图例4-1 图例4-2
图例4-3
【答案】3或1.5.
【解析】此题以“当△CEB ′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B ′及点E 分别为直角顶点.分两种情况考虑：
△当△CEB ′=90°时，如图例4-2所示.
由折叠性质得：AB =AB ′，四边形ABE B ′是矩形.
所以四边形ABE B ′是正方形. 此时，BE =AB =3.
△当△CB ′E =90°时，如图例4-3所示.
由折叠性质知，△AB ′C =90°，所以△AB ′C+△CB ′E =180°. △点A 、B ′、C 共线
在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC =5 由折叠得：AB = AB ′=3 所以B ′C =2
设BE =x ，则B ′E =x ，EC =4－x
在Rt △ABC 中，由勾股定理得：EC 2=B ′E 2+B ′C 2 即：（4-x ）2=x 2+22 解得：x =1.5.
综上所述，BE 的值为3或1.5.
【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由，折叠的性质及勾股定理的应用.
3、如图例5-1，在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，1BC =
，点M ，N 分别是边BC ，AB 上
的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ?为直角三角形，则
BM 的长为 ．
图例5-1
图例5-2
图例5-3
或1. 【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论. △当△CM B ′=90°时，如图例5-2所示.
由折叠知：△BMN =△B ′MB =45°，又因为△B =45°，所以△BNM =90°，△MNB ′=90° 即△BNM +△MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合.
所以，12BM BC =
= △当△CB ′M =90°时，如图例5-3所示.
由折叠知△B =△B ′=45°，因为△C =45°，可得△B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形
设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC =
x
因为BC +1
所以x x +1 解得：x =1，即BM =1.
综上所述，BM 或1. 【点睛】根据题意判断出C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系求解. 4、 如图例6-1，在△MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A’BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称. D 、E 分别为AC 、BC 的中点，连接DE 并延长交A’B 所在直线于点F ，连接A’E . 当△A’EF 为直角三角形时，AB 的长为
.
图例6-1图例6-2图例6-3
【答案】4或
【解析】分两种情况讨论.
△当△A’FE=90°时，如图例6-2所示.
△D、E分别为AC、BC的中点
△DE是三角形ABC的中位线
即DE△BA
△△A’BA=90°
△四边形AB A’C为矩形
由折叠得AC=A’C
△四边形AB A’C为正方形
即AB=AC=4.
△当△A’EF=90°时，如图例6-3所示.
△△A’EF=△CDE=90°
△A’E△CD
△△DCE=△CEA’
由折叠知：△DCE=△A’CE
△△CEA’=△A’CE
△A’C=A’E=4
又△E是BC中点
即A’E是Rt△A’BC的中线
△BC=2A’E=8
在Rt△A’BC中，由勾股定理得，A’B=
由折叠性质得：AB= A’B=
综上所述，AB的长为4或
【点睛】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾股定理求解.
【针对训练】
1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )
A．3B．3
2
C．2或3D．3或
3
2
【解析】
【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：△当点B′落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得△AB′E=△B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到△EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即△B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
△当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
△当点B′落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
，
△△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
△△AB′E=△B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到△EB′C=90°，
△点A、B′、C共线，即△B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
△EB=EB′，AB=AB′=3，
△CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，
△EB′2+CB′2=CE2，
△x2+22=（4-x）2，解得x=3
2
，
△BE=3
2
；
△当点B′落在AD边上时，如图2所示．
此时ABEB′为正方形，
△BE=AB=3．
综上所述，BE的长为3
2
或3．
故选D．
【点睛】
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
2、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、
DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则AD
DF
的值为
A ．
1113
B ．
1315
C ．
1517
D ．
1719
【解析】 【分析】
根据折叠的性质可得出DC =DE 、CP =EP ，由△EOF =△BOP 、△B =△E 、OP =OF 可得出△OEF △△OBP （AAS ），根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4﹣x 、BF =PC =3﹣x ，进而可得出AF =1+x ．在Rt△DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得出答案． 【详解】
根据折叠，可知：△DCP △△DEP ，△DC =DE =4，CP =EP ．
在△OEF 和△OBP 中，△90EOF BOP B E OP OF ∠∠∠∠=??
==???=?
，△△OEF △△OBP （AAS ），△OE =OB ，EF =BP ．
设EF =x ，则BP =x ，DF =DE ﹣EF =4﹣x ．
又△BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC ﹣BP =3﹣x ，△AF =AB ﹣BF =1+x ．
在Rt△DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即（1+x ）2+32=（4﹣x ）2，解得：x =0.6，△DF =4﹣x =3.4，△15
17
AD DF =． 故选C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF 的长度是解题的关键．
3、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接PA．点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（）
A．3B．3C．3
2
D．3
【解析】
试题解析：如图所示：
在Rt△ABE中，AE=．
△BC=3，BE=，
△EC=3-．
由翻折的性质可知：PE=CE=3-．
△AP+PE≥AE，
△AP≥AE-PE．
△当点A、P、E一条直线上时，AP有最小值．
△AP=AE-PE=2-（3-）=3-3．
故选A．
考点：翻折变换（折叠问题）．
BC=，点E是BC边上一点，连接AE，把矩形沿AE折叠，使点4、如图，矩形ABCD中，3
AB=，4
?为直角三角形时，BE的长为____________．
B落在点B'处．当CEB'
【解析】
【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
△当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得△AB′E=△B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到△EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即△B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可
计算出x ．
△当点B′落在AD 边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB′为正方形． 【详解】
由题意知，需分两种情况讨论：
△当90CB E ?'∠=时，如图1，由折叠得，90AB E B ?'∠=∠=，AB AB '=， △180AB C ?'∠=，
△,,A B C '三点共线．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =， △5AC =． △AB AB 3'==， △2B C AC AB ''=-=．
设BE x =，则4CE BC BE x =-=-，B E x '=，
在Rt B CE '?中，222B E B C CE ''+=，即2
2
2
2(4)x x +=-，解得32
x =． △当90B EC ?'∠=时，如图2，由折叠可知ABE AB E '??≌， △BE B E '=，90B AB E ?'∠=∠=， △四边形ABEB '是正方形， △3BE AB ==．
综上所述，当CEB '?为直角三角形时，BE 的长为
3
2
或3．
故答案是：3
2
或3.
【点睛】
考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
5、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF 沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为_____．
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题．（注意有两种情形）
【详解】
解：如图，由翻折可知，△FEA＝△FEA′，
△CD△AB，
△△CFE＝△AEF，
△△CFE＝△CEF，
△CE＝CF，
在Rt△BCE中，EC==，
△CF＝CE＝，
△AB＝CD＝6，
△DF＝CD﹣CF＝6﹣，
当点F在DC的延长线上时，易知EF△EF′，CF＝CF′＝，
△DF＝CD+CF′＝
故答案为6﹣或．
【点睛】
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE的等腰三角形，属于中考常考题型．
6、如图，在菱形ABCD中，△DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE△AB交直线AD 于点E，将△A沿PE折叠，点A落在F处，连接DF，CF，当△CDF为直角三角形时，线段AP的长为__________．
【解析】 【分析】
分两种情形讨论：△如图1，当DF △AB 时，△CDF 是直角三角形；△如图2，当CF △AB 时，△DCF 是直角三角形，分别求出即可． 【详解】
分两种情况讨论：△如图1，当DF △AB 时，△CDF 是直角三角形．
△在菱形ABCD 中，AB =4，△CD =AD =AB =4．
在Rt△ADF 中，△AD =4，△DAB =45，DF =AF △AP 1
2
=AF =
△如图2，当CF △AB 时，△DCF 是直角三角形．
在Rt△CBF 中，
△△CFB =90°，△CBF =△A =45°，BC =4，△BF =CF ，△AF △AP 1
2
=AF =2．
综上所述：线段AP 或2．
2 【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，正确画出图象，注意分类讨论的思想，属于中考常考题型．