1989考研数一真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 已知(3)2f '=,则 0

(3)(3)

lim

2h f h f h

→--=_______.

(2) 设()f x 是连续函数,且1

()2

()f x x f t dt =+?

,则()f x =_______.

(3) 设平面曲线L 为下半圆周y =则曲线积分

22()L

x y ds +=?

_______.

(4) 向量场22(,,)ln(1)z u x y z xy i ye j x z k =+++在点(1,1,0)P 处的散度divu =_______.

(5) 设矩阵300140003A ?? ?= ? ???, 100010001E ?? ?

= ? ???

,则逆矩阵1(2)A E --=_______.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 当0x >时,曲线1

sin

y x x

= ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线

(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线

(2) 已知曲面2

2

4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的

坐标是 ( ) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)

(3) 设线性无关的函数1y 、2y 、3y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的

解,1C 、2C 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( ) (A) 11223C y C y y ++ (B) 1122123()C y C y C C y +-+ (C) 1122123(1)C y C y C C y +--- (D) 1122123(1)C y C y C C y ++-- (4) 设函数2

(),01,f x x x =≤<而1

()sin ,,n n S x b n x x π∞

==

-∞<<+∞∑其中

102()sin ,1,2,3,n b f x n xdx n π==?…,则1

()2

S -等于 ( )

(A) 12-

(B) 14- (C) 14 (D) 12

(5) 设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式||0A =,则A 中 ( )

(A) 必有一列元素全为0

(B) 必有两列元素对应成比例

(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合

三、(本题满分15分,每小题5分.)

(1) 设(2)(,)z f x y g x xy =-+,其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续的二阶偏导数,

求2z x y

???. (2) 设曲线积分

2()C

xy dx y x dy ?+?

与路径无关,其中()x ?具有连续的导数,且(0)0?=,

计算

(1,1)

2(0,0)

()xy dx y x dy ?+?

的值.

(3) 计算三重积分

()x z dV Ω

+???

,其中Ω

是由曲面z =

与z =成的区域.

四、(本题满分6分.)

将函数1()arctan 1x

f x x

+=-展为x 的幂级数.

五、(本题满分7分.)

设0

()sin ()()x

f x x x t f t dt =-

-?

,其中f 为连续函数,求()f x .

六、(本题满分7分.)

证明方程0

ln x x e π

=

-?在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.

七、(本题满分6分.)

问λ为何值时,线性方程组

1312312

34226423

x x x x x x x x λλλ+ =??

++=+??++=+? 有解,并求出解的一般形式.

八、(本题满分8分.)

假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明： (1)

1

λ

为1

A -的特征值；

(2)

A

λ

为A 的伴随矩阵A *

的特征值.

九、(本题满分9分.)

设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大？

十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)

(1) 已知随机事件A 的概率()P A =0.5,随机事件B 的概率()P B =0.6及条件概率

()P B A |=0.8,则和事件A B 的概率()P A B =_______.

(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,

则它是甲射中的概率为_______. (3) 若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是______.

十一、(本题满分6分.)

设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差),而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】1- 【解析】原式=01(3)(3)1lim (3)122

h f h f f h -→--'-=-=--. (2)【答案】1x -

【解析】由定积分的性质可知,

1

()f t dt ?

和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故

1

()f t dt ?

为一常数,为简化计算和防止混淆,令10

()f t dt a =?,则有恒等式()2f x x a =+,

两边0到1积分得

1

1

()(2)f x dx x a dx =+?

?,

即 []1

1

1

1

1200000

1(2)222a x a dx xdx a dx x a x ??

=+=+=+???????122a =+,

解之得 1

2

a =-

,因此()21f x x a x =+=-. (3)【答案】π

【解析】方法一：L 的方程又可写成221(0)x y y +=≤,被积分函数在L 上取值,于是

原积分=

1L

ds π=?(半径为1的的半圆周长).

方法二：写出L 的参数方程,

cos sin x t

y t

=??

=?,(0)t π-≤≤ 则

00

2222()(cos sin 1L

x y ds t t dt π

π

π--+=+=?=?

??.

(4)【答案】2

【解析】直接用散度公式

22[

()()(ln(1))]z P

P divu

xy ye x z x y z

???

=+++??? 220(1,1,0)

2

2

220

()10112110

z z

y e x e z

=++?=++?

=+=++.

(5)【答案】10

01

1

022001?? ? ?-

? ??

?

【解析】由于

3002001002140020120003002001A E ??????

? ? ?

-=-= ? ? ? ? ? ???????

,

为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.

方法一：如果对(2)A E E -作初等行变换,则由1(2)((2))A E E E A E --→-可以直接得出1(2)A E --.

本题中,第一行乘以()1-加到第二行上;再第二行乘以

1

2

,有 100100100100100100

11

120010020110010022001001001001001001?

?

???? ? ? ?

? → -→ - ? ? ? ? ? ???????

, 从而知 1

1

011

(2)022001A E -?? ? ?-=-

? ??

?. 方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ??

=

???

,则求A 的伴随矩阵 *a b d b A c d c a *

-????

== ? ?-????

.

如果0A ≠,这样

1

11a b d b d b c d c a c a A ad bc ---??????

== ? ?

?---??

????

. 再利用分块矩阵求逆的法则：1

110000

A A

B B ---????

=

? ?????

,

本题亦可很容易求出1

10

011

(2)022001A E -?? ? ?-=-

? ??

?

.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)

【解析】函数1

sin

y x x =只有间断点0x =. 001lim lim sin x x y x x ++

→→=,其中1sin x

是有界函数,而当0x +

→时,x 为无穷小,而无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,

所以 001

lim lim sin 0x x y x x

+

+→→==,故函数没有铅直渐近线.

01sin

1sin lim lim

lim 11x x x t x y t x t

x

+→+∞→+∞→===令, 所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A).

【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0

lim ()x x f x →=∞,则

0x x =是函数的一条铅直渐近线；

水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞

=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.

(2)【答案】(C)

【解析】题设为求曲面:(,,)0S F x y z =(其中2

2

(,,)4F x y z z x y =++-)上点P 使S 在该点处的法向量n 与平面2210x y z ++-=的法向量{}02,2,1n =平行.

S 在(,,)P x y z 处的法向量

{},,2,2,1F F F n x y x y z ??

???==??????

?,

若0//,n n 则0,n n λλ=为常数,即22,22,1x y λλλ===.即1,1x y ==.

又点(,,)P x y z S ∈,所以22

22(,)(1,1)

44112x y z x y

==--=--=,故求得(1,1,2)P .

因此应选(C). (3)【答案】(D)

【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,1323,y y y y --为方程对应齐次方程的特解,所以方程()()()y p x y q x y f x '''++=的通解为

1132233()()y C y y C y y y =-+-+,

即1122123(1)y C y C y C C y =++--,故应选D. (4)【答案】(B)

【解析】()S x 是函数()f x 先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于()S x 是奇函数,于是1

1()()22

S S -=-.

当12x =时,()f x 连续,由傅式级数的收敛性定理,21111

()()()2224S f ===.因此, 11

()24

S -=-.应选(B).

(5)【答案】(C)

【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.

因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了

||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.

以3阶矩阵为例,若 112123134A ??

?

= ? ???

,

条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.

若123124125A ??

?

= ? ???

,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.

这样用排除法可知应选(C).

三、(本题满分15分,每小题5分.)

(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求

z x ??,也可以先求z y

??. 方法一：先求z

x

??,由复合函数求导法,

1

212(2)()()2z f x y g x g xy f g yg x x x x

????

''''''=-++=++????, 再对y 求偏导,得

21

2(2)2(2)z f g yg f x y x y y y

???

'''''=++=-???? 111222122()()()()g x g xy g yg x yg xy y y y y ????????

'''''''''+++++????

????????

11

1222122200f g xg g yg xyg '''''''''''=-+?+++?+ 21

2222f xg g xyg '''''''=-+++. 方法二：先求

z

y

??, 1

22(2)()()z f x y g x g xy f xg y y y y

????

'''''=-++=-+????, 再对x 求偏导数,得

222

()z z f xg x y y x x

???

''==-+????? 22122(2)()()f x y g xg x xg xy x x x

???

''

'''''=--+++???

2

21222f g xg xyg '''''''=-+++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点

(,)x y 处的偏导数存在,且

,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y

??????????=+=+??????????. (2)【解析】方法一：先求出()x ?,再求曲线积分.

设(,),(,)P x y Q x y 有连续偏导数,在所给的单连通区域D 上,

L

Pdx Qdy +?

与路径无

关,则在D 上有

Q P x y

??=??,所以()2,y x xy ?'=即2

()2,()x x x x C ??'==+.由(0)?=0,得

0C =,即2()x x ?=,因此

(1,1)

(1,1)

(1,1)2222222

(0,0)

(0,0)

(0,0)

1()2I xy dx y x dy xy dx yx dy y dx x dy ?=+=+=+?

?

? (1,1)

(0,0)

(1,1)2222(0,0)11

1()()22

2

d x y x y ===?. 或取特殊路径如图：

1

1

2220

01L

I xy dx yx dy dx y dy =+=+???

1

201122

y ??

==????. 方法二：不必求出()x ?,选取特殊的路径,取积分路径如图,则

(1,1)

2(0,0)

()I xy dx y x dy ?=+?

1

10

11(0)022

y dy xdx ?=+=+

=??. (3)【解析】利用三重积分的性质,

Ω关于yz 平面对称,x 对x 为奇函数,所以0xdV Ω

=???,即()x z dV zdV Ω

Ω

+=??????.

Ω是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为z 轴、半顶角为

4

π

的锥面所围成.故可选用球坐标变换,则020014

π

θπ?ρΩ≤≤≤≤≤≤：

，，,

所以 2

cos sin I zdV d d d ρ?ρ?ρ?θΩ

Ω

=

=??????? 21

13

3440

0000

1

cos sin 2sin 22d d d d d ππ

π

θ???ρρπ??ρρ=

=?

????

1

440011cos 2248

π

π

π?ρ????=-?=????????.

四、(本题满分6分.)

【解析】直接展开()f x 相对比较麻烦,可()f x '容易展开,

2222

211(1)(1)21

()1(1)(1)(1)11()1x x f x x x x x x x

--+?-'=

?==+--++++-. 由20

11(1)(1),(||1)1n n

n n n t t t t t t

∞

==-+-+-+

=-<+∑,令2t x =得

24

2222

111(1)(1),(1)11n

n

n n n x x x x x t x

∞

===-+-+-+

=-<++∑

即 22

1

()(1),(||1)1n n n f x x x x ∞

='==-<+∑ 所以

()()(0)x

f x f u du f '=+?,

22000

010(1)arctan (1)104x x n

n

n

n n n u du u du π∞

∞==+=-+=+--∑∑??

21

0(1)

421

n n

n x n π

+∞

==+-+∑,(||1)x < 当1x =±时,式21

(1)21n n

n x n +∞

=-+∑均收敛,而左端1()arctan 1x f x x +=-在1x =处无定义.

因此 21

01(1)()arctan ,[1,1)1421

n n n x f x x x x n π∞+=+-==+∈--+∑.

五、(本题满分7分.)

【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, 0

()sin ()()sin ()()x

x x

f x x x t f t dt x x f t dt tf t dt =-

-=-+?

??,

所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得

()cos ()()()cos ()x

x

f x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-??,

再求导,得

()sin ()f x x f x ''=--,即 ()()sin f x f x x ''+=-.

这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为2

10r +=,

此特征方程的根为r i =±,而右边的sin x 可看作sin x

e x αβ,i i αβ±=±为特征根,因此非

齐次方程有特解sin cos Y xa x xb x =+.

代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2

x

Y x =,所以 12()cos sin cos 2

x

f x c x c x x =++,

又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即1()sin cos 22

x

f x x x =+.

六、(本题满分7分.)

【解析】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数.

令

()ln x

f x x e π=-+?,

其中

π

?

是定积分,为常数,且被积函数1cos 2x -在(0,)π非负,故

0π

>?

,为简化计算,

令0

0k π

=>?

,即()ln x

f x x k e

=-+,

则其导数11

()f x x e

'=

-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即 ()0,0()0,f x x e

f x e x '><

'<<<+∞

?,

所以x e =是最大点,最大值为()ln 0e

f e e k k e

=-

+=>. 又因为00lim ()lim(ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k e

x f x x k e ++→→→+∞

→+∞?

=-+=-∞????=-+=-∞

??,由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)

e +∞各有且仅有一个零点(不相同),

故方程0

ln x x e π

=-?在(0,)+∞有且仅有两个不同实根.

方法二：

π

π

=?

?

,

因为当0x π≤≤时,sin 0x ≥,所以

]00

sin cos 0xdx x π

π

π

==-=>?

,

其它同方法一.

七、(本题满分6分.)

【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.

第一行分别乘以有()4-、()6-加到第二行和第三行上,再第二行乘以()1-加到第三行上, 有

101101

1014122012320123261423012430001λλλλλλλλλ?????? ? ? ?+→--+→--+ ? ? ? ? ? ?+--+-+??????

. 由于方程组有解的充要条件是()()r A r A =,故仅当10λ-+=,即1λ=时,方程组有解.此时秩()()23r A r A n ==<=,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解.

由同解方程组 1323 1,

21,

x x x x +=??

-=-?令3,x t =解得原方程组的通解

123

1,21,,x t x t x t =-+??

=-??=? (其中t 为任意常数). 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：

设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,

亦等同于12,,

,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组)

设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =,则

（1） 有唯一解 ? ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ? ()().r A r A n =< （3） 无解 ? ()1().r A r A +=

? b 不能由A 的列向量12,,

,n ααα线表出.

八、(本题满分8分.)

【解析】(1)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1

A -,得

1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11A ααλ-=.按特征值定义知1

λ

是1A -的特征

值.

(2)由于逆矩阵的定义1

||A A A *-=,据第(1)问有 1||

||A A A A ααααλλ

**=?=,按特征值定

义,即

||

A λ

为伴随矩阵A *

的特征值.

【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维

列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.

九、(本题满分9分.)

【解析】由球的对称性,不妨设球面∑的球心是(0,0,)a , 于是∑的方程是2

2

2

2

()x y z a

R ++-=.

先求∑与球面2222x y z a ++=的交线Γ：

2222222222

(),

22,

x y z a R a R z a x y z a ?++-=-??=?++=??. 代入上式得Γ的方程 4

2

2

2

24R x y R a

+=-.

它在平面xOy 上的投影曲线422222

2,(02),

40,R x y b b R R a a

z ?+==-<

相应的在平面xOy 上围成区域设为xy D ,则球面∑在定球面内部的那部分面积

()xy

D S R =.

将∑的方程两边分别对,x y 求偏导得

,z x z y x z a y z a

??=-=-?-?-, 所以

()xy

xy

D D S R =

=????

xy

xy

D D =

=??

??.

利用极坐标变换(02,0)b θπρ≤≤≤≤有

20

()xy

b

D S R d πθρ=??

极坐标变换

222

00()2b R d R πθρ=-

-??

02(2()b R R R ππ==

代入42

2

24R b R a =-,化简得32

()2R S R R a

ππ=-.

这是一个关于R 的函数,求()S R 在(0,2)a 的最大值点,()S R 两边对R 求导,并令

()0S R '=,得2

3()40R S R R a

ππ'=-

=,得43a R =. 且 4()0,03

4()0,23S R R a S R a R a ?'

><

,

故43

a

R =

时()S R 取极大值,也是最大值. 因此,当43

a

R =时球面∑在定球面内部的那部分面积最大.

十、填空题(本题满分6分,每小题2分.) (1)【解析】 方法一：()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()(|)0.7P A P B P A P B A =+-=.

方法二：()()()P A

B P B P AB =+()()(|)0.60.50.20.7P B P A P B A =+=+?=.

(2)【解析】设事件A =“甲射中”,B =“乙射中”,依题意,()0.6P A =,()0.5P B =,

A 与

B 相互独立,()()()0.60.50.3P AB P A P B =?=?=.

因此,有 ()()()()P A

B P A P B P AB =+-0.60.50.30.8=+-=.

(())()

(|)0.75()()

P A A B P A P A A B P A B P A B =

==.

(3)【解析】设事件A =“方程有实根”,而方程2

10x x ξ++=有实根的充要条件是其判别

式2

40ξ?=-≥,即{}{}

22404A ξξ=-≥=≥.

随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为0, 1,1(), 16,611, 6.

x x F x x x

=≤

由分布函数的定义()()P x k F k ≤=,

{}{}21210.20.8.P P ξξ≥=-<=-= 而{}20.P ξ≤-=

所以由概率的可加性,有{}

{}{}2

()422P A P P ξξξ=≥=≥+≤-0.800.8=+=.

)(B P A =条件概率：()

(|)()

P BA P B A P A =

,所以()()(|)()P AB P BA P B A P A ==. 十一、(本题满分6分.)

【解析】~(1,2)X N ,~(0,1)Y N ,由独立的正态变量X 与Y 的线性组合仍服从正态分布,且

235,EZ EX EY =-+=44219DZ DX DY =+=?+=,

得 ~(5,9)Z N .

代入正态分布的概率密度公式,有Z 的概率密度函数为 2

(5)18()

z Z f z --=.

【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.

若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有

()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,

22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,

其中,,a b c 为常数.