(完整版)2017届高三理科数学(理)知识点、公式总结A4

2014届高三理科数学（理）知识点、公式总结

第一部分 集合

1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性。

2. 集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集；

如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. 3. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.

4. ⑴ ①一个命题为真，则它的逆否命题一定为真， 原命题?逆否命题.

②一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题.

⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若552x x x >?><，

或，反之不行

第二部分 函数

1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分，对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）

上为减函数，就不能．．

说函数在），（），（2110?上为减函数. 3. 指数函数：x

a y =（0,1a a >≠），定义域R ，值域为（

,0⑴①当1a >，指数函数：x

a y =在定义域上为增函数；

②当01a <<，指数函数：x

a y =在定义域上为减函数.

⑵当1a >时，x

a y =的a 值越大，越靠近y 轴；当01a <<时，则相反.

4. 对数函数：如果a （0,1a a >≠）的b 次幂等于N ，就是N a b =，数b 就叫做以a 为底的N 的对数，记作b N a =log （0,1a a >≠，负数和零没有对数）；其中a 叫底数，N 叫真数。

⑴对数运算：

n

a n a a a c

b a b b a N a n a a n a a a a

a a a a a a a a c

b a N

N N

a M n

M M

n M N M N

M

N M N M n a 1121log log ...log log 1

log log log log log log log 1

log log log log log log log log )(log 32log =????=??====-=+=?-推论：换底公式：

（以上12n M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a ,a ...a 01>>>≠>≠>≠>≠且） ⑵x a y =（0,1a a >≠）与x y a log =互为反函数。

当1a >时，x y a log =的a 值越大，越靠近x 轴；当01a <<时，则相反。 5. 奇函数，偶函数：

⑴偶函数：)()(x f x f =-,设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点.

偶函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：12

+=x y 在)1,1[-上不是偶函数。 ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f

⑵奇函数：)()(x f x f -=-,设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数。 ②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f

6. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称

x f y y -=???→?

②y =f （x ））（轴对称

x f y x -=???→?

③y =f （x ））（原点对称

x f y --=???→?

第三部分 直线和圆

一、直线方程

1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，

直线倾斜角的范围是0

180(0)ααπ≤<≤

o .

注：①当ο

90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有唯一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定。 2. 把握直线方程的几种形式：点斜式、两点式、斜截式、一般式。 3. ⑴两条直线平行：

1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的，因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误。

推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l 。 ⑵两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在。②0121=?⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件） 4. 点到直线的距离：

⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有

2

2

00B

A C By Ax d +++=

.

⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线

)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有2

2

21B

A C C d +-=

.

5. 关于点对称和关于某直线对称：

⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等。

⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等。

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线。 ⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称

点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-。 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+。

2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x

当2

2

40D E F +->时，方程表示一个圆，其中圆心???

??--2,2

E D C ，半径2

422F

E D r -+=

。

当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2

E D . 当0422π

F E D -+时，方程无图形（称虚圆）。

注：①圆的参数方程：??

?+=+=θ

θ

sin cos r b y r a x （θ为参数）.

②方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：

0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->。

3. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C ：222()()(0)x a y b r r -+-=>； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； (1)圆心),(b a C 到直线l 的距离2

2

B

A C Bb Aa d +++=

.

①r d =时，l 与C 相切；②d r <时，l 与C 相交；③d r >时，l 与C 相离.

(2)由代数特征判断：方程组??

???=++=-+-0)()(2

22C Bx Ax r b y a x 用代入法，得关于x （或y ）的一元二次

方程，其判别式为?，则：

A.l ?=?0与C 相切；

B.0l ?>?与C 相交；

C.0l ?

第四部分 三角函数

1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {}Z k k ∈+?=,360|αββο

②熟悉如终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180|οββ 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 3. 三角函数的公式： （一）基本关系

1）．同角的三角函数：22sin cos 1x x += sin tan cos x

x x

=

2）诱导公式：形如：sin()2k πα+（或cos()2

k π

α+）方法：奇变偶不变，符号看象限。

如：=-)2

3sin(απ

αcos -， =-)3tan(απαtan -。

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=

βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α

αα2tan 1tan 22tan -=

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+ β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-

x y sin -=x y sin =x y cos -=x y cos =地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）. ②x y sin =与x y cos =的周期是π.

③)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2x k π

ω?π+=+（Z k ∈），对称中心（1(),0k π?ω

-）；)

cos(?ω+=x y 的对称轴方程是x k ω?π+=（Z k ∈），对称中心（11(),02

k ππ?ω

+-）；)tan(?ω+=x y 的对称中心

（

1(),02

k π

?ω-）. ④函数x y tan =在R 上为增函数说法是错误的. [只能在某个单调区间单调递增。若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的]。

⑤x

y sin =为周期函数（π=T ）；x y cos =为周期函数（π=T ）；

⑥辅助角公式：)tan )(sin(sin cos 22a

b

b a b a y =++=+=??αβα其中 。

第五部分 向量与解三角形

1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量。

2. ①()a ρ

μλ=()a ρλμ ②()a a a ρρρμλμλ+=+ ③()b a b a ρρρρλλλ+=+

④设()()R y x b y x a ∈==λ,,,,2211 ()2121,y y x x b a ++=+ρρ ()2121,y y x x b a --=-ρ

ρ

()21,y x a λλλ=ρ 2121y y x x b a +=?ρρ 2

1

21y x a +=ρ（向量的模，针对向量坐标求模） ⑤平面向量的数量积：θcos b a b a ?=?ρ

ρ ⑥a b b a ρρρρ?=? ⑦()()()b a b a b a ρ

ρ

ρ

ρρρλλλ?=?=?

⑧()

c b c a c b a ρρρρρρρ?+?=?+

注意：①()()c b a c b a ρρρρρρ??=??不一定成立；c

b b a ρ

ρρρ?=?c a ρρ=.

②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小。

③长度为0的向量叫零向量，记0ρ，0ρ与任意向量平行，0ρ

的方向是任意的，零向量与零向量

相等，且00ρ

ρ=-。

④a ρ·a ρ

=2||a ρ

，||a ρ=2a ρ

（针对向量非坐标求模）

，||b a ρ

ρ?≤||||b a ρ

ρ

?。 ⑤当0ρρ≠a 时，由0=?b a ρρ不能推出0ρρ≠b ，这是因为任一与a ρ垂直的非零向量b ρ，都有a ρ·b ρ

=0。⑥若∥，∥，则∥是不成立的，因为当等于时，不成立。

3. ①向量b ρ与非零向量．．．．a ρ

共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a b ρρλ=（平行向量或共线向量）。

当0,a λ>r

与共线同向：当0,λ<与共线反向；当,0=λ则为0,0与任何向量共线。

②设a ρ

=()11,y x ，()22,y x b =ρ

a ρ

∥b ρ?=-?01221y x y

x b a b a =??

=λ a ρ⊥b

ρ

001221=+?=??y y x x b a

③两个向量a ρ

、b ρ的夹角公式：22

22

2

1

2

1

2121cos y x y x y y x x +

?

+

+=

θ

三角形重心坐标公式：△ABC

的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,： 注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件。

⑤平移公式：若点P ()y x ,按向量a ρ=()k h ,平移到P ‘()

'

',y x ，则?????+=+=k

y y h x x ''

4. ⑴正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===。

⑵余弦定理：???

????-+=-+=-+=C ab a b c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222

2

22222

(4)三角形的四个“心”；

重心：三角形三条中线交点 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

第六部分 数列

1. ⑴等差、等比数列： ⑵看数列是不是等差数列有以下三种

方法： ①

),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：

???

???

?

++=++=333

21321y y y y x x x x

①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112

-+?=n n n

a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )① ③n n cq a =(q c ,为非零常数).

⑷数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：??

?≥-===-)2()

1(111n s s n a s a n n

n

2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ②若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1

+=

n n

a a S S

偶

奇

；

③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1

-=n n S S

偶

奇

得到所求项数到代入12-?n n . 5. 数列常见的几种形式：

（1）r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①构造转化等差，等比数列；②逐项选代； 转化等差，等比：1

)(11-=

?-+=?+=+++P r x x Px Pa a x a P x a n n n n . 6. 几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前n 项和为n S ，在0d <时，有最大值，如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法：一是求使10,0n n a a +≥<，成立的n 值；二是由n d

a n d S n )2

(212-+=

利用二次函数的性质求n 的值。

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和， 例如：,...21)

12,...(4

13,2

11n

n -?

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数。

第七部分 不等式

1.

2

a b + a = b 时取等）

特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，22

2()22

a b a b ab ++==）

⑶绝对值不等式：

123123,

(0)a a a a a a a b a b a b ab ++≤++-≤-≤+≥时,取等

⑷算术平均≥几何平均（a 1、a 2…a n 为正数）：12n a a a n

+++≥L a 1=a 2…=a n 时取

等）

(5)常用不等式的放缩法：①21111111

(2)1

(1)(1)1n n

n n n n n n n n

-=

<<=-≥++--

1)

n =<

<

=≥

第八部分 导数

1. 导数（导函数的简称）的定义： )(0'x f =x

x f x x f x

y

x x ?-?+=??→?→?)()(lim

lim 000

. 2. 导数的几何意义：

函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就

是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 3 求导数的四则运算法则：

''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()('

'2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?

'

'

'

'

'

'

'

)()(cv

cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数）

)0(2'

''

≠-=??

? ??v v u

v vu v u 5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?=

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形。 6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数。 ⑵常数的判定方法；

如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.

注：①0)(φx f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有

0)(φx f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)(πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件。

②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的。 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）,当函数)(x f 在点0x 处连续时，

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值。 8. 几种常见的函数导数：

I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '

-= II. x x 1)(ln '= e x

x a a log 1)(log '= x x e e =')( a a a x x ln )('=

第九部分 立体几何

一、 空间直线.

1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面。相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内

2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.

（二面角的取值范围[)οο180,0∈θ） （直线与直线所成角(]οο90,0∈θ）

（斜线与平面成角()οο90,0∈θ） （直线与平面所成角[]οο90,0∈θ）

（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等。

二、 直线与平面平行、直线与平面垂直.

1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内。

2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直

12方向相同12

方向不相同

线和这个平面平行。（“线线平行，线面平行”）

3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（“线面平行，线线平行”）

直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面。（“线线垂直，线面垂直”）

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 三、 平面平行与平面垂直.

1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行。

2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（“线面平行，面面平行”）

推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行。 3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。（“面面平行，线线平行”）

4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直。

两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面。（“线面垂直，面面垂直”）

5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面。

推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面。

6. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=.②球的体积公式：33

4R V π=.

六. 空间向量.

1. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使z y x ++=。

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 z y x ++=(这里隐含x+y+z≠1)。 3. （1）空间向量的坐标：可参考平面向量的运算 （2）求向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α|

|n 。

②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（可观察是锐角还是钝角）。

③证直线和平面平行定理：已知直线≠?a 平面α，α∈?∈?D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ?使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）。

第十部分 圆锥曲线 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程定义：

121212*********,2,

2,PF PF a F F PF PF a F F PF PF a F F F F +=>+=<+==方程为椭圆无轨迹以为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程：

i. 中心在原点，焦点在x 轴上：22

221(0)x y a b a b

+=>>. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：

22221(0)y x a b a b

+=>>. ②一般方程：)0,0(12

2φφB A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程：12222=+b y a x 的参数方程为??

?==θ

θsin cos b y a x （一象限θ应是属于02

π

θ<<

）.

⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2

2

21,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2±=或c

a y 2

±=.⑥离心

率：(01)c

e e a

=

<<. 二、双曲线方程. 1. 双曲线定义：

12121212121212222,PF PF a F F PF PF a F F PF PF a F F F F -=<-=>-==方程为双曲线无轨迹

以的一个端点的一条射线

⑴①双曲线标准方程：

)0,(1),0,(12

22

22

22

2φφb a b

x a

y b a b

y a

x =-

=-

. 一般方程：)0(122πAC Cy Ax =+.

⑵①i. 焦点在x 轴上：

顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b y

a x 或02222=-b

y a x

ii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2

±=. 渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-b

x a y ， .

②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a c

e =. ④准线距c a 22（两

准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系a

c

e b a c =+=,222.

⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . ⑸共渐近线的双曲线系方程：

)0(2

22

2≠=-

λλb

y a

x 的渐近线方程为

02

22

2=-

b

y a

x 如果双曲线的渐近

线为0=±b y a x 时，它的双曲线方程可设为)0(22

22≠=-λλb

y a x .

例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=

且过)2

1

,3(-p ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：)0(42

2≠=-λλy x ，代入)21,3(-得12

822=-y x .

三、抛物线方程.

0φp 注：x c by ay =++2

顶点)244(a

b

a b ac --.

第十一部分 复数

1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；

④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.

⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义：

00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.

其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离.

由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-. ⑵常用的结论：

1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i

)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++ i i

i

i i i i i -=+-=-+±=±11,11,

2)1(2

第十二部分 概率与统计

一、概率.

1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是

n

1

，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事

件A 的概率n

m P(A)=

. 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ΛΛ. ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其

中一个必发生.

注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.

ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.

推广：若事件n 21,A ,,A A Λ相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21ΛΛ?=?.

注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.

④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试

验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P)(1P C (k)P --=. 4. 对任何两个事件都有)()()()(B A P B P A P B A P ?-+=+ 二、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x

ξ取每一个值),2,1(1Λ=i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

有性质①1≥p 21i 3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个

事件恰好发生k 次的概率是：k

n k k n q

p C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0Λ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;q

p C k

n k k n ?=-. 互斥对立

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为

)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξn

N

k n M

N k M -≤-≤≤≤??=

=--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中

取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C r m =，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

三、数学期望与方差.

ΛΛ++++=n n p x p x p x E 2211ξ.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( (2)两点分布：p p q E =?+?=10ξ，其分布列为：（p + q = 1）

(3)二项分布：np E =ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(Λ===k p x P k k ξ时，则称

ΛΛ+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =

为ξ的

根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.

⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） (2)两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）

(3)二项分布：npq D =ξ 5. 期望与方差的关系.

⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(

⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+?=)(,)(

第十三部分 计数原理与二项式定理

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理.

2. 可

．以有．．重复．．元素．．

的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列.

1. ⑴对排列定义的理解.

定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.

⑶排列数.

从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一

个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m

n A 表示. ⑷排列数公式：

!

(1)(1)(,,)()!

m n n A n n n m m n n m N n m =--+=

≤∈-L

注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1

1

11--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A

1

1--=m n m

n nA A 规定10==n

n n C C 三、组合.

1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

⑵组合数公式：)!

(!!!

)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m

m

m n m n -=+--==Λ 常用计算公式：;m

n m n n C C -=

(3)排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. (4)①几个常用组合数公式

012024135

122n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C -+++=+++=+++=L L L 四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”

例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2

211A A n ?-.

②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2

21

1A A n n ?--.

③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--?n n n A A .

注：①③区别在于①是确定的座位，有2

2A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.

⑥平均分组法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有

k k

n n

n n k n kn A C C C Λ)1(-?.

例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!

22

4=C （平均分组就

用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!

2/102022818C C C P =

）

⑦定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，

并且都排在某r 个指定位置则有r k r n r r A A --.

例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定

在）某一位置上，共有多少种排法？

固定在某一位置上：1

1--m n A ；不在某一位置上：1

1

---m n m n A A 或1

1111----?+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有m n A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素

中取m-1，这与用插空法解决是一样的） II. 排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略。 五、二项式定理.

1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n

n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ. 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项；

② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ΛΛ

⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r

r n r n

r ∈≤≤=-+. ⑶二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．

最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12

+n

项，它的二项式系数2n

n C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第12

1

++n 项，它们的二项式系数2121+-=n n

n n C C

最大.

③系数和：13

14201022

-=++=+++=+++n n n n n n n

n n n n C C C C C C C C ΛΛΛ

附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．

时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组111

11(,+-+-+???≤≤??

?≥≥k k k k

k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.