放缩法技巧全总结

放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑

=-n

k k 121

42的值; (2)求证:3511

2

<∑

=n

k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142

2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111

4212

+=+-=-∑=n n n k n

k (2)因为

??? ??+--=-=-

<1211212144

4

111

222

n n n n n ,所以35321121121513121112=+

k 奇巧积累:(1)??

? ??+--=-<=

1211212144441

222

n n n n n

(2)

)

1(1

)1(1)1()1(212

11

+--=-+=+n n n n n n n C C n n

(3))2(1

11)1(1!11)!(!!11

≥--=-<

=+r r r r r r n r n r n n

C T

r r

r

n r

(4)111

1

(1)1132132

(1)

n n n n +<++

+++

(5)

n

n n n 21

121)12(21-

-=- (6)

n n n -+<+22

1

(7))1(21)1(2--<<

-+n n n

n n

(8)

n n n n n n n 2)32(12)12(12

13211221

?+-?+=???? ??+-+-

(9)?

?

? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1

(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)2

1

2121

21222)1212(21-++=

-++=--+

(11) )2(1

21

121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n

n n n n n n n n n n n n

(12) 1

11)1(1)1(1)1)(1(1112

3

--+????? ??+-

-=+-<

?=

n n n n n n n n n n

n n

1

111211111

1

+-

-<-++?

??? ??+--=n n n n n n n

(13) 3

212132122)12(332)13(2221

n

n n n

n

n

n

n

n <-?>-?>-?>?-=?=+

(14)

!

)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-

+=+++++k k k k k k (15)

)2(1)

1(1

≥--<+n n n n n

(15)

1

1

1)

11)((1122222

222<++

++=

++

+--=

-+-+j i j i j i j i j i j i j i

例2.(1)求证:)2()12(2167)

12(1513112

22≥-->-++++

n n n (2)求证:n n

4121413611614

12-

<++++

(3)求证:1122642)

12(531642531423121-+

n (4) 求证：)112(2131211)11(

2-+<+

+++

<-+n n

n

解析:(1)因为???

??+--=+->-12112121)12)(12(1)

12(12

n n n n n ,所以

)

1

21

31(211)12131(211)

12(1

1

2

--+>+-+>-∑=n n i n

i

(2))1

11(41)1211(41413611614

1222n n

n -+<+++=++++

(3)先运用分式放缩法证明出1

212642)12(531+<

????-????n n

n ,再结合

n

n n -+<+22

1进行裂项,最后就可

以得到答案 (4)首先n

n n n n

++=

-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n

n 13

12

11)11(

2+

++

+

<-+

再证

2

1

2121

2122

2)1212(21-++

=

-++=

--+

而由均值不等式知道这是显然成立

的， 所以)112(2131211-+<+

+++

n n

例3.求证:3

5

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

解

析

:

一方面: 因为

??

? ??+--=-=

-

<121121

2144

4

111

222

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

1

2

=+

n

k 另一方面: 1

111)1(1431321119

14

112

+=+-=+++?+?+>++++n n n n n n 当3≥n 时,

)

12)(1(61++>

+n n n

n n ,当1=n 时,

2

1

91411)12)(1(6n

n n n ++++=++ ,

当2=n 时,

2

1

91411)12)(1(6n

n n n ++++<++ ,

所以综上有

3

5

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n

a 满足101a <<.1()n n a f a +=.

设1(1)b a ∈，

，整数11ln a b k a b

-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n

a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使

b a m ≥,

则b a a k k ≥>+1,

若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤

0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k

m m m k k k k a a a a a a a 111ln ln ,

因为)ln (ln 11

b a k a a k

m m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111

例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .

解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(

∑=++++++++--=-++---+--=n

k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证

1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:

∑∑∑=+++++++++==++-+=-

++--+-+=-+<+<--n

k m m m m m m m m m n

k m n

k m m k k n n

n

n n k m k k

1

111

11

1

1

1

1

1

1

11

1

]

)1[(2

)

1()

1(1)

1()1(])

1([

故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--n

k m m n

k m n

k m m k k k m k k

1

111

1

11

]

)1[()1(])1([,

即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(, 即等价于11

)1

1(11,)

11(11++-<+-

+<++m m k

k m k

k

m 而正是成立的,所以原命题成立.

例6.已知n n n a 24-=,n

n

n a a a T +++=

212,求证:2

3

321<++++n T T T T .

解析:)

21(2)14(3

421)21(241)41(4)222(44442

1

3

2

1

n n

n n n

n

n

T -+-=-----=+++-++++=

所以

123)2(222322342323

23422234342)21(2)14(3422111111+?-??

=+?-?=-+=-+-=-+-=++++++n n n

n n n n n n n n n n n n

n T

??

? ??---=--??=

+12112123)12)(122(2231n n n n n

从而23121

1

21

7

13

13

11231

321

?---++-+-=+++++n n

n T T T T 例7.已知

1

1=x ,

??

?∈=-∈-==)

,2(1)

,12(Z k k n n Z k k n n x n ,求

证:

*))(11(21

1

14

1

224

5

44

3

2N n n x x x x x x n n ∈-+>

+

+?+

?+

证明: n

n

n

n n n x x n n 222141

1

41

)

12)(12(1

1

4

2

4

2

4

4

1

22=

?=

>

-=

+-=

+,

因为

1

2++

)

1(21

2

2214

1

22n n n n n

x x n n -

+=++>

>

+

所以

*))(11(21

1

14

1

224

5

44

3

2N n n x x x x x x n n ∈-+>+

+?+

?+

二、函数放缩 例

8.求证：)(6

6

5333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ .

解析:先构造函数有x

x

x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)3

1

3121(133

3

ln 4

4ln 3

3ln 2

2ln n n n n

+++--<++++

??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+++n n n n 311212

1

9181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =???

? ??+?++??? ??++??? ??++>--- 所以6

653651333

ln 4

4ln 3

3ln 2

2ln +-

=-

-<++++n n n n n

n

例

9.求证:(1))2()1(21

2ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n

n ααααααα

解析:构造函数x x x f ln )(=,得到2

2

ln ln n

n n n ≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222

+-<-≤n n n

n n ,求和后可以得到

答案

例10.

如图,取函数x

x f 1)(=,

首先:?-

i n ABCF

x S 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x i n n i n n

i

n --==

, 所以有

2ln 2

1

<,

2ln 3ln 3

1

-<,…,

)1ln(ln 1

--

,

n n n ln )1ln(1

1

-+<+,相加后可以得到:

)1ln(1

13121+<++++n n

另一方面?->n

i n ABDE x

S 1

,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x

i i n n i n n

i n --==>?---? 取1=i 有,

)1ln(ln 1

1

-->-n n n , 所以有n

n 12

11)1ln(+++<+ ,所以综上有n

n n 1211)1ln(11312

1+++<+<++

++

例11.求证:e n <+??++)!

11()!

311)(!

211( 和e n <+??+

+)3

1

1()8111)(9

11(2 .解析:构造函数后即可证明

例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n 解析:1

)1(3

2]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就

可以得到答案 命题)

例13.证明:)1*,(4

)1(1

ln 5

4ln 4

3ln 3

2ln >∈-<+++++n N n n n n n

解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 1

2111)('--=--=

x x

x x f ,令0)('>x f 有21<x , 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12

+=n x 有,1ln 22-≤n n

所以

2

1

1ln -≤

+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n

例14. 已知11211

1,(1).2

n n n

a a a n n +==+++证明2n a e <

解析:

n n n n n a n n a n n a )21)1(11(2

1))1(11(1+++<+++

=+, 然后两边取自然对数,可以得到n n n a n n a ln )2

1

)1(11ln(ln 1++++

<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：?+++

≤+n n n a n n a )2

111(2

1?++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 n n n n a 211ln 2+++

≤。于是n

n n n n a a 2

11ln ln 21++≤-+， .221122

11)21

(111ln ln )211()ln (ln 1

121

1

11

1<--=--+-≤-?++≤---=+-=∑∑n n n i n i i i n i n n a a i i a a

即.

2ln ln 2

1e a a a n

n ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩

方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩：

?-+-+≤+)

1(1

))

1(11(1n n a n n a n n ?+-+≤++)1)()

1(11(11

n

n a n n a

.)

1(1

))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+

≤+-++n n n n a a n n

11

1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21

2

11

2

<-<+-+?-<+-+?∑

∑-=+-=n

a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-

例

16.(2008年福州市质

检)已知函数

.

ln )(x x x f =若

).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明

解析:设函数()()(),

(0)g x f x f k x k =+->

()ln ,()ln ()ln(),

0.()ln 1ln()1ln ,2()0,10.2

f x x x

g x x x k x k x x x k g x x k x k x

x x k k

g x x k k x k x =∴=+--'∴<<=+---=--'>>?>?<<--令则有

∴函数k k x g ,2

[)(在）上单调递增，在]2

,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2

(k g ，即总有

).2

()(k

g x g ≥

而,2ln )()2ln (ln 2

ln )2()2()2(k k f k k k

k k k f k f k g -=-==-+=

,2ln )()(k k f x g -≥∴

即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+

令,,b x k a x =-=则.b a k +=

.2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴

).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴

例15.(2008年厦门市质检) 已知函数

)

(x f 是在

)

,0(+∞上处处可导的函数,若

)()('x f x f x >?在0>x 上恒成立. (I)求证：函数),0()

()(+∞=

在x

x f x g 上是增函数；

(II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时； (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证：

).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*2

2

222222N n n n n n n ∈++>

++++++

解析:(I)0)()(')('2

>-=

x

x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数 (II)因为),0()

()(+∞=在x

x f x g 上是增函数,所以

)()()()(212

11

1212111x x f x x x x f x x x x f x x f +?+

12

2212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+

)()()()(21211

1212111n n

n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++

2212122n n

n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++

n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++

相加后可以得到: )()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++

所以)ln()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++

令2

)1(1n x n

+=,有

? ??++++????? ??+++++

2222222

)1(13121ln )1(1413121n n

???? ?

?+++?+?????? ??++++

所以

).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*2

2

222222N n n n n n n ∈++>

++++++

(方法二)?

?

? ??+-+=++≥+++>

++2111

4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()

1()

1ln(22

2

n n n n n n n n n 所以

)

2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=??? ??+->++++++n n n n n 又1114ln +>>n ,所以).()2)(1(2)1ln()

1(14ln 413ln 312ln 21*22

222222N n n n n

n n ∈++>++++++

三、分式放缩

姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m

a m

b a

b 和)0,0(>>>++

a m

b a b

记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)121

1()5

11)(3

11)(11(+>-+

+++n n 和1

21)211()611)(411)(211(+<+---n n 也可以表示成为

12)12(5312642+>-???????n n n 和1

212642)

12(531+<

????-????n n

n

解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m

a m

b a

b 可得

>-??122563412n n =

+??n

n 212674523 )12(212654321+?-??n n n ?12)1

22563412(2

+>-??

n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例20.证明:.13)2

31

1()711)(4

11)(11(3+>-+

+++n n 解析: 运用两次次分式放缩:

1

338956.232313784512-????>--????n n n n (加1)

n

n n n 31391067.342313784512+????>--???? (加2)

相乘,可以得到:

)13(1323875421131381057.2423137

8

45122

+?--????=-+?

???>??? ??--????n n n n n n n 所以有.13)2

311()711)(411)(11(3+>-++++n n

四、分类放缩

例21.求证:2

1213

12

11n

n

>-+

+++ 解析: +++++++++>-+

+++ )2

1

212121()4141(211121312

113333n

2)211(221)212121(n n n n n n n >-+=-+++

例22. 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n

A 与曲线x

y 2=

（x ≥0）上的点列

{}n B 满足n

OB OA n n

1=

=，直线n

n B A 在

x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n .

(1)证明n a >1

+n a >4，*

∈N n ; (2)证明有*

∈N n

，使得对0

n n >?都有n

n n n b b

b b b b b b

11231

2

+-++++

<2008-n .

解析:(1)

依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ??> ???

，由1n OB n

=

得：

2*212,1,n n n b b b n N n +=

∴=∈,又直线n

n

A B 在x 轴上的截距为n a 满足 (

)()11000n n a b n n ???

-=--? ????

n a =

2222

1

210,2n n n n

n b n b b n b =->+=

(

2

211212n n n n n b a b n b n b +∴===+-

1n a =显然，对于11

01

n n >

>+，有*14,n n a a n N +>>∈

(2)证明：设*11,n n n

b c n N b +=-∈，则

(

)

()()

2

2222

11121121

2121n c n n n n n n n ?=

=- +??? ?++ >=+> ++ ?

()()()2

*1

212210,,2

n n n n n c n N n ++-+=>∴>

∈+ 设*12,n n S c c c n N =++

+∈，则当()*221k n k N =->∈时，

23111

11111

11

134

2123421

221

2n k

k k k S -??????>++

+

+=++++

+++ ? ?

?-++??????

212

31111

22222

22

k k k -->?

+?++?

=。 所以，取4009

022n =-，对0n n ?>都有：

2008214017111012312=->>=???? ?

?-++???? ??-+???? ??-+n n n n S S b b b b b b 故有

n

n n n b b b b b b b b 1123

12+-++++ <2008-n 成立。 例23.已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列}{n b 满足)()

(*3N n n

n f b n ∈=

，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正常数A ，使

得对于任意正整数n 都有A T n <？并证明你的结论。

解析:首先求出x x x f 2)(2

+=,∵n

n n n n n f b n 1

2)(3

23>+== ∴n

b b b b T n n 13

12

11321++++>++++= ,∵214

124

13

1=?>+,2

181********

1=?>+++,…

2121221221121

1

11=?>++++

+---k

k k k k ,故当k n 2>时,12

+>k T n , 因此，对任何常数A ，设m 是不小于A 的最小正整数， 则当222->m n 时,必有A m m T

n

>=+->

12

2

2.

故不存在常数A 使A

T

n

<对所有2≥n 的正整数恒成立.

例24.

设不等式组??

???+-≤>>n nx y y x 3,

0,

0表示的平面区域为n D , 设n

D 内整数坐标点的个数为n a .设n

n n n

a a a S 22

1

111+

++

=

++ , 当2≥n 时,求

证:36

1171111

2321

+≥++++

n a a a a n .

解析:容易得到n

a n

3=,所以,要证36

1171111

2321

+≥

++++

n a a a a n 只要证1211721312112+≥++++=n S n n ,因为

n n n n S 21221121()81716151()4131(211112++++++++++++++

=-- 12

117)1(127232

1

11

2

1

222+=

-+≥

+++++=-n n T T T n ,所以原命题得证 五、迭代放缩 例25. 已知1,1411

=++=+x x x x n n n ,求证:当2≥n 时,n n

i i x -=-≤-∑11

22|2|

解析:通过迭代的方法得到1

2

12-≤-n n x ,然后相加就可以得到结论 例26. 设n n n S 2

!

sin 2!2sin 2!1sin 21+++= ,求证:对任意的正整数k ,若k ≥n 恒有:|S n+k －S n |<1n

解析: |2)

sin(2)!2sin(2)!1sin(|

||21k

n n n n k n k n n n S S ++++++++++=- k

n n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤2

1

2121|2)sin(||2)!2sin(||2)!1sin(|2121

n k n k n

2

1)211(21)212121(212<-?=+++=

又n C C C n

n n

n n n >+++=+= 10)11(2 所以n

S S n n k n 12

1||<<-+ 六、借助数列递推关系 例27.求证:1222642)

12(53164253142312

1

-+

n n

n 解析: 设n

n a n 2642)12(531????-????= 则n n n n n a na a n a n n a +=+?++=

++2)1(2)

1(21

211,从而

n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到

12

21)22(13

21)1(22)1(21121-+?

+<-+?

+<-+=++++n n n n a a n a a a n n

所以1222642)

12(5316425

31423121-+

+????+??+n n

n

例

28. 求证:1122642)12(531642531423121-+

n

解析: 设n

n a n 2642)12(531????-????= 则

111)12(]1)1(2[)

1(21

2+++++=++?++=

n n n n n a a n a n a n n a ,从而 n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到

1122

3

1

21)12(3)12(1121-+<-

+?

+<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=?=+n a a a n n ,求证:

)11(211121-+≥+++n a a a n

解析:

n n n n n n n a a a a a n a a -=?

+?=+=?+++++21

112112

所以就有21221

111211211

21-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n 七、分类讨论

例30.已知数列}{n

a 的前n 项和n

S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n

n

n 证明：对任意的整数4>m ， 有

8

7

11154<+++m a a a 解析:容易得到[].)1(23

212

---+=

n n n a , 由于通项中含有n )1(-，很难直接放缩，考

虑分项讨论：

当3≥n 且n 为奇数时1

2222

223)121121(23112

13

21

2121--++?=-++=+-------+n n n n n n n n n a a )2

1

21(23222231

23212-----+?=+?

①当4>m 且m 为偶数时=+++m

a a a 11154 )11()11(11654m m a a a a a +++++-

.87

8321)2

11(412321)212121(23214243=+<-??+=++++<

--m m ②当4>m 且m 为奇数时<+++m a a a 11154 1541111+++++m m a a a a （添项放缩）由①知

.8

7

1111154<+++++m m a a a a 由①②得证。 八、线性规划型放缩 例31. 设函数2

21

()2

x f x x +=+.若对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤，求a b -的最大值。

解析:由2

2

221(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-=+知1(())((1)1)02

f x f +-≤ 即

1

()12

f x -≤≤ 由此再由()f x 的单调性可以知道()f x 的最小值为12

-，最大值为1

因此对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤的充要条件是，133233

a b a b ?

-≤-+≤???-≤+≤? 即a ，b 满足约束

条件3

31

321

32

a b a b a b a b +≥-??+≤???-+≥-??-+≤??， 由线性规划得，a b -的最大值为5． 九、均值不等式放缩

例32.设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2

)1(2

)1(2

+<<+n S n n n

解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=

2121)1(+=++<+

(1

1∑∑==+<<∴n

k n n k k S k ，

即.2

)1(22)1(2

)1(2+<++<

<+n n n n S

n n n

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式

2

b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2

)1(2)3)(1()1(21

+>

++=+<∑=n n n k S n

k n ，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n

a a n

a a a a a a n

n

n

n

n n

22

11111

1++≤

++≤

≤

++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数bx a x f 211)(?+=，若5

4

)1(=

f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21， 求证：.2

1

21)()2()1(1

-+

>+++

+n n n f f f 解析:

)2211()()1()0(2

2114111414)(?->++?≠?->+-=+=n f f x x f x

x x x

.

2

121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=?-++?-

++-n n n n n 例34.已知b a ,为正数，且11

1=+b

a

，试证：对每一个*

∈N n ，

1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 解析: 由111=+b

a

得b a ab +=，又42)11)((≥++=++a

b b a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而

n

n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(，

令n n n b a b a n f --+=)()(，则)(n f =1

111----++++n n n r r n r n n n ab

C b a C b a C ，

因为i n n i n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(1

11111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ ， 而12

1

1

1

1

2422+------=?≥≥+==+==+n n n

n

n n r

n r r r

n n n b a b a

ab

b

a b a

ab

b a

，

则)(2n f =

))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ ?-≥)22(n 1

2+n ，所以

)(n f ?-≥)22(n n

2

，即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .

例35.求证),1(22

1321N n n n C C C C n n n

n

n

n

∈>?>++++-

解析: 不等式左

=++++n n n n n C C C C 32112222112-++++=-n n n n n 122221-?????> =

2

1

2

-?n n ，原结论成立.

例36.已知x x e e x f -+=)(,求证:2

1

)

1()()3()2()1(n n e

n f f f f +>????+

解析:11)1()1()()(212112212

12211

21+>?+++=+?+=?++x x x x x x x x x x x x x x e e

e e e e e e e e e e x

f x f

经过倒序相乘,就可以得到2

1

)

1()()3()2()1(n

n e

n f f f f +>????+

例37.已知x

x x f 1)(+=,求证:n

n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>????

解析:2)12(2)

12(1

1212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++-++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k

k 其

中:

n

k 2,,3,2,1 =,因为

n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+?≥--=--+?

所以22)121

12)(1(+≥-++

-++n k

n k n k k

从而n n n f f f f 22)22()]2()3()2()1([+>???? ,所以n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? . 例38.若7>k ,求证:2

31121111>-++++++

=nk n n n

S n . 解析:)1

11()3121()2111()111(2n

nk nk n nk n nk n S n +-++-+++-+++-+

= 因为当0,0>>y x 时,xy

y x xy y x 2

11,2

≥

+≥+,所以4)11)((≥++y

x

y x ,所以y

x y x +≥+

411

, 当且仅当y x =时取到等号. 所以1

)1(414324214142-+-=-+++-+++-+++-+>nk n k n nk n nk n nk n nk n S n 所以231421)1(211)1(2>+-=+->-

+->

k k k n

k k S

n

所以231121111>-++++++=nk n n n S n

例39.已知))(()(21x x x x a x f --=,求证:16

)1()0(2

a f f ≤?.

解析:

16

)]1()][1([)1()0(2

22112

a x x x x a f f ≤

--=?.

例40.已知函数f (x )=x 2－(－1)k ·2ln x (k ∈N*).k 是奇数, n ∈N*时,

求证: [f’(x )]n －2n －1·f’(x n )≥2n (2n －2).

解析: 由已知得，)0(2

2)(>+='x x

x x f

(1)当n =1时，左式=22(2)(2)0x x x

x

+-+=右式=0.∴不等式成立.

(2)2n ≥, 左式=)22(2)22()(2)]([11n

n n n n n n x x x

x x f x f +

?-+='?-'--

).11(22

1

4

24221------++++=n n n

n n n n n n n

n x C x C x C x C

令1224

214

2

11n n n n n n n

n

n n S C x C x C C x x ------=++++

由倒序相加法得：

)1()1()1(222

1

4

4

22

21

-------++++++=n n n n n n n n n n

x x C x

x C x

x C S

)22(2)(21

21-=+++≥-n n n n n

C C C ， 所以).22(-≥n S

所以.)22(2)(2)]([1成立-≥'?-'-n

n n n n x f x f 综上，当k 是奇数，N n +∈时，命

题成立

例41.已知函数)1()(>-=a x a x f x （1）求函数)(x f 的最小值，并求最小值小于0时的a 取值范围；

（2）令)1()2()1()('1'2'1-+++=-n f C f C f C n S n n n n 求证：)2

()22()('n f n S n ?->

e

a a a a a x x x e

a a e

a a a a x f a

a a f x f a a x f a x x f a x a a

a a a x f a a x f 1

m in m in ''''11

ln ,1ln ln ,0ln ln ln 1,0)(ln ln ln 1)ln log ()(),ln log )ln log ,()(,

ln log ,0)(ln log 1,ln 1

,1ln ,0)(,1ln )()1(<<∴<

∴-<<+<+=-=+∞---∞-<<->∴>>∴>>-=的取值范围是则即

若所以上递增；上递减，在（在所以有同理：又即：由

所以不等式成立。

),

2

()22()1ln )(22()

22(ln )22()22(ln )]()()([2

1)

(ln )()1ln ()1ln ()1ln ()()2('2

2

11222111211122111221n

f a a a a a a a C a a C a a C C C C a a C a C a C a a C a a C a a C n S n n n n

n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=--=---≥--++++++=+++-+++=-++-+-=---------

★ 例42. (2008年江西高考试题)已知函数(

)f x ()0x ,∈+∞.对任意正数a ,

证明：()12f x <<．

解析:对任意给定的0a >,0x >,

由

()f x ,

若令 8

b ax =

，则 8abx =① ,而 (

)f x =② （一）、先证()1f x >

11x >+

11a

>

+

11b >+， 又由

28a b x +++≥=

，得 6a b x ++≥．

所

以

(

)111

111f x x a b

=>++

+++32()()

(1)(1)(1)

a b x ab ax bx x a b ++++++=

+++

9()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++≥

+++1()()1(1)(1)(1)

a b x ab ax bx abx

x a b +++++++==+++．

（二）、再证()2f x <；由①、②式中关于,,x a b 的对称性，不妨设x a b ≥≥．则02b <≤

（ⅰ）、当7a b +≥，则5a ≥，所以5x a ≥≥，因为

1<，

1<，此时(

)2f x =

<． （ⅱ）、当7a b +<③，由①得 ,8x ab =

=

因为

222

11[1]114(1)2(1)b b b b b b b <-+=-++++ 所以

12(1)b

b <-+④

12(1)a a <-

+⑤ ，于是 (

)12211a b f x a b ?<-+- ++?⑥ 今证明

11a b a b +>++, 因为

11a b a b +≥++，

只要证

(1)(1)8

ab ab a b ab >

+++，即 8(1)(1)ab a b +>++，也即 7a b +<，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得

()2

f x <．

综上所述，对任何正数a,x ，皆有()12f x <<．

例43.求证:21

3121111<++++++<

n n n 解析:一方面:14

2

214131211312111=+>??? ??++≥++++++n n n (

法

二)

??

??????? ??+++++??? ??+++??? ??+++?=++++++11131

312113111211312111n n n n n n n n n ???

? ??+++++++++++?=

)13)(1(2

4)2(324)1)(13(2421n n n n n n n n n ()1)12()12()12(1

)1()12(1)12(11222222222=++>???

? ??-+++--++-+?+=n n n n n n n n n

另一方面:21

221121312111=++<++<++++++n n n n n n n 十、二项放缩

n

n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,121

0+=+≥n C C n n n ,

2

222210++=

++≥n n C C C n

n

n

n

)2)(1(2≥->n n n n

例44. 已知112111,(1).2n n

n

a a a n n +==+++证明2

n a e < 解析:

?-+-+

≤+)

1(1

))1(11(1n n a n n a n n ?+-+

≤++)1)()1(11(11n n a n n a .)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n 111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21

2

112<-<+-+?-<+-+?∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-

45. 已知n m i ,,是正整数，且.1n m i <≤<（1）证明i n

i

i m

i

A m A n <；（2）证明.)1()1(m n n m +>+

简析 对第（2）问：用n /1代替n 得数列n

n

n

n b b 1)1(:}{+=是递减数列；借鉴此结论可有

如下简捷证法：数列})1{(1n

n +递减，且,1n m i <≤<故,

)1()

1(1

1n m

n m +>+即m n

n m )1()

1(+>+。

当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。

例46.已知a +b =1,a >0,b >0,求证：.12n n n b a -≥+

解析: 因为a +b =1,a >0,b >0,可认为

b a ,2

1,成等差数列，设

d b d a +=-=

2

1,21，从而

n n

n n

n

d d b a -≥??

?

??++??? ??-=+122121

47.设N n n ∈>,1，求证)

2)(1(8

)3

2(++<

n n n

.

解析: 观察n

)3

2(的结构，注意到n n )2

11()2

3(+=，展开得

86)2)(1(8)1(212

121211)211(33

221+++=

-++≥+?+?+?+=+n n n n n C C C n n n n ，即8)2)(1()211(++>+n n n ，得证.

例48.求证:n

n n 2

ln )211ln(2ln 3ln <

+

≤-. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)

例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，满足：

①对任意*

,,a b a b ∈≠N ，都有)()()()(a bf b af b bf a af +>+；

②对任意*

n ∈N 都有[()]3f f n n =.

（I ）试证明：)(x f 为*N 上的单调增函数； （II ）求)28()6()1(f f f ++； （III ）令*

(3),n n

a

f n =∈N ，试证明：.

12

11

11424

n n n a a a +++

<+≤ 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性:

因为)()()()(a bf b af b bf a af +>+,所以可以得到0)()()()(>---b f b a a f b a ,

也就是0))()()((>--b f a f b a ,不妨设b a >,所以,可以得到)()(b f a f >,也就是说)(x f 为

*N 上的单调增函数.

(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!

首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得

到什么结论,一发现就有思路了!

由(1)可知0))()()((>--b f a f b a ,令)1(,1f a b ==,则可以得到

0))1())1(()(1)((>--f f f x f ,又3))1((=f f ,所以由不等式可以得到3)1(1<

①

接下来要运用迭代的思想:

因为2)1(=f ,所以3)]1([)2(==f f f ,6)]2([)3(==f f f ,9)]3([)6(==f f f ②

18)]6([)9(==f f f ,27)]9([)18(==f f f ,54)]18([)27(==f f f ,81)]27([)54(==f f f 在此比较有技巧的方法就是:

2754275481-==-,所以可以判断55)28(=f

③

当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所

有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有

)28()6()1(f f f ++=662955=++

(3)在解决}{n

a 的通项公式时也会遇到困难.

n n n n n n n a a f f f f f f f 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([111=?===+++,所以数列*(3),n n a f n =∈N 的方程为n n a 32?=,

从而)3

11(4111121n n a a a -=+++

, 一方面4

1)3

11(4

1<-n

,另一方面1222)21(3

11

00+=?+?≥+=n C C n n n n

所以2412241)1211(4

1)3

11(4

1+=+?=+-

≥-n n n n n n

,所以,综上有12

11

11424

n n n a a a +++

<

+≤. 例49. 已知函数f (x )的定义域为[0,1]，且满足下列条件： ① 对于任意x ∈[0,1]，总有()3f x ≥，且()14f =；② 若1

2120,0,1,x x x x ≥≥+≤则有()()1212() 3.f x x f x f x +≥+-

（Ⅰ）求f (0)的值；（Ⅱ）求证：f (x )≤4； （Ⅲ）当1

11

(,

](1,2,3,)33n n x n -∈=???时，试证明：()33f x x <+. 解析: （Ⅰ）解：令120x x ==，由①对于任意x ∈[0,1]，总有()3f x ≥， ∴(0)3f ≥

又由②得(0)2(0)3,f f ≥-即(0)3;f ≤ ∴(0) 3.f =

（Ⅱ）解：任取12,[0,1],x x ∈且设12,x x < 则2

1

2

1121()[()]()()3,f x f x x

x f x f x x =+-≥+--

因为2

10

x

x ->，所以2

1

()3f x x -≥，即2

1()30,

f x

x --≥ ∴

12()()f x f x ≤.

∴当x ∈[0,1]时，()(1)4f x f ≤=.

（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：11

11(

)3(*)33n n f n N --≤+∈ （1） 当n=1时，0

11()(1)413333f f ===+=+，不等式成立； （2） 假设当n=k 时，1

1

11

()3(*)3

3

k k f k N --≤

+∈

由1

1111111(

)[()]()()33333333

k k k k k k k f f f f -=++≥++-

111

(

)()()6333

k k k f f f ≥++-

得1

1

111

3()()69.3

3

3

k

k k f f --≤+≤

+

即当n=k+1时，不等式成立

由（1）、（2）可知，不等式1111

(

)333

n n f --≤+对一切正整数都成立.

于是，当111(,

](1,2,3,)33n n x n -∈=???时，11

111

33333()333n n n x f --+>?+=+≥， 而x ∈[0,1]，()f x 单调递增 ∴1

11

()(

)3

3n n f f -< 所以，1

1

()(

)3 3.3n f x f x -<<+

例50. 已知：1

2

1,0n i a a

a a ++

+=>

)

2,1(n i = 求证：

2222

112

1223

1112

n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++>++++

解析:构造对偶式：令1

2121

322

22121a a a a a a a a a a a a A n n n n n ++

++++++=

-- 1

2

1123223212

2a a a a a a a a a a a a B n n n n ++

++++++=-

则1

2121221322322212

22

1

a a a a a a a a a a a a a a a a B A n n n n n n +-+

+-+++-++-=--- ＝B A a a a a a a a a n n n =∴=-+-++-+--,0)()()()(113221

又 )(2

1

22

j i j

i j

i a a a a a a

+≥

+- （)2,1,n j i =

1

2121221322322212221)(21)(21a a a a a a a a a a a a a a a a B A A n n n n n n +-+

+-+++-++-=+=∴-- []21)()()()(41113221=++++++++≥-a a a a a a a a n n n

十一、积分放缩

利用定积分的保号性比大小，保号性是指，定义在[],a b 上的可积函数()()0f x ≥≤，则

()()0b a

f x dx ≥≤?.

例51.求证：e e ππ<.

解析: ln ln e e e e π

π

ππ

πππ????-== ???????

?21ln e x dx x π-=?， (),x e π∈时，21ln 0x x

-<，21ln 0e

x dx x

π-

，∴ln ln e e

ππ<，e e ππ<. 利用定积分估计和式的上下界：定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和. 例52. 求证：(

)1211

23

n n

+

+++>+-，()1,n n N >∈.

解析: 考虑函数()f x x

=在区间[],1i i +()1,2,3,

,i n =上的定积分.

如图，显然

11i i dx i i x

+=?>?-①