2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)试题及参考答案(DOC)

2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)试题及参考答案

一．选择题

1．已知集合{}2|0log 2A x x =<<，{}

|32,x B y y x R ==+∈，则A B 等于（）

A ．{}|24x x <<

B ．{}|14x x <<

C ．{}|12x x <<

D ．{}|1x x >

2．执行如图所示的程序框图，则输出结果为（） A ．15 B ．16 C ．25 D ．36

3．21x x π

?- ??

?展开式的二项式系数和为64，则其常数项为（）

A ．-20

B ．-15

C ．15

D ．20

4．某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中

抽取40人参加某种测试，为此将题目随机编号1,2,,800，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[]

1,200的人做试卷A ，编号落入区间

[]201,560的人做试卷B ,其余的人做试卷C ，则做试卷C 的人数为（）

A ．10

B ．12

C ．18

D ．28

5．是已知双曲线C 的中心在原点，焦点再x 轴上，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角等于60°，则双曲线C 的离心率等于（） A ．

B ．

2 C ． 3

D ．2

6．函数()cos sin y x =的图像大致是（）

7．已知集合()()()(){}

22210,,|30,,,|22,01x y A x y x y B x y x y R R x ?+-≤?

????

=--≤-+-≤>??????≥???

．且

A B φ≠, R 的最小值为（）

A ．

B ．5

C ．3

D ．5

8．在ABC ?中，3AB =,4AC =,5BC =，若I 为ABC ?的内心，则·CI CB 的值为（）

A ．6

B ． 10

C ． 12

D ．15

9．()n A n N ∈系列的纸张规格如图，其特点是： ①012,,,

n A A A A 所有规格的纸张的长宽比都相同；

②0A 对裁后可以得到两张1A 。1A 对裁后可以得到两张21,n A A -对裁后可以得到两张n A 若每

平方厘米重量为B 克的012,,,

n A A A A 纸各一张，其中4A 纸的较短边的长为a 厘米，记这

()n+1张纸的重量之和为1n S +，则下列判断错误的是（）

A ．存在n N ∈，使得21322n S a b +=

B ．存在n N ∈，使得21162n S a b +=

C ．对于任意n N ∈，都有21322n S a b +=

D ．对于任意n N ∈，都有21162n S a b +=

10．定义在()0,+∞上的可导函数()f x 满足()()'xf x f x x -=，且()11f =。现给出关于函数()f x 的下列结论：①函数()f x 在1,e ??+∞ ???

上单调递增；②函数()f x 的最小值为2

1e -；③函数()f x 有且只有一个零点；④对于任意0x >，都有()2f x x ≤。 A ．6 B ． 10

C ． 12

D ．15

二．解答题

11．已知z C ∈且()1+z i i =，则z 等于_________。

12．设等差数列n a 的前n 项和为n S ，且2412a a +=，则5=S _______。 13．在ABC ?中，6

ABC π∠= ,3AB = ,3BC =，若在线段BC 上任取一点D ,则BAD ∠为

锐角的概率是______。

14．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则三棱锥111B A B C -公共部分的体积等于_______。 15．定义在R 上函数()f x 满足：()()f x f x -=，()()22f x f x +=-，若取芯()y f x =在

1x =处的切线方程30x y -+=，该曲线在5x =的切线方程为________。

三、解答题：

16．已知函数()1

sin cos cos 22

f x x x x =+

，（Ⅰ）若tan 2θ=，求()f θ的值；

（Ⅱ）若函数()y g θ=的图像是由函数()y f x =的图像上所有的电向右平移4

个单位长度而得到，且()g x 在()0,m 内是单调函数，求实数m 的最大值。

17．如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AD BC ，BAD ∠=90°，PD ⊥平面

ABCD ,3AD AB PD ===,1BC =,过AD 作一平面分别相交PB ,PC 于电,E F 。

（Ⅰ）求证AD EF ；（Ⅱ）设1

BE BP =，求AE 于平面PBC 所成的角的大小。

18．“抢红包“的网络游戏给2015年的春节增添了一份趣味。”掐女红包“有多种玩法，小明参

1,9，加一种接龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A，并给出金额所在区间[]

让A猜（所猜金额为整数元；下同），如果A猜中,A将获得红包里的金额；如果A未猜中，A

6,9，让B猜，如果B猜中，A和B可将当前的红包转发给朋友B，同时给出金额所在区间[]

以评分红包里的金额；如果B未猜中，B要将当前的红包转发个朋友C，同时给出金额所在区8,9，让C猜，如果C猜中，A、B和C可以评分红包里的金额；如果C未猜中，红包里间[]

的资金将退回小明的账户。

（Ⅰ）求A恰好得到3元的概率；

（Ⅱ）设A所获得的金额为X元，求X的分布列及数学期望；

（Ⅲ）从统计学的角度而言，A所获得的金额是否超过B和C两人所获得的金额之和?并说明理由。

19．已知椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F 及椭圆的短轴端点为顶点

的三角形是等边三角形，椭圆的右定点到右焦点的距离为1

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）如图，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交于y 轴于点P ，过点M 作垂直于

l 的直线交y 轴于点Q ,求证：12,,,,F Q P M P 五点共圆。

20．已知函数()()2*2

n nx ax

f x n N x -=∈+的图象在点()()0,0n f 处的切线方程为y x =-。（Ⅰ）求a 的值及1()f x 的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数k ，使得射线()3y kx x =≥-与曲线()1y f x =有三个公共点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由；（Ⅲ）设12,,n x x x ，为正实数，且12,,

1n x x x =，证明：()()()120n n n n f x f x f x +++≥。

21．选做题

（1）选修4-2：矩阵与变换

已知曲线C ：22

3x xy y -+=

，矩阵222

2M ?

= - ??

，且曲线C 在矩阵M 对应的变换的作用下得到曲线'

C 。（I ）求曲线'

C 的方程；

（II ）求曲线C 的离心率以及焦点坐标。

（2）选修4-4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系xoy 中，点M 的坐标为（-1,2），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=。（I ）判断点M 与直线l 的位置关系；

（II ）设直线l l 与抛物线2

y x =相交于A ，B 两点，求点M 到A,B 两点的距离之积。

（3）选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+。

（I ）若()()2

6f x f x m m +-≥+对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围；

（II ）当14x -≤≤