1991考研数学一真题及答案解析(1)

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)

(1) 设21,cos ,

x t y t ?=+?=? 则22d y dx =__________.

(2)

由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分

dz =__________.

(3) 已知两条直线的方程是1123:

101x y z L ---==-；221:211

x y z

L +-==,则过1L 且平

行于2L 的平面方程是__________.

(4) 已知当0x →时,123

(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.

(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ?? ?

?= ?- ???

,则A 的逆阵1A -=__________.

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2

2

11x x e y e

--+=

- ( )

(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线

(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20

()ln 22x

t f x f dt ??

=

+ ???

?

,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2x

e (B) 2ln 2x

e

(C) ln 2x

e + (D) 2ln 2x

e +

(3) 已知级数

1

1

(1)

2n n n a ∞

-=-=∑,211

5n n a ∞-==∑,则级数1

n n a ∞

=∑等于 ( )

(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9

(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象

限的部分,则

(cos sin )D

xy x y dxdy +??等于 ( )

(A) 1

2

cos sin D x ydxdy ?? (B) 1

2D xydxdy ??

(C) 1

4

(cos sin )D xy x y dxdy +?? (D) 0

(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =

(C) BAC E = (D) BCA E =

三、(本题满分15分,每小题5分.)

(1) 求0

)x x π

+

→. (2) 设n 是曲面222

236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数

u =

P 处沿方向n 的方向导数. (3) 2

2

()x y z dV Ω

++???,其中Ω是由曲线22,

0y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面

4z =所围成的立体.

四、(本题满分6分)

在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从

O 到A 的积分3(1)(2)L

y dx x y dy +++?的值最小.

五、(本题满分8分.)

将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数

21

1

n n ∞

=∑的和.

六、(本题满分7分.)

设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1

23

3

()(0)f x dx f =?

,证明在(0,1)内存在

一点c ,使()0f c '=.

七、(本题满分8分.)

已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及

(1,1,3,5)b β=+.

(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？

(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.

八、(本题满分6分)

设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.

九、(本题满分8分)

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.

十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)

(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2

σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则

{}0P X <=_______.

(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概

率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4

π

的概率为_______.

十一、(本题满分6分)

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

(2)2, 0,0

(,)0, x y e x y f x y -+?>>=??其他

,

求随机变量2Z X Y =+的分布函数.

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】

3

sin cos 4t t t

t

- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()

x t y t φ?=??

=?, 则 ()

()dy t dx t ?φ'='. 所以 sin 2dy

dy t

dt dx dx t dt

-==

, 再对x 求导,由复合函数求导法则得

22sin 1

()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t

-=?=? 23

2cos 2sin 1sin cos 424t t t t t t

t t t

-+-=

?=. (2)

【答案】dx -

【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得

222()0d xyz +

=,

再由全微分四则运算法则得

()()xy dz ydx xdy z ++=,

令1,0,1x y z ===-,

得dy =

,

即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=

【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；

因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)

l =-r

和向量2(2,1,1)l =r

,且两向量不共线,于是平面∏的方程

12310102

1

1

x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32

-

【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1n

x x x x n

+-::

, 当0x →时2

0ax →,所以有

122223

111(1)1,cos 1sin ,322

ax ax x x x +--=--:

: 所以 1223

002

1(1)123lim lim 1cos 132

x x ax

ax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123

(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -

=,故32

a =-. (5)【答案】120

025

001200

33110033-??

?- ? ? ?

?

?-

???

. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.

注意： 1

110000

A A

B B ---????

=

? ?????,1

110

00A B B A

---??

??= ? ?????

. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ??

=

???

,则求A 的伴随矩阵

*a b d b A c d c a *

-????== ? ?-????

.

如果0A ≠,这样

1

11

a b d b d b c d c a c a A ad bc ---??????

== ? ?

?---??

????

. 再利用分块矩阵求逆的法则：1

110000

A A

B B ---??

??

=

? ?????

,易见 1120

025

001200

33110033A --??

?- ? ?= ?

?

?-

??

?

.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)

【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,

2

2

2

2

11lim lim

lim

11

x x x x x x x e e y e

e --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,

2

2

2

2

11lim lim

lim

111

x x x x x x x e e y e

e --→∞

→∞

→∞

++====--,所以1y =为水平渐近线.

所以选(D).

【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0

lim ()x x f x →=∞,则

0x x =是函数的一条铅直渐近线；

水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞

=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.

(2)【答案】(B) 【解析】令2

t

u =

,则2,2t u dt du ==,所以 20

()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ??

=+=+ ???

?

?,

两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即

[()]

2()

d f x dx f x =.解之得2()x

f x Ce =,其中C 是常数.

又因为0

(0)2()ln 2ln 2f f u du =

+=?

,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得

ln 2C =,即2()ln 2x f x e =?.

(3)【答案】(C) 【解析】因为

1

12342121

(1)

n n n n n a a a a a a a ∞

--=-=-+-++-+∑L L

1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+L L 21

22121

1

1

()n n n n n n n a

a a a ∞

∞∞

--====

-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),

所以

122111

1

(1)523n n

n n n n n a

a a ∞

∞

∞

--====--=-=∑∑∑.

而

12342121

()()()n

n n n a

a a a a a a ∞

-==+++++++∑L L

21

22121

1

1

()n n n n n n n a

a a a ∞

∞

∞

--====+=+∑∑∑538=+=,

故应选(C).

(4)【答案】(A)

【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.

令 12cos sin D

D

I xydxdy I x ydxdy ?=

??=??????,

由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以

12

34

0,

0D D D D xydxdy xydxdy ++==??

??

.

而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有

34

12

1

cos sin 0,

cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==??

????,

所以 1

1

2(cos sin )2cos sin D

D xy x y dxdy I I x ydxdy +=+=????,

故选(A).

(5)【答案】(D)