2020年9月高二分科分班考试数学试题附答案

实验中学新高二分班考试

数学试题

满分：150分 时间：120分钟

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知数列{}n a 中，12n n a a +-=，且11a =，则数列{}n a 的第10项为（ ） A ．21

B ．20

C ．19

D ．18

2. =++=?A bc c b a ABC 则中，在,222( )

A. 120

B. 60

C. 45

D. 30 3.已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )

A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3

B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为

C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3

D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 4． ABC S C b a ABC ?===?则中，在,30,4,6 =( )

A. 12

B.6

C. 312

D. 38 5．在等比数列{}n a 中，如果9,696==a a ，则3a 的值为（ ） A.4 B.2

3 C. 9

16

D.2 6．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ） A.

B.

C. D.

7．函数2sin()4

y x π

=-的一个单调递减区间是（ ）

A ．5,4

4ππ??

--???? B ．3,44ππ??-???? C ．3,44ππ??

????

D ．37,44ππ??????

8．在等差数列{}n a 中，80a >，4100a a +<，则数列{}n a 的前n 项和n S 中最小的是（ ） A ．4S

B ．5S

C ．6S

D ．7S

9．函数sin sin y x x =-的值域是（ ）． A ．[]1,1-

B ．[]0,2

C ．[]22-,

D ．[]2,0-

10.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 （ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 11．比较大小，正确的是（ ）． A ．sin(5)sin3sin5-<< B ．sin(5)sin3sin5->> C ．sin3sin(5)sin5<-<

D ．sin3sin(5)>sin5>-

12.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD

＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB

＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则

A ．321I I I <<

B ．231I I I <<

C ．213I I I <<

D ．312

I I I <<

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量(1,)(3,2)a m b =-， =，且()a b b ⊥+，则m =________

14.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b

，

c =3，则A =_________.

15.已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，则n

a =_________.

16．已知0>ω，函数()sin f x x ω=在区间,44ππ

??

-????

上恰有9个零点，则

ω的取值范围是________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(10

分)已知22

π

π

α-

<<

，2

2

π

π

β-

<<

，且tan α、tan β是方程

2670x x ++=的两个根，求αβ

+的值．

18．(12分)已知向量,,,a b c 在同一平面内，且(1,2)a =． (1)若25c =，且//a c ，求c . (2)若b ＝5

2

,且(2)(2)a b a b +⊥-，求a 与的b 夹角．

19．(12分)已知等比数列{}n a 中，公比2q ，4a 是32a +，56a -的等

差中项.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .

20.(12分)．ABC ?的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且

sin cos c B C =．

（1）求角C ；

（2）若5a b +=，且ABC ?的面积为

2

，求c 的值． 21．(12分)函数()sin (0,)2

y x πω?ω?=+><在同一个周期内，当4

x π

=

时y 取最大值1，当712

x π

=

时，y 取最小值﹣1． （1）求函数的解析式y=f(x)；

（2）若函数f （x ）满足方程f(x)=a （0＜a ＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．

22．(12分)已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),a M b O =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数.

（1）设函数3())sin 2g x x x π

π??

=+-- ???

，试求()g x 的伴随向量OM ；

（2）记向量(1,ON =的伴随函数为()f x ，求当()85

f x =且

,36x ππ??

∈- ???

时sin x 的值； （3）由（1）中函数()g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移

23

π个单位长度得到()h x 的图象，已

知()2,3A -，()2,6B ，问在()y h x =的图象上是否存在一点P ，使得

AP BP ⊥.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.

高二数学分班考试答案

选择题：

1.C

2.A

3.B

4.B

5.A

6.A

7.B

8.D

9.C 10.B 11.B 12. C 二、填空题：

13.8 14.75° 15.611n

a n =+ 16．[)16,20

三、解答题：

17．解：由题意知tan tan 6αβ+=-，tan tan 7αβ= ∴tan 0,tan 0αβ<< 又

2

2

ππα-

<<

，2

2

π

π

β-

<<

∴02

πα-<<，02

π

β-<<

∴0παβ-<+< ∵tan tan 6

tan()11tan tan 17

αβαβαβ+-+===--

∴34

παβ+=-

.. .............10分

18．解：（1）设， ∵

，， ∴

， ∴

， ∵， ∴， ∴

， 即

，

∴或

∴或

..............6分 （2）∵， ∴， ∴

， 即

，

又∵，

，

∴

， ∴

，

∵，， ∴，

∵， ∴. .. .............12分

19．（1）∵2q

，435226a a a =++-，

所以11a =，()1

*

2n n a n -=∈N . ...............6分

（2）()()*1122112

n n n S n N ?-=

=-∈- ..............12分

20（1）∵sin 3cos c B b C =，∴sin sin 3cos C B B C =， ∵sin 0B ≠，∴sin 3C C =， ∴tan 3C =∴在ABC ?中3

C π

=； ..............6分

（2）∵ABC ?的面积为33

2

， ∴1333sin 2

ab C =

=，∴6ab =， 由余弦定理，有2222cos c a b ab C =++

()2

22cos 251267a b ab ab C =+--=--=，

∴7c = ..............12分

21．（1）∵272124w π

π

π

??

=?- ???

，∴3w =，

又因，∴，又，得

∴函数()sin 34f x x π?

?=- ??

? ； ...............6分 （2）∵的周期为，

∴在[0，2π]内恰有3个周期，

∴在[0，2π]内有6个实根且，

同理，

，

故所有实数之和为．...............12分

22．（1）∵3()sin 3)2g x x x ππ??

=--++ ???

∴()cos 33cos g x x x x x =-=+

∴()g x 的伴随向量OM (3,1)=- .....................................3分 （2）向量(1,3)ON =的伴随函数为()sin 3cos f x x x =，

()8sin 32sin()35f x x x x π==+=，4

sin()35x π∴+=

,(0,)3632x x ππππ??

∈-∴+∈ ???

，，3cos()35x π∴+=

13433sin sin sin 33232310x x x x ππππ??-?????

?=+-=+-+= ? ? ????

??????? (7)

分

（3）由（1）知：()3cos 2sin 6g x x x x π?

?=+=-- ??

?

将函数()g x 的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到

函数12sin 2

6y x π??=-- ???再把整个图像向右平移23π

个单位长得到()h x 的图像，得到

121

1()2sin 2sin 2cos 2362

22h x x x x πππ??????=--

-=--= ? ? ??

????? 设1,2cos 2P x x ?

?

???

，∵(2,3),(2,6)A B - ∴1

2,2cos 32AP x x ?

?=+- ??

?，1

2,2cos 62BP x x ??=-- ??

?

又∵AP BP ⊥，∴0AP BP ?=

∴11(2)(2)2cos 32cos 6022x x x x ????

+-+--= ???????

22

11

44cos 18cos 18022

x x x -+-+= ∴2

219252cos 224x x ?

?-=- ??

?（*）

∵1

22cos 22x -≤≤，∴131952cos 2222

x -

≤-≤- ∴2

2519169

2cos 4224

x ??≤-≤ ??? 又∵

22525

44

x -≤ ∴当且仅当0x =时，2

192cos 22x ??- ???

和2254x -同时等于254，这时（*）

式成立

∴在()y h x =的图像上存在点()0,2P ，使得AP BP ⊥................12分