高中数学最全数列总结及题型精选

高中数学：数列及最全总结和题型精选

一、数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫

这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…

②：5

14131211，，，，… 说明：

①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n

-=1,21

()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=?

；

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，，，，……

（3）数列的函数特征与图象表示：

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始

依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…

（5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1

1(1)(2)n n

n S n a S S n -=?=?

-?≥

二、等差数列

(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1n n -或1(1)n n a a d n +-=≥

例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；

说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

例：1.已知等差数列{}n a 中，124971

16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64

2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670

3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）

(三)、等差中项的概念：

定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2

a b

A +=

a ，A ，

b 成等差数列?2

a b

A += 即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．（06全国I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75

(四)、等差数列的性质：

（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m

a a d n m

-=

-()m n ≠；

（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； (五)、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22

n n n a a n n S na d +-=

=+n d

a ）（2n 2112-+=。(),(2

为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列 )

递推公式：2

)(2)()1(1n

a a n a a S m n m n n --+=+= 例：1.如果等差数列中，，那么

（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 2.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( )

A ．13

B ．35

C ．49

D ． 63

3.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则=

4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

项 项 项 项 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 6.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则

7.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )

3

132

--

．．B A C.31 D.32

8.（2009陕西卷文）设等差数列的前n 项和为,若,则

9．（00全国）设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛n

S n

｝的

前n 项和，求T n 。

(六).对于一个等差数列：

（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ②

1

n n S a

S a +=奇偶； （2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1

S n

S n =-奇偶。

1.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比__________

2.一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d

3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是2

25，则它的首项与公差分别是_______

(七).对与一个等差数列，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

例：1.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）

2.一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 。

3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== 5．（06全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若

36S S ＝13

，则612S

S ＝

A ．

3

10 B ．13 C ．18

D ．

1

9

(八)．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：

）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列

②中项法：

)22

1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列

③通项公式法：

),(为常数b k b

kn a n +=?{}n a 是等差数列

④前n 项和公式法：

),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列

例：1.已知数列}{n a 满足21=--n n a a ，则数列}{n a 为 （ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 2.已知数列}{n a 的通项为52+=n a n ，则数列}{n a 为 （ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

3.已知一个数列}{n a 的前n 项和422

+=n s n ，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

4.已知一个数列}{n a 的前n 项和2

2n s n =，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 5.已知一个数列}{n a 满足0212=+-++n n n a a a ，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

6.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*

∈N n ）

①求数列{}n a 的通项公式；

7．（01天津理，2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2

，则{a n }是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 (九).数列最值

（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； （2）n S 最值的求法：①若已知n S ，的最值可求二次函数的最值；

可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出中的正、负分界项，即： 若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??

≤?或1

0n n a a +≤??≥?。

例：1．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大。

2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 001213123<>=S S a ，， ①求出公差d 的范围，

②指出1221S S S ，，

，Λ中哪一个值最大，并说明理由。

3．（02上海）设｛a n ｝（n ∈N *

）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ）

＜0

＝0 ＞S 5

与S 7均为S n 的最大值

4．已知数列{}n a 的通项

99

98--n n （*∈N n ），则数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是

5.已知}{n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-。 （1）数列}{n a 从哪一项开始小于0

（2）求数列}{n a 前n 项和的最大值，并求出对应n 的值．

(十).利用1

1(1)(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?求通项．

1.数列{}n a 的前n 项和2

1n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列吗（3）你能写出数列{}

n a 的通项公式吗

2.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2

，求数列}{n a 的通项公式；

3.（2010安徽文）设数列的前n 项和，则的值为（ ）

（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64 4、2005北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11

3

n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．

三、等比数列

等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠

(一)、递推关系与通项公式

m

n m n n n n n q a a q a a a a --+?=?==推广：通项公式：递推关系：111q 1． 在等比数列{}n a 中,2,41==q a ，则=n a 2． 在等比数列{}n a 中

,712,a q ==则19_____.a =

3.（07重庆文）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 1＝64，，则公比q 为（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）8

4.在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，则8a =

5.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++=（ ）

A 33

B 72

C 84

D 189

(二)、等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b =±=2

，注：是成等比数列的必要而不充分条件.

例：

1.2+

2-的等比中项为( )

()1A ()1B - ()1C ± ()2D

2.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

(三)、等比数列的基本性质，

1.（1）q p n m a a a a q p n m ?=?+=+，则若),,,(*

∈N q p n m 其中 （2）)(2

*+--∈?==

N n a a a a a q

m n m n n m

n m

n ， （3）{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）{}n a 既是等差数列又是等比数列?{}n a 是各项不为零的常数列.

例：1．在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程2

2510x x ++=的两个根,则47a a ?=( )

5()2A -

(B 1()2

C - 1

()2D

2. 在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，则18a =

3.等比数列{}n a 的各项为正数，且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++=L 则（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+3log 5

4.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时， （ ） A. B. C. D.

(四)、等比数列的前n 项和，

)1(11)1()1(111

≠???

??--=

--==q q q

a a q

q a q na S n n n

例：1.已知等比数列}{n a 的首相51=a ，公比2=q ，则其前n 项和=n S

2．（2006年北京卷）设4710310

()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n 等于（ ）

A ．

2(81)7

n

- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．4

2(81)7

n +-

3．（1996全国文，21）设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q ；

(五). 等比数列的前n 项和的性质

若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列. 例：1.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为，若 =3 ，则 =

A. 2

B.

C.

2.一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ） A ．83 B ．108 C ．75 D ．63

3.已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， (六)、等比数列的判定法 （1）定义法：

?=+（常数）q a a n

n 1

{}n a 为等比数列； （2）中项法：?≠?=++)0(2

2

1n n n n a a a a {}n a 为等比数列；

（3）通项公式法：??=为常数）q k q k a n

n ,({}n a 为等比数列； （4）前n 项和法：?-=为常数）

（q k q k S n

n ,)1({}n a 为等比数列。 ?-=为常数）（q k kq k S n n ,{}n a 为等比数列。

例：1.已知数列}{n a 的通项为n

n a 2=，则数列}{n a 为 （ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 2.已知数列}{n a 满足)0(2

2

1≠?=++n n n n a a a a ，则数列}{n a 为 （ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

3.已知一个数列}{n a 的前n 项和1

n 22+-=n s ，则数列}{n a 为（ ）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

四、求数列通项公式方法

（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 例：1已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ， 求n a ；

2.等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，622

39a a a =，求数列}{n a 的通项公式

3.已知数列}{n a 满足2

122142++=?==n n n a a a a a 且， （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

4. 已知数列}{n a 满足，21=a 且1

152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

5.数列已知数列{}n a 满足111

,41(1).2

n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式=

（2）累加法

1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=∑

例：1.已知数列{}n a 满足1

41,2

12

11-+

==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

2. 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

3. 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

（3）累乘法

适用于： 1()n n a f n a +=

若

1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n

a a a

f f f n a a a +===L L ，，， 两边分别相乘得，1

11

1()n

n k a a f k a +==?∏

例：1. 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。

3.已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=+ )1(≥n ，求n a 。

（4）待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+

例：1. 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

2.（2006，重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________

3.已知数列{}n a 满足*

111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式；

（5）递推公式中既有n S

分析：把已知关系通过11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的方法求解。

1.（2005北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11

3

n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．

2.（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*

15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}

1n a +是等比数列．

(6)取倒数法。

五、数列求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含字母时一定要讨论

2．错位相减法求和：如：

例：1．求和21

123n n S x x nx -=++++L

2.求和：n n a

n a a a S ++++=

Λ32321

3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：

数列{}n a 是等差数列，数列?

??

??

?

+11n n a a 的前n 项和

例：1.数列的前项和为，若，则等于（ ）

A ．1

B ．

C ．

D ． 2.已知数列}{n a 的通项公式为1

(1)

n a n n =+，求前n 项的和；

4.已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝1

2

n +，设13242111n n n T a a a a a a +=+++???L ，求n T ． 5．求)(,3211

4321132112111*N n n

∈+++++++++++++++ΛΛ。

3.已知等差数列}{n a 满足02=a , 1086-=+a a . (1)求数列}{n a 的通项公式及n S （2）求数列}2

{1-n n

a 的前n 项和

7.已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ，}{n a 的前n 项和n S （1）求n a 及n S （2）令1

12

-=

n n a b （+

∈N n ），求数列}{n b 前n 项和n T