多元函数微分学复习题及答案38684
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答
一、选择题
1.极限lim x y x y
x y →→+00
242
= （ B ）
(A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12
（提示：令2
2
y k x =）
2、设函数f x y x y y x
xy xy (,)sin sin
=+≠=?
????1100
，则极限lim (,)x y f x y →→0
= （ C ）
(A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2
（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）
3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???
?
?22
2222000
，则(,)f x y （ A ）
(A) 处处连续；
(B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续；
(D) 除（0,0）点外处处连续
（提示：①在2
2
0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =
，
200
0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以，(,)f x y 在
整个定义域内处处连续。）
4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ）
(A)必要而非充分条件；
(B)充分而非必要条件；
(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan
，则??u
x
= （ B ） (A)
x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y
x y 22+ ；
(D)
-+x
x y 22
6、设f x y y x
(,)arcsin
=，则f x '
(,)21= （ A ） （A ）-
14； （B ）
14； （C ）-12； （D ）12
—
7、若)ln(y x z -
=，则=??+??y
z y x z x
（ C ） （A ）y x +； （B ）y x -； （C ）21； （D ）2
1
-．
8、设y x
z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）
（A ）22v u v u --； （B ）22v u u v --； （C ）22v u v u +-； （D ）2
2v u u
v +-．
9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'
232612
=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ）
(A) x +
3
2
； (B) x -
3
2
； (C) 21x +； (D) -+21x
10、设z y x
=，则(
)(,)????z x z
y
+=21 （ A ） (A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ； (D) 1 11、设函数z x y =-
+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ）
（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点； （C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点。 12、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有 （ C ）
2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则
（A ）点P 0是函数z 的极大值点； （B ）点P 0是函数z 的极小值点； （C ）点P 0非函数z 的极值点； （D ）条件不够，无法判定。 二、填空题 1、极限lim
sin()
x y xy x
→→0π
= ??????? 。答：π
2、极限lim
ln()x y x y e x y
→→++01
2
2
2
=??????? 。答：ln2
3、函数z x y =+ln()的定义域为 ??????? 。答：x y +≥1
4、函数z x
y
=
arcsin 的定义域为 ??????? 。答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++?? ??
?2
2
，则f kx ky (,)= ??????? 。答：k f x y 2
?(,)
6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ??????? 。答：22
2x y x
-
（
22
()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x
+--+-==++-）
7、设z x y y =-+sin()3，则
??z
x
x y ===21
_________ 。答：3cos5
8、函数z z x y =(,)由方程x y z e
x y z ++=-++()
所确定，则22
z
x ??= 0 9、、设u x xy =ln ，则
???2u x y = ___________ 。答：1
y
9、函数z x y x y =----234612
2
的驻点是_________。答：（1，－1） 三、计算题
1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.
(1) z = (2)
ln()z x y =+(3)1
ln()
z x y =
+ (4)ln(1)z xy =-
解：(1)
要使函数z =有意义，必须有2
2
10x y --≥，即有22
1x y +≤.
故所求函数的定义域为22
{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1
(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为
{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2
(3)要使函数1
ln()
z x y =
+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.
故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3
(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为
{(,)|1}D x y xy =>，图形为图
3.4
图3.1 图3.2
图3.3 图3.4
2、求极限lim x y x
xye xy
→→-+0
416 。
解：lim x y x
xye xy →→-+0
416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 0
416 = -8 3、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2
=++所确定，求
??z
y
。答：2112xyz xy --
4、设z y xy x
=ln()，求
????z x z
y
,。 解：z y y xy x
y x x
x =?+
ln ln 1 z xy xy y
y y x x =+
-11ln() 四、应用题。
1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.0324002
2
y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？
解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有
利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(2
2
y xy x y x y x y x L +++++-+=
)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，
令???=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L y
x
，解得唯一驻点（120，80）.
又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得
0105.332>?=--B AC .
得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.
五、证明题 1、设
)11(y
x e z +-=, 求证z y
z y x z x 222
=??+??. 证明： 因为2)1
1(1x e x z y x ?=??+-, 2
)1
1(1y e y z y x ?=??+-, 所以 z e e
y z y x z x y x y x 2)1
1()1
1(22=+=??+??+-+- 2. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明
1=??+??y
z x z
证明：设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y -3z )-1,
F y =2cos(x +2y -3z )?2-2=2F x , F z =2cos(x +2y -3z )?(-3)+3=-3F x ,
313=--=-=??x x z x F F F F x z , 3232=--=-=??x x z y F F F F y z ,
于是
13
231=+=--=??+??z z z x F F F F y z x z .
3、设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明
1-=????????x
z z y y x .
解：因为
x y F F y x -=??, y z F F z y -=??,
z
x F F x z
-=??, 所以
1)()()(-=-?-?-=????????z
x y z x y F F F F F F x z z y y x .