高考数学压轴题：导数与不等式恒成立
高考数学压轴题：导数与不等式恒成立
不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向．由不等式恒成立确定参数范围问题，常见处理方法有：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立
（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 最值法：讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.在诸多方法中，构造函数并利用导数研究函数的单调性、最值等，是必须要考虑的解题门径.本专题举例说明《用好导数，“三招”破解不等式恒成立问题》. 类型一 构造函数求最值
【例1】已知函数()ln x
f x ae x x =-，其中a R ∈，e 是自然对数的底数.
（1）若()f x 是()0,∞+上的增函数，求实数a 的取值范围； （2）若2
2
a e >
，证明：()0f x >. 【分析】（1）由()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立，得1ln x
x
a e +≥
，求()()1ln 0x
x
g x x e
+=
>的最大值，即可得到本题答案； （2）由()e 0ln 0x a f x x x >?->，证明当22a e ≥时，()()e ln 0x
a F x x x x
=->的最小
值大于0，即可得到本题答案.
【解析】（1）()()1ln x f x ae x '=-+，()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立.
令()0f x '≥，得1ln x x a e +≥，令()()1ln 0x
x
g x x e
+=>.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()11ln x
g x e
x x -??'=-- ???
，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x '=--<， ()h x 是()0,∞+上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，
当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减；
故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11g e
=
，所以1a e ≥.
（2）()e 0ln 0x a f x x x >?->，令()()e ln 0x
a F x x x x
=->，
以下证明当2
2
a e ≥
时，()F x 的最小值大于0. 求导得()()()221e 111e x x
a x F x a x x x x x -'??=-=--?
?. ①当01x <≤时，()0F x '<，()()10F x F ae ≥=>； ②当1x >时，()()()211x a x x F x e x a x ??-'=
-??-??
，令
()()1x
x G x e a x =--. 则()()
2
101x G x e a x '=+
>-，又()2
22220ae G e a a
-=-=≥，
取()1,2m ∈且使()21m e a m >-，即2211
ae m ae <<-，则()()
2201m m
G m e e e a m =-
<-=-，
因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()F x 有唯一的极值点且为极
小值点()01,2x ∈，又()0000ln x ae F x x x =-，且()()0
00
001x x G x e a x =-=-，即()
00
01x x e a x =
-，
故()0001
ln 1F x x x =--，因为()()02
01101F x x x '=--<-，故()0F x 是()1,2上的减函数.
所以()()021ln 20F x F >=->，所以()0F x >. 综上，当2
2
a e ≥时，总有()0f x >.
1.首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个
新函数，再想办法解决其符号.
2.在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.
例题：已知定义在()0,∞+上的函数()()2ln 11ax f x x x x
=--++.
（1）讨论()f x 的单调区间
（2）当223ln ,ln 443e e a ??
∈ ???
时，存在0M >，使得对任意()0,x M ∈均有()0f x <，求
实数M 的最大值.
【解析】（1）()()()()
2
1211a x a x f x x ---????
'=+， ①1
2
a ≤
时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增； ②112a <<时，令()0f x '>得211a x a ->-，故增区间为21,1a a -??
+∞
?-??
， 令()0f x '>得2101a x a -<<
-，故减区间为210,1a a -??
?-??
；
③1a ≥时，()0f x '<，则()f x 在()0,∞+上单调递减.
（2）易知2231ln ,ln ,14432e e ????
? ? ???
??，
由（1）知：()f x 在210,
1a a -?? ?-?
?上单调递减，在21,1a a -??
+∞ ?-??
上单调递增，
则()21001a f f a -??
<= ?-??
， 又()2
44322ln 32ln ln 303343
e f a =-->-?-=，
故存在021,21a x a -??∈
?-??
，使得()00f x =，
且当()00,x x ∈时()0f x <恒成立， 故0M x ≤. 由()00f x =可得()000200
11
ln 1x x a x x x ++=-+， 设()()211
ln 1x x g x x x x
++=-+（0x >）， 则()()()3
2ln 12x x x g x x ++-'=
，
令()()()2ln 12h x x x x =++-（0x >）， 则()()2
ln 121
x h x x x +'=++
-+， ()()
2
01x
h x x ''=
>+，
则()h x '在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ''>=， 则()h x 在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h >=， 则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()0a g x =，
()21ln 4e g =，()3
32ln 43
e g =，故()()()012g g x g <<，
则012x <<，
又0M x ≤，故1M ≤，即M 的最大值为1. 类型二 参变分离求最值
【例2】已知函数2
()1x
f x be x =--的图象在点0x =处的切线为y x a =+.
（1）求+a b 的值；
（2）若()0f x kx ->对任意的0x >恒成立，求实数k 的取值范围.
【分析】（1）先求导函数，再结合函数()f x 的图象在点0x =处的切线为y x a =+，则
0e 01k b =-=，再求解即可；
（2）原不等式可转化为2e 1x x k x --<(0x >)恒成立，再设2e 1
()x x g x x
--=(0x >)，
然后利用导数求函数()g x 的最小值即可. 【解析】（1）由已知可得()e 2x
f x b x '=-.
函数2
()1x
f x be x =--的图象在点0x =处的切线的斜率0e 01k b =-=， 所以1b =.
所以切点坐标为(0,0)，
代入切线方程y x a =+，可得0a =. 所以1a b +=.
（2）由（1）知2
()1x f x e x =--.所以()0f x kx ->对任意的0x >恒成立，
即210x e x kx --->(0x >)恒成立，即2e 1
x x k x
--<(0x >)恒成立.
令2e 1
()x x g x x
--=(0x >)，所以min ()k g x <即可.
222e e 1e (1)(1)(1)()x x x x x x x x g x x x --+---+'==()
2(1)e 1
x
x x x
---=. 设()e 1x
h x x =--(0x >)， 则()e 10x
h x '=->，
所以()h x '
在(0,)+∞上单调递增. 所以当0x >时，()h x 单调递增， 所以0
()(0)e 010h x h >=--=.
所以在(0,1)上()0g x '<，在(1,)+∞上()0g x '>. 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 所以当1x =时，()g x 取得最小值(1)e 2g =-， 所以2k e <-.
所以实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.
1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围，转化为求函数的最值问题.
2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：()2
1log a x x -<，
111ax
x e x
-+>-等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.
例题：已知函数()ln f x mx nx x =+，()f x '是()f x 的导函数，且()12f '=，10f e ??
= ???
. （1）求()f x 的解析式，并判断()f x 零点的个数；
（2）若*k N ∈，且()()2f x k x >-对任意的2x >恒成立，求k 的最大值.（参考数据：
ln 20.69≈，ln3 1.10≈）
【解析】（1）因为()ln f x mx nx x =+， 所以()()ln 1f x m n x '=++. 因为()12f '=，10f e ??
= ???
，
所以()12f m n '=+=，10m n f e e e
??=-= ???. 解得1m n ==，
故()f x x Inx =+
()2f x Inx '=+，令()0f x '=，解得2x e -=
故当(
)2
0,x e -∈函数单调递减；当()
2
,x e
-∈+∞函数单调递增；
又()2
0f e
-<，()10f >，故函数在()
2
,e
-+∞存在一个零点；
当2x e -<时，2Inx <-，故220x Inx e -+<-<， 故函数在区间(
)2
0,e
-上不存在零点；
综上所述：函数只有1个零点.
（2）因为2x >，所以()()2f x k x >-
等价于()ln 22
f x x x x
k x x +<
=
--. 设()ln 2x x x
g x x +=
-，
则()()
2
2ln 4
2x x g x x --'=
-.
令()2ln 4h x x x =--， 则()22
1x h x x x
-'=-
=，故()h x 在()2,+∞上单调递增. 因为()842ln846ln 20h =-=-<，()954ln30h =->， 所以存在()08,9x ∈，使得()00h x =， 即0042ln x x =-，
则()g x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，
故()()
00000000004
ln 22
22
x x x x x x x g x g x x x -+?
+≥===--. 因为()()2f x k x >-对任意的2x >恒成立，
所以0
2
x k <
. 因为()08,9x ∈，且*k N ∈， 所以k 的最大值是4.
类型三 讨论参数定范围
【例3】已知函数()2
2
ln f x a x x ax =-+.
（1）若1a =-时，求()f x 的极值； （2）若()0f x <，求a 的取值范围.
【分析】（1）将1a =-代入函数()y f x =的解析式，利用导数可求出函数()y f x =的极值；
（2）由题意可得出()max 0f x <，分0a >、0a =、0a <三种情况讨论，利用导数分析函数()y f x =在定义域上的单调性，求出函数()y f x =的最大值，然后解不等式
()max 0f x <，综合可得出实数a 的取值范围.
【解析】（1）当1a =-时，()2
ln f x x x x =--，则()212121x x f x x x x
--+=-='-.
令()0f x '=，即2
21
0x x x
--+=，得2210x x +-=，解得12x =.
当102x <<
时，()0f x '>，当1
2
x >时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =有极大值113ln 224f ??
=-
?
??
，无极小值； （2）因为()0f x <恒成立，所以()max 0f x <，
()()()222222x a x a a x ax a f x x a x x x
+-+-++=
'=-+=. ①当0a >时，令()0f x '=，则x a =，
当0x a <<时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增；
当x a >时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减.
()()2222max ln ln 0f x f a a a a a a a ∴==-+=<，01a ∴<<；
②当0a =时，()2
0f x x =-<，成立；
③当0a <时，令()0f x '=，则2
a x =-， 当02
a
x <<-时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增； 当2
a
x >-
时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减. ()2
22
22max
3ln ln 0224224
a a a a a f x f a a a ??????∴=-=---=--< ? ? ???????，即3ln 24a ??-< ???，
得3
402
a
e <-<，解得3420e a -<<.
综上所述，实数a 的取值范围为3
42,1e ??- ???
.
本题（2）只要通过分类讨论研究清楚函数的单调性，即可求出)(x f 的最大值，让最大值小于0即可求出a 的范围
例题：已知函数2
1()12
x
f x e ax x =---
，a 为实数. （1）当1a =时，讨论()f x 的零点个数；
（2）若0x ≥，都有()0f x ≥，求实数a 的取值范围.
【解析】（1）()x
f x e a x '=--，
当1a =时，()1x
f x e x '=--，
令x
y e =，则e x
y '=，所以函数x
y e =在()0,1处的切线方程为1(0)y x -=-，即1y x =+，
所以1x e x ≥+，即()0f x '≥，
故()f x 在R 上单调递增，即()f x 有一个零点； （2）()1x
f x e ''=-，
当0x ≥时，()0f x ''≥，即()f x '在[)0,+∞上是增函数，
()()01f x f a ''≥=-，
当1a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞上是增函数， 故有()()0f x f ≥，即()0f x ≥；
当1a >时，0(0,)x ?∈+∞，使得()00f x '=，
当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 在()00,x 上是减函数； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()0,x +∞上是增函数， 故有()0(0)0f x f <=与()0f x ≥相矛盾， 综上，1a ≤. 练习
1．已知函数()()2
ln f x ax x x x a R =+-∈.
(1)若0a =，讨论函数的单调性；
(2)若函数()f x 满足()12f =，且在定义域内()2
2f x bx x ≥+恒成立，求实数b 的取值
范围.
【解析】(1)0a =，()ln f x x x x =-，()'ln f x x =-，()'0f x =，1x =，
()0,1x ∈，()'0f x >，()f x 在0,1上是增函数， ()1,x ∈+∞，()'0f x <，()f x 在1,
上是减函数.
(2) 由题意()12f =，1a =，∴()2
ln f x x x x x =+-， 则()2
2f x bx x ≥+，即1ln 1x
b x x -
-≥，令()1ln 1x g x x x
=--， ()2
ln 'x
g x x =
，故()g x 在(]0,1上递减，在1,上递增，
∴()()min 10g x g ==，即0b ≤.
2.已知函数()2
1ln 2f x a x x ??=-
+ ???
，()()()2g x f x ax a R =-∈ （1）当0a =时，求()f x 在区间1,e e ??????
上的最大值和最小值；
（2）若对()1,x ?∈+∞，()0g x <恒成立，求a 的取值范围．
【解析】（1）函数()21ln 2f x a x x ?
?=-+ ??
?的定义域为()0,∞+，当0a =时，
()21
ln 2
f x x x =-+，
求导()()()2'
1111x x x f x x x x x
-+--+=-+==
（x ＞0），令()'
f x ＝0，得x ＝1，（负值舍去） ∴x ＞0，x 、()'
f
x ，f （x ）的变化如下：
∴()f x 在区间1,1e ??
????
上是增函数，在[]1,e 上为减函数，f （x ）最大值为()112f =-．
又21112f e e ??=-- ???，()2
12e
f e =-，∵422
121()02e f e e e e f --??-=> ???
，∴f （x ）最小值为()2
12
e f e =-.
∴()()2
min 12
e f x f e ==-，()()max 112f x f ==-.
（2）函数()()2
122ln 2g x f x ax a x ax x ?
?=-=-
-+ ???
，则()g x 的定义域为()0+∞，，()()()()()2
121121211212x a x a x ax g x a x a x x x
??-----+??=--+==
'．
①若12a >
，令()0g x '=，得极值点11x =，2121
x a =- 当211x x >=，即1
12
a <<时，在()21,x 上有()0g x '<，在()2,x +∞上有()0g x '>，
此时()g x 在区间()2,x +∞上是增函数，并且在该区间上有()()()
2,g x g x ∈+∞，不合题意；
当211x x ≤=，即1a ≥时，在()1,+∞上有()0g x '>，此时()g x 在区间()1,+∞上递增，有
()()()1,g x g ∈+∞，也不合题意；
②若12
a ≤
，则有210a -≤，此时在区间()1,+∞上恒有()0g x '<，从而()g x 在区间()1,+∞上是减函数；
要使()0g x <在()1,+∞上恒成立，只须满足()11
1022
g a a =--≤?≥-，由此求得a 的范围是11,22??
-
???
?． 综合①②可知，当11,22a ??
∈-
????
时，对()()1,,0x g x ?∈+∞<恒成立． 3．已知函数1()ln ,(,0),
()(0)f x a x x a a g x x x x ?
?=-∈≠=-+> ??
?R .
（1）若函数()f x 与()g x 有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求a 的值；
（2）记()()()F x f x g x =-.
①若在区间(0,]e （e 为自然对数底数）上至少存在一点0x ，使得0()0F x <成立，求a 的取值范围；
【解析】（1）因为1()g x x x ??=-+ ??
?，所以221(1)(1)()1x x g x x x '
-+-=-=
. 令()0g x '=，解得121,
1x x ==-（舍去）.
所以1x =为函数()g x 的极大值点.
因为()ln f x a x x =-，所以()1a a x f x x x
'
-=
-=. 令()0f x '=，解得x a =.
所以x a =为函数()f x 的极大值点.
因为函数()f x 与()g x 有相同的极值点，所以1a =. （2）①1()()()ln F x f x g x a x x
=-=+
. 先求()0F x 在(0,]e 上恒成立，即有ln 10ax x +. 令()ln 1,(0,]G x ax x x e =+∈，则()ln G x a x a '=+，令()0'=G x ，得1x e
=. 若0a >，则当1
0x e
<<
时，()0,()g x g x '<单调递减； 当
1x e e
<<时，()0,()g x g x '>单调递减，所以min 1()()10a
g x g e e ==-，得0a e <.
若0a <时，同理得min ()()10g x g e ae ==+，得1
0a e
-<. 综上，a 的取值范围为{1
|a a e
<-
或}a e >； ②设切点0002011(,ln ),0,()ax x a x x F x x x
'-+
>=， 则切线方程为()000
200
11
ln ax y x x a x x x -=
-++，又切线过原点，
则()00020011
0ln ax x a x x x -=
-++，整理得0
2ln 0a x a x +-= 设2
()ln ,0g x a x a x x
=+
->，题意即为，函数()g x 在(0,)+∞上有两个零点. 由于22
22()a ax g x x x x '
-=-=.
（i ）当0a =时，2
()0,()g x g x x
=>无零点；
（ii ）当0a <时，()0,()g x g x '
<在(0,)+∞上递减，此时()g x 不可能存在两个零点，
故不满足条件；
（iii ）当0a >时，令2()0,
g x x
'==
， 所以极小值()ln
g a a a
=. 要使函数()g x 在(0,)+∞上有两个零点，则必须满足2()0g a
<，所以2a >. 因为22(e)0,e ,()e g g x a =>>在2,a ??+∞ ???连续且为增函数，所以()g x 在2,a ??+∞ ???
唯一零点. 因为22212
0,()2()()0a
a a a a a g e a e
e e a a a a a
e e ---
=-<=-+-=-+->，而()g x 在20,a ?? ???连续且为减函数，故()g x 在20,a ?? ???
有唯一零点. 所以当2a >时，()g x 在(0,)+∞有两个零点，满足条件. 故所求a 的取值集合为{}|2a a >.
4.已知函数()()4
34316x f x e x a =--+，1a <.
（1）若函数()y f x =的图象在1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；
（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的最小值.
【解析】（1）()()3312x f x e x a ??'=--??依题意()()3
311210f e a ??'=--=??故1a e =-； （2）解法一: ()()
()()2212x
x x f x e x a e e x a x a ??'=-++-+-??
()2
2131224x
x x e x a e x a e ??
??=-++-+?? ???????
，
显然2
213024
x x e x a e ??+-+> ???，令()x g x e x a =-+，则()10x g x e '=-≥，
所以()x
g x e x a =-+在[)0,+∞单调递增，且()()01g x g a ≥=+，
当10a +≥即11a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞单调递增，
故()0f x ≥等价于()4
02030f a =-≥，此式已成立，从而11a -≤<满足条件，