高考数列-文科-典型例题-答案
高考数列文科总复习
1.【2012高考全国文6】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =
（A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）12
1
-n
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。
【解析】由12n n S a +=可知，当1n =时得211122
a S == 当2n ≥时，有12n n S a += ① 12n n S a -= ② ①－②可得122n n n a a a +=-即132n n a a +=
，故该数列是从第二项起以1
2
为首项，以32为公比的等比数列，故数列通项公式为21
13()22
n n a -??
=???(1)(2)n n =≥，
故当2n ≥时，1113(1())
3221()3212
n n n S ---=+=-
当1n =时，1113
1()2
S -==，故选答案B
7.【2102高考福建文11】数列{a n }的通项公式2
cos
π
n a n =，其前n 项和为S n ，则S 2012等于
A.1006
B.2012
C.503
D.0 【答案】A ．
考点：数列和三角函数的周期性。 难度：中。 分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。
解答： 02cos )14(2)14(cos
)14(14=?+=+?+=+π
πn n n a n ， )24(cos )24(2)24(cos
)24(24+-=?+=+?+=+n n n n a n ππ
， 02
3cos )34(2)34(cos
)34(34=?+=+?+=+π
πn n n a n ，
442cos )44(2
)44(cos
)44(44+=?+=+?+=+n n n n a n ππ
， 所以++14n a ++24n a ++34n a 244=+n a 。
即100624
2012
2012=?=
S 。 8.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是
（A ）a 1+a 3≥2a 2 （B ）2223212a a a ≥+ （C ）若a 1=a 3，则a 1=a 2（D ）若a 3＞a 1，
则a 4＞a 2
【答案】B
【解析】当10,0a q <<时，可知1320,0,0a a a <<>，所以A 选项错误；当1q =-时，C 选项错误；当0q <时，323142a a a q a q a a >?
【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念，其中还涉及了均值不等式的知识，如果对于等比数列的基本概念（公比的符号问题）理解不清，也容易错选，当然最好选择题用排除法来做。
递推数列通项求解方法
类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠）
思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=??
(12)
1(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q
p a p p p
--??+=+
?+ ?
--??。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1
q
p μ=
-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1
111n n q q a a p p p -??+
=+ ?--??
，即1111n n q q
a a p p p -??=++ ?
--??
。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）：()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??……
1223(122n -=++++ (211)
332)12232112n n n --+??+=+?+=- ?
--??
。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134
a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1
23n n a +=-。
类型二：1()n n a a f n +=+
思路1（递推法）：
123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-=
…1
11
()n i a f n -==+
∑。
思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、
23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1
11
()n n i a a f n -=-=∑，即
1
11
()n n i a a f n -==+∑。
例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。
解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1)
(1)
(2)(1)]2
n
i n n n n n n =++-+-+=
=
∑。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、
212a a -=，将各式叠加并整理得12
n n i a a n =-=∑，12
1
(1)
2
n n
n i i n n a a n n ==+=+==
∑∑。 类型三：1()n n a f n a +=?
思路1（递推法）：
123(1)(1)(2)(1)(2)(3)n n n n a f n a f n f n a f n f n f n a ---=-?=-?-?=-?-?-?=…
(1)(2)(3)f f f =???…1(2)(1)f n f n a ?-?-?。
思路2（叠乘法）：
1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23
(3)n n a
f n a --=-、…、
2
1(1)a f a =，将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)n a f f f a =???…(2)(1)f n f n ?-?-，即(1)(2)(3)n a f f f =???…1(2)(1)f n f n a ?-?-?。
例3 已知11a =，11
1n n n a a n --=
+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123112123
1111
n n n n n n n n n n a a a a n n n n n n ---------==?=??=+++-…
2
(1)
n n =
+。
方法2（叠乘法）：
111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、322
4
a a =、2113a a =，将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=???+- (21)
43
??，即123
11
n n n n a n n n ---=
???+-…21243(1)n n ??=
+。 类型四：11n n n a pa qa +-=+
思路（特征根法）：为了方便，我们先假定1a m =、2a n =。递推式对应的特征方程为
2
x px q =+，当特征方程有两个相等实根时， ()1
2n n p a cn d -??
=+? ?
??
(c 、d 为待定系数，
可利用1a m =、2a n =求得)；当特征方程有两个不等实根时1x 、2x 时，
1112n n n a ex fx --=+(e 、f 为待定系数，可利用1a m =、2a n =求得)；当特征方程的根为
虚根时数列{}n a 的通项与上同理，此处暂不作讨论。
例4 已知12a =、23a =,116n n n a a a +-=-,求n a 。
解：递推式对应的特征方程为26x x =-+即2
60x x +-=，解得12x =、23x =-。设11
12n n n a ex fx --=+，而12a =、23a =，即
2233e f e f +=??-=?，解得95
1
5e f ?=????=??
，即11912(3)55n n n
a --=?+?-。
类型五：1n n n a pa rq +=+ （0p q ≠≠）
思路（构造法）：
1
1n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--??+=+ ???，则()1
1n n q p
q rq
λμλ-=???-=??，从而解得p q r p q λμ?
=??
??=
?-?
。那么n n
a r q p q ??+??-??是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列。 例5 已知11a =，1
12n n n a a --=-+，求n a 。
解：设
1
122n n n n a a μλμ--??+=+ ??
?，则()1
21122
n n λμλ-=-???-=??，解得12
13λμ?
=-????=-??
，123n n a ??∴-????是以111236-=为首项，12为公比的等比数列，即1
1112362n n n a -??
-=? ?
??
，21
3
n n a +∴=。
类型六：1()n n a pa f n +=+ （0p ≠且1p ≠）
思路（转化法）：1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以n
p 得
11(1)n n n n n a a f n p p p ---=+，我们令n n n
a b p =，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。 例6 已知12a =，1
142n n n a a ++=+，求n a 。
解：142n n n a a -=+，式子两边同时除以4n
得111442n
n n n n a a --??=+ ???
，令4n n n a b =，则112n n n b b -??-= ???，依此类推有1
1212n n n b b ---??-= ?
??
、2
23
12n n n b b ---??
-= ???
、…、
2
2112b b ??-= ???，各式叠加得1212n
n
n i b b =??
-= ???∑，即
122111*********n
n
n
n
n
n n
n i i i b b ===????????
=+=+==- ? ? ? ???????
??∑∑∑
1441422n n
n
n n n n a b ??
??∴=?=?-=-?? ??????
?。
类型七：1r n n a pa += （0n a >）
思路（转化法）：对递推式两边取对数得1log log log m n m n m a r a p +=+，我们令
log n m n b a =，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。
例7 已知110a =，2
1n n a a +=，求n a 。
解：对递推式2
1n n a a +=左右两边分别取对数得1lg 2lg n n a a +=，令lg n n a b =，则
12n n b b +=，即数列{}n b 是以1lg101b ==为首项，2为公比的等比数列，即12n n b -=，因
而得1
21010n n b
n a -==。
思路（转化法）：对递推式两边取倒数得
11n n n pa d a c a ++=?，那么111n n d p a c a c
+=?+，令1
n n
b a =
，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。 例8 已知14a =，1221
n
n n a a a +?=
+，求n a 。
解：对递推式左右两边取倒数得
12112n n n a a a ++=即111112n n a a +=?+，令1n n
b a =则1112n n b b +=+。设()112n n b b μμ++=+，即2μ=-，∴数列{}2n b -是以17
244
-=-为
首项、12为公比的等比数列，则17
22
n n b +-=-，即21
272n n n b ++-=，12227n n n a ++∴=-。
思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为ax b x cx d
+=
+即2
()0cx d a x b +--=。当特征方程有两个相等实根12
x x δ==时，数列1n a δ????-??即1
2n a d a c ??
????-??-?
?为等差数列，我们
可设
111
22n n a d a d a a c c
λ+=+----
（λ为待定系数，可利用1a 、2a 求得）
；当特征方程有两个不等实根1x 、2x 时，数列12n n a x a x ??-?
?
-??
是以11
12a x a x --为首项的等比数列，我们可设1
111212n n n a x a x a x a x μ-??--=? ?--??
（μ为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）
；当特征方程的根为虚根时数列{}n a 通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。
例9 已知11
2
a =
， 11432n n n a a a --+=+（2n ≥），求n a 。
解：当2n ≥时，递推式对应的特征方程为432
x x x +=
+即2
230x x --=，解得11x =-、23x =。数列13n n a a ??+??
-??
是以11122
12a x a x -==---为首项的等比数列，设()1113n n n a a μ-+=-?-，由112
a =得22a =则3μ-=-，3μ∴=，即()1
1133n n n a a -+=-?-，从而13131n n n a --=+，11
,12
31,231
n n n n a n -?=??∴=?-?≥?+?。
寒假专题——常见递推数列通项公式的求法
重、难点： 1. 重点：
递推关系的几种形式。 2. 难点：
灵活应用求通项公式的方法解题。
【典型例题】
[例1]
b ka a n n +=+1型。
（1）1=k 时，}{1
n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?=
（2）1≠k 时，设)(1
m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1
比较系数：b m km =- ∴
1-=
k b m
∴
}1{-+
k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a
∴
11)1(1-?-+=-+
n n k k b a k b a ∴
1)1(11--?-+=-k b
k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。
（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。
例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1
1+=
-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。
解：
∵
11
1)1(11+-
=+=
-+n n n n a a n n
∴
n n a a n n 1111--=
-- 112121---=---n n a a n n
21
3132--
-=---n n a a n n ……
312123-=
-a a 21112-=-a a
对这（1-n ）个式子求和得：
n a a n 111-
=- ∴ n a n 1
2-
=
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1
∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2
)1(1-+-=k a k b B
∴
}{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列
∴ 1
1)(-?++=++n n k B A a B An a
∴
B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n
q n f =)(（≠q 0，1）
等式两边同时除以1
+n q 得q q a q k q a n n n n 1
11+?=++ 令
n n n q a C =
则q C q k C n n 1
1+
=+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型
[例3] n n a n f a ?=+)(1型。
（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。
（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。
例：已知：
311=
a ，1121
2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。
解：123537532521232121212233
2211+=
?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴
1211231+=
+?
=n n a a n
[例4]
11
--+??
=n n n a m a m k a 型。
考虑函数倒数关系有)11(11m a k a n n
+=- ∴ m k a k a n n +
?=-111 令n n a C 1
=
则}{n C 可归为b ka a n n +=+1型。
练习：
1. 已知}{n a 满足31=a ，121+=+n n a a 求通项公式。 解： 设
)(21m a m a n n +=++ m a a n n +=+21 ∴ 1=m ∴
}1{1++n a 是以4为首项，2为公比为等比数列
∴ 1
241-?=+n n a ∴
121-=+n n a 2. 已知}{n a 的首项11=a ，n a a n n 21+=+（*N n ∈）求通项公式。
解：
)1(21-=--n a a n n
)2(221-=---n a a n n )3(232-=---n a a n n …… 2223?=-a a
1
212?=-+a a
n n n a a n -=-+++=-21)]1(21[2Λ
∴
12
--=n n a n 3. 已知}{n a 中，n
n a n n
a 21+=
+且21=a 求数列通项公式。
解：
)1(231422413211122332211+=?--?--?-?+-=???-----n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ )1(21
+=n n a a n ∴ )1(4
+=n n a n 4. 数列}{n a 中，n n n
n n a a a +?=+++1
11
22，21=a ，求}{n a 的通项。
解：
n n n n n a a a 1
11
221++++= ∴ 1121
11+++=n n n a a
设
n n a b 1=
∴ 1121+++=n n n b b ∴ n
n n b b 21
1+=-
∴
n n n b b 21
1=
-- 12121
---=
-n n n b b
23221---=-n n n b b ……
32321=
-b b
21221=
-+b b
n n b b 212121321+++=-Λn
n 2121211])21(1[211
2-=--=- ∴
n
n n n b 212212121-=+-= ∴ 122-=n
n
n a 5. 已知：11=a ，2≥n 时，1221
1-+=
-n a a n n ，求}{n a 的通项公式。
解：
设]
)1([21
1B n A a B An a n n +-+=++- B A An a a n n 21
2121211---=
-
∴ ???????-=--=-12121221
B A A 解得：???=-=64B A ∴ 3641=+-a ∴ }64{+-n a n 是以3为首项，21
为公比的等比数列 ∴ 1)21(364-?=+-n n n a ∴ 6
423
1-+=-n a n n
18.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，
n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡.
（1）求a n ，b n ；
（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念，通项公式以及求和公式等基础知识，同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。 【解析】
（1） 由S n =22n n +，得
当n=1时，113a S ==；
当n ≥2时，1n n n a S S -=-=22
22(1)(1)41n n n n n ??+--+-=-??，n ∈N ﹡.
由a n =4log 2b n ＋3，得21n b n =-，n ∈N ﹡.
（2）由（1）知1(41)2n n n a b n -=-?，n ∈N ﹡
所以()2
1
372112 (412)
n n T n -=+?+?++-?，
()2323272112...412n n T n =?+?+?++-?，
()212412[34(22...2)]n n n n T T n --=-?-++++
(45)25n n =-+
(45)25n n T n =-+，n ∈N ﹡.
20．【2012高考四川文20】(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1
{lg }n
a 的前n 项和最大？ [解析]取n=1,得0)2(,22a 11111=-==a a a s λλ
若a 1=0,则s 1=0, 当n 0a ,0a 21==-=≥-n n n n s s 所以时， 若a 1λ
2
01=
≠a ，则, 当
n ,2
a 22n n s +=
≥λ
时，,2
a 211--+=
n n s λ
上述两个式子相减得：a n =2a n-1,所以数列{a n }是等比数列 综上，若a 1 = 0, 0n =a 则 若a 1λ
n
a 20n =
≠，则 …………………………………………7分
（2）当a 1>0,且2lg 2,1
lg
100n b a b n n
n -===所以，时，令λ 所以，{b n }单调递减的等差数列（公差为-lg2）
则 b 1>b 2>b 3>…>b 6=01lg 64100
lg 2100lg 6
=>=
当n≥7时，b n ≤b 7=01lg 128100
lg 2
100lg 7=<=
故数列{lg
n
a 1
}的前6项的和最大. …………………………12分 [点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 24.【2012高考湖北文20】（本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8.
（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，
由题意得1111
333,()(2)8.a d a a d a d +=-??++=? 解得12,
3,a d =??=-?或14,3.a d =-??=?
所以由等差数列通项公式可得
23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.
故35n a n =-+，或37n a n =-. （Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；
当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,
|||37|37, 3.
n n n a n n n -+=?=-=?-≥?
记数列{||}n a 的前n 项和为n S .
当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时，
234||||||n n S S a a a =++++L 5(337)(347)(37)n =+?-+?-++-L
2(2)[2(37)]311
510222
n n n n -+-=+
=-+. 当2n =时，满足此式.
综上，24,1,31110, 1.22
n n S n n n =??
=?-+>??
【解析】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：
1
'n
n a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数
列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 28.【2012高考安徽文21】（本小题满分13分） 设函数）（x f =
2
x
+x sin 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为}{n x . （Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式；
（Ⅱ）设}{n x 的前n 项和为n S ，求n S sin 。 【答案】
【解析】（I ）12()sin ()cos 02()223x f x x f x x x k k Z ππ'=
+?=+=?=±∈， 22()022()33f x k x k k Z ππ
ππ'>?-<<+∈，
24()022()33f x k x k k Z ππ
ππ'
得：当22()3x k k Z π
π=-∈时，()f x 取极小值，
得：223
n x n π
π=-。
（II ）由（I ）得：223
n x n π
π=-。
123222(123)(1)33
n n n n S x x x x n n n ππ
ππ=++++=++++-=+-
L L 。 当*
3()n k k N =∈时，sin sin(2)0n S k π=-=，
当*
31()n k k N =-∈时，2sin sin
32n S π==，
当*
32()n k k N =-∈时，4sin sin
3n S π==， 得： 当*
3()n k k N =∈时，sin 0n S =，
当*
31()n k k N =-∈时，sin n S =
当*
32()n k k N =-∈时，sin n S = 30．【2012高考广东文19】（本小题满分14分）
设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*
n ∈N .
（1）求1a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】
【解析】（1）当1n =时，1121T S =-。
因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =。
（2）当2n ≥时，22
1112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+，
所以1221n n S S n -=+- ① 所以1221n n S S n +=++ ② ②-①得 122n n a a +=+， 所以122(2)n n a a ++=+，即
12
22n n a a ++=+(2)n ≥，
求得123a +=，226a +=，则
212
22
a a +=+。 所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以1
232n n a -+=?，
所以1322n n a -=?-，*
n ∈N 。
32．【2012高考江西文17】（本小题满分12分）
已知数列|a n |的前n 项和n
n S kc k =-（其中c ，k 为常数），且a 2=4，a 6=8a 3
（1）求a n ；
（2）求数列{na n }的前n 项和T n 。 【答案】
【解析】(1)当1n >时，1
1()n n n n n a S S k c c --=-=- 则1
1()n n n n n a S S k c c --=-=-
656()a k c c =-，323()a k c c =-
65
363238a c c c a c c
-===-，∴c=2.∵a 2=4，即21()4k c c -=，解得k=2，∴2n n a =（n ）1） 当n=1时，112a S ==
综上所述*
2()n n a n N =∈ (2) 2n
n na n =，则
232
3
4
1
222322(1)
2122232(1)22(2)
n n n
n n T n T n n +=+?+?++=?+?+?++-+L L （1）-（2）得
23122222n n n T n +-=++++-L
12(1)2n n T n +=+-
(完整版)数列经典试题(含答案)
强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．
数列求和方法和经典例题
数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?
例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+
例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠
[高考数学]高考数学函数典型例题
?0
③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .
高中数学数列基础知识与典型例题
数学基础知识例题
数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案 例1. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解：∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 322111=== a S b , ∴ 212 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 2 12)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3 n n n a (1)(2)n n =≥,12)12(-+=n n n S 例3 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解：)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 ， 当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ∴()() 2 1111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时，()2 14321n n n S n +=++++= 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解：14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解：12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一：设首项为1a ，公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二：??? ??==+27 32354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解：∵109181a a a a =，∴205 100 110918===a a a a 例16. 解题思路分析： 法一：利用基本元素分析法 设{a n }首项为a 1，公差为d ，则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得：12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-，下略 注：法二利用了等差数列前n 项和的性质 例17.解：设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①： a a q 24+=代入②得：2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析： ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列
数列求和方法分类及经典例题
数列求和方法总结 一、公式法 ()()111122 n n a a n n n .na d +-==+等差型 S ()111111n n na q a q q q =??=-?≠?-? ，2.等比型 S ， →3.分式型/阶乘型 裂项相消法 () 1111111n n n n n a a a d a a ++??=- ???? ，其中为等差； ( 12n a d = ，其中为等差； ()()() ()113=+1+1+1n n n!n !n!.n !n!n !-?=- ， ()()()( )1111153759 11121121231233n n . .,n N n *???++++∈+++++++KK KK K KK 例1：求下列各数列的前项和S ，，， 二、等差等比混合型 (){}=n n n a b kn b q ??+?→ 1.等差等比 错位相减法 n n S 例2：求下列各数列的前项和 ()()112n n .a n =+? ()()12312n n .a n ??=-? ??? ()()()3312n n .a n =-+?-
{}111122n n k n b a q a q ±+++→ 2.等差等比 分组求和 n n S 例3：求下列各数列的前项和 ()1111123248 .,,,KK ()2211121333333 n n .,,,,+++KK → 3.奇偶项不同 分组求和 n n S 例4：求下列各数列的前项和 ()()()1115913143n n .n -=-+-++--K 相邻异号 例：S ()11211n n n .a ,a a ,S -=+= 和为常数 例：求()122314=+2n n n .a ,a ,a a ,S -== 差为常数 例：求()12+11142=63n n n n n .a a ,a a ,a S ??== ??? 比为常数 例：，求及 三、倒叙相加/相乘型 n n S 例5：求下列各数列的前项和 ()11110142n x n .f (x ),S f ()f ()f ()f ()n n -= =++++ 已知求；()211121220121201220112 x .f (x ),f ()f ()f ()f ()f ()f ()x =+++++++KK KK 已知求；()1312.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，求插入个数之积； ()1412.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等差数列，求插入个数之和； 22112n n n n n n n +++??== ??? T ,S
指数函数经典例题(标准答案)
指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。 数列知识点及典型例题 一、 知识点 一、 选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分 1、数列 的一个通项公式是（ D ） A. B ． C ． D ． 2、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数，则b 2(a 2-a 1)=（ C ）A.8 B.-8 C.±8 D. 3、已知数列{}n a 是等比数列，若,a a a a 41813229=+则前30项的和=30S （B ） A 、154， B 、15 2， C 、15 21?? ? ?? D 、153， 12) 1(3++-=n n n a n n 1 2) 3()1(++-=n n n a n n 121 )1() 1(2--+-=n n a n n 1 2) 2()1(++-=n n n a n n ?--,9 24 ,715,58,18 9 4、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( B ) A ．15. B ．17. C ．19. D ．21 5、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则（ D ） A 、18 B 、36 C 、54 D 、72 6、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( C ) A ． －1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－20 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。 7、已知数列的通项公式74+=n a n ，则其中三位数的个数有255个 8、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2010S S =，则30S 的值是0。 三、解答题：本大题共7小题，共84分。 11、已知等差数列{}n a 中，公差为,1=d 且9999=s ，求+++852a a a 15a +Λ的值。 解法一：9999=S ，{}n a 是等差数列 所以 992 98 99991=?+ d a ，又1=d ，481-=a 所求量为首项为-47，公差为3的前5项和S 5=…… 12、⑴在等比数列{}n a 中，若,a a ,a a 6243224=+=-求首项1a 和公比q 。 ⑵设等比数列{}n a ，n s 是它的前n 项和，若,s s s 9632=+求公比q 。 解：⑴由已知有：24131=-q a q a 及6211=+q a q a 得5 1 1= a ， 5=q ⑵当1=q 时，{}n a 是常数列，则根据,s s s 9632=+得1111863a a a =+，01=a ， 因为{}n a 是等比数列，01≠a 故1≠q 。 当1≠q 时，()()() q q a q q a q q a --= --+--1121111916131，解得321-=q 。 13、三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数 数列求和汇总答案 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 例1、已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32（利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。 解：2222222212345699100-+-+-+--+ 由等差数列的求和公式得 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. 例2求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----?+=-- ∴2 1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1}的通项之积 设n n n S 2 226242232+???+++=…………………………………① 对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 对数函数的性质如下： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10>< 第二部分：对数函数图像及性质应用 例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值 . 解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B 解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差， ，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由得，，即，将， 代入，解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( ) A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则 C.若数列是递增数列，则对任意，均有 D.若对任意，均有，则数列是递增数列 考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C 解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是 递增数列，但．对于选项D的命题，由，得， 因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题 4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算． 答案：81. 解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故. 5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若 ，则 . 考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力. 答案：. 解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴ ，∴，∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则 ____． 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10. 解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵ ，∴. ∴，故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为，且，求： ⑴的通项公式及前项和； ⑵． 考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力. 答案：⑴；.⑵ 解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得. ⑴； ⑵由，得. 三、数列求和 数列求和的方法. （1）公式法：①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等 比 数 列 的 前 n 项 和 求 和 公 式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n （2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （3）n n n C a b =?，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错 位相减法”. （4）1 n n n C a b = ?，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下： ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式： （1） 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一 数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ，则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中，已知对任意的正整数n ，1321-=+???++n n a a a ，则22221n a a a +???++等 于_____________。 3. 数列中，如果数列是等差数列，则________________。 4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且 3 1 111+=+n n a a ，则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ，则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ，则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a = 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 15 数列求通项问题 数列求通项方法一：累加法，解决形如型数列通项问题)(1n f a a n n =-+. 例．设数列}{a n 的前n 项和为S n ，}{a n }满足a 1＝1，a n +1﹣a n ＝n d ，n ∈N *．若n d ＝3n ，求数列}{a n 的通项公式； 解：（1）若a n +1﹣a n ＝d n ＝3n ，则a 2﹣a 1＝3， a 3﹣a 2＝32，a 4﹣a 3＝33，……a n ﹣a n ﹣1＝3n ﹣1， 累加得：a n ﹣a 1＝＝，又由a 1＝1，∴a n ＝. 数列求和方法二：构造法，解决形如型或接近于等差或d pa n n +=+1a .等比数列型 例．已知数列{a n }满足a 1＝1且a n +1＝2a n +1，求a n ； 解：∵a n +1＝2a n +1，∴a n +1+1＝2a n +2＝2（a n +1），又a 1+1＝2≠0，所以， ∴数列{a n +1}是等比数列，公比q ＝2，首项为2．则， ∴； 例 数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1．求数列{a n }的通项公式． 解：根据题意，a n +1＝2a n +n ﹣1，则a n +1+n +1＝2a n +n ﹣1+n +1＝2a n +2n ＝2（a n +n ） 所以，所以数列{a n +n }为等比数列． 数列{a n +n }为以2为公比的等比数列，又a 1＝1，所以a 1+1＝2． 所以，所以． 例．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝﹣1，a n +1＝S n ?S n +1,求{a n }的通项公式． 解：因为a n +1＝S n +1﹣S n ，所以S n +1﹣S n ＝S n ?S n +1． 两边同除以S n ?S n +1得﹣＝﹣1．因为a 1＝﹣1，所以＝﹣1． 因此数列{ }是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列． 得＝﹣1+（n ﹣1）（﹣1）＝﹣n ，S n ＝﹣． 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ） ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ． （1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明： 3()2 f x ≥． 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 题型三：利用导数研究方程的根 例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实 数a 的取值范围.高中数列经典题型 大全
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