向量解题技巧
一、怎么样求解向量的有关概念问题 掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确
(1)若c a c b b a ===则,,；
(2)两向量b a
、相等的充要条件是b a =且共线、b a ；
(3)b a
=是向量b a
=的必要不充分条件；
(1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C D B A
=是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；
(2)D C B A
=的充要条件是A 与C 重合，D B 与重合。
二、向量运算及数乘运算的求解方法
两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差
是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b
不共线，则b a b a -+与是以a 与b
为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐
标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2211y x B y x A ，则
=-=A O B O B A
),(),(),(12121122y y x x y x y x --=-。
例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a --== 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1(=-=-==c c b a 则
b a D b a C b a B b a A 2
123.2123.2321.2321.+---+-
例3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(-B A 若点
满足C B O A O C O
βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹为（ ）
52. 02.0)2()1.( 01123.22=-+=-=-+-=-+y x D y x C y x B y x A
例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足
)(C A C
A B A B A A O P O
++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定过ABC ?的（）
.A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心
例5 设G 是ABC ?内的一点，试证明:
(1)若G 是为ABC ?重心，则0
=++C B B G A G ；
(2)若0
=++C B B G A G ，则G 是为ABC ?重心。
三、三点共线问题的证法
证明A,B,C 三点共线，由共线定理(共线与C A B A )，只需证明存在实数λ，使C A B A
λ=，，其
中必须有公共点。
共线的坐标表示的充要条件，若),(),,(2211y x b y x a ==
，则
)(0//12211221y x y x y x y x b a b a ==-?=?
λ
例1 已知A 、B 两点，P 为一动点，且B tA A O P O
+=，其中t 为一变量。
证明：1.P 必在直线AB 上；2.t 取何值时，P 为A 点、B 点？
例2 证明：始点在同一点的向量b a b a
23-、
、的终点在同一直线上 例3 对于非零向量b a b a b a b a +≤+≤-求证：
、, 四、求解平行问题
两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。
例1 已知),1(),1,2(),1,0(),0,1(y Q P N M 且Q P N M
//，求y 的值。
例2 已知点)2,1(-A ，若向量,132)3,2(==B A a B A
同向，与则B 点的坐标是____.
例3 平面内给定三向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a
，则：
(1) 求;23c b a -+ (2)n m c n b m a 、的实数求满足
+= (3) 若;),2//()(k a b b k a 求实数
-+
(4) 设.,1)//()(),(d c d b a c d y x d 求且满足=-+-=
例4
(1) 已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ，求的坐标的交点，与P B D C A
。
(2) 若平行四边形ABCD 的顶点的坐标。求顶点D C B A ),6,5(),1,3(),2,1(--- 五、向量的数量积的求法
求数量积：??
???+=??=?2121cos y y x x b a b a b a
坐标法：定义法：θ 当?=?=1800//θθ和时，b a 两种可能。故b a b a
?±=?
一些重要的结论：2
2a a a a =?=；2222)(b b a a b a +?±=±；22))((b a b a b a -=-+
例1 设c b a
,,是任意的非零的向量，且相互不共线，则（ ） 2249)23)(23(()(;
;0)()(b
a b a b a ④c b c a a c b ③b a b a ②b a c c b a ① -=-+??-?-<-=?-?垂直不与） 其中是真命题的为（ ）
②④③④C ②③B ①②A D. . . .
例2 已知平面上三点A 、B 、C ，满足,5,4,3===A C C B B A 则B A A C A C C B C B B A ?+?+?的
值等于________。
例3 已知向量b a 和的夹角为?120，且.______)2(,5,2=?-==a b a b a
则
六、如何求向量的长度
形如b a
μλ+的模长求法：开方转化为含数量积运算先平方→→，即： 2
22222b b a a b a μλμλ+?±=±
例1 已知向量____,,60,4,,=+?==b a b a b a b a
则的夹角为与____,=+b a 其中 .___________,方向夹角为与方向的夹角为与a b a a b a
-+
例2 设向量的值。求满足b a b a b a b a
+=-==3,323,1,
七、如何求两向量的夹角
夹角公式：
2
2
2221212
121cos y x y x y y x x b
a b
a +?++=?=
θ
例1 已知._____,,36)5
1()3(,12,10的夹角求且b a b a b a
-=?==
例2 若21e e
与是夹角为?60的单位向量，且的夹角与及求b a b a e e b e e a ?+-=+=,23,22121。
八、垂直问题的求解
向量垂直的充要条件：
002121=+?=??⊥y y x x b a b a 例1若向量所成的角。与则满足b a b a b a b a
,,-=+
例2在ABC ?中ABC k C A B A ?==且),,1(),3,2(
的一个内角为直角，求k 的值。
例3已知λλ垂直，求与且。
b a b a b a b a
-+==⊥23.3,2, 例4已知点的坐标。求于点D D B O D A B A O ,),3,6(),5,0(),0,0(
⊥
九、向量的数量积的逆向应用
求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。
例1已知?,5,1),3,4(==?=-=b b a b a
则且
例2求与向量的坐标的向量２
的夹角相等，且模长为和c b a
)3,1()1,3(=-= 例3若平面向量) (,53180)2,1(==?-=b b a b
则，且的夹角是
与向量 )3,6.( )3,6.( )6,3.( )6,3.(----D C B A
例4已知._______,15)4,3(==-=b b a b
则垂直，且与向量向量
十、线段定比分点公式的运用技巧
求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点和终点，
定比分点坐标公式：??
??
?++=++=
λλλλ112121y y y x x x 中点坐标公式：?????
+=+=
2221
21y y y x x x ，
重心坐标公式：??
???++=
++=333
21321y y y y x x x x
例1设点P 分有向线段→21P P 所成的比为
43
，则1P 分→P P 2所成的比为________。 例2已知两点Q P Q P 则),3,2(),9,4(--与y 轴的交点分有向线段所成的比为Q P
___.
十一、利用平移公式解题
点),(y x A 按向量的图像按，而函数平移，得到点)(),(),(x f y k y h x k h a =++=
向量
k h x f y k h a +-==)(),(式为平移得到的函数的解析
，解题时要注意理解图像平移前后的关系。
例1已知两个点则：向量),12,3(),14,2('),2,1(-=-a P P
(1)把P 按向量a
平移得_______.
(2)某点按a
,得到'P ，求这个点坐标。
(3)P 按某向量平移得到'P ,求这个向量坐标。
例2将函数4)12(log 3-+=x y 的图像按向量a
平移后得到的是函数)2(log 3x y =的图像，那么
a
的坐标是_______.
例3将函数平移，的图像按向量a x y 2sin 2=得的图像，
1)3
2sin(2++=π
x y 则向量a
的坐标是（ ）
)1,6
( )1,3( )1,6.( )1,3.(π
πππD C B A --
十二、怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角
主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角变换，诱导公式。
正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===；A R a sin 2?=，B R b sin 2?=，
C R c sin 2?= 三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===?。
余弦定理：bc
a c
b A A b
c c b a 2cos ;cos 22
222
2
2
-+=-+=
下面关系式需熟记：在ABC ?中
C B A C B A cos )cos( sin )sin(-=+=+
C B
A C
B A sin )2
cos( 2cos )2sin(
=+=+ 例1 在ABC ?中，?,4:3:2sin :sin :sin =∠=ABC C B A 则
例2 已知ABC ?中的最大角A 是最小角C 的二倍，且c b a 、、成等差数列，则____::=c b a 例3 已知c b a 、、是ABC ?中C B A ∠∠∠,,的对边，c b a 、、成等差数列，?=∠30B ，ABC ?的面积为
2
3
，那么_____=b 。 例4在ABC Rt ?中，的值－求B A c b a C ,2
6,2
=
+=
π。
十三、如何判定三角形的形状
原则上是将角化成边或将边化成角，主要工具是正余弦定理和三角恒等变形及代数变形。 注意：做等式变形过程中因式不可直接约分！
例1 在ABC ?中，若,sin sin cos 2C A B =?则ABC ?的形状一定是（ ）
等边三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形
. . . .D C B A 例2 关于02
cos
cos cos 2
=--c
B A x x x 的方程有一根为1，则AB
C ?的形状一定是（ ） 钝角三角形锐角三角形直角三角形等腰三角形
. . . .D C B A 例3 在ABC ?中，则,tan tan 2
2A b B a =ABC ?是（ ）
.D
C
B
A
.
.
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形.
等腰或直角三角形
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二：向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1（1）,a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-
为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(2 1，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α －3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的
取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－
高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法
高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C 在以 O 为圆心的圆弧上变动.若其中 ,则的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，13(,)2B -，(cos ,sin )C θθ。 Q 13(cos ,sin )(1,0)(,)2x y θθ∴=+-即 cos 23sin y x y θθ?-=????= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 πθ≤≤。 因此，当3 π θ=时，取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===u u u r u u u r u u u r 点Q 为射线OP 上的一个动点，当QA QB u u u r u u u r g 取最小值时，求.OQ u u u r 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ uuu r 与OP uuu r 同向，故可以得到关于OQ uuu r 坐标的一个 关系式，再根据QA QB u u u r u u u r g 取最小值求.OQ u u u r 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥u u u r u u u r ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--u u u r u u u r OA u u u r OB uuu r 120o AB u u u v ,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ,x y R ∈x y +,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r x y +图 1 1
高中数学经典解题技巧和方法：平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
20高考数学平面向量的解题技巧
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量 一、向量的有关概念及运算 解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点： （1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。 （2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻 （3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。 例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)= （，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +?= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧：与平面向量数量积有关的问题 1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥?=?+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。 2．求长度问题：2||a a a =，特别地1122(,),(,),||(A x y B x y AB x =则 3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据 2 22 222cos(,).||||a b a b a b x x y ==++ 例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uuu r 等于（ ）
平面向量常用的方法技巧
备考方略 ＜３ 平面向量常用的方法技文Ｋ灼 ＊ ＞ ＼ｉ＾ｉ 北京市陈经纶中学周明芝 －－ 特别提示：【解】对于①於＋３ ＝ ０ 平面向量具有代數几何双重身份，从近几年对于②ＡＳＸＳ＋Ｓ？５（ＸＪ＋ ｃ５）ａ５ａ５ｏ ＝＝ 的高考试题看对向量的考查力度在逐年加大并且 对于③ 强调了向量的知识性与工具性，重点考查向量的四 对于④＋（ｇ 种运算 、 两个充要条件等核心知识，考查向量的几Ｍ ＝ＮＰ＋前＝〇 Ｐ 何形式与代教形式的相互转化技能有些问题的处理，综上知应填①②③④ 对变形技巧要求高，具有定的难度因此，要想在【小结】向量的加减法法则是解题的基础在运用时平面向量试题的求解中取得高分，必须在理解向量 要注意交换律和结合律的使用 熟练四种运算和两个充要条件应用的基础上 概念、 例２（２０１１湖南）在边长为１的正三角形ＡＢＣ中 认 真梳理 常 用 的 方法 和技巧 逐 步提高解 题 能 力 设则Ｘ５？ 【分析】 利用边长为１和正三角形内角度数 ？ 并注意 ４把和进行拆分 方法一、分解合成法 由题意沒ｒｓ技瓦＆茂 【解】＝ｊ ＝分解是指把个向量拆成几个向量有利于处理向 量前面的系数合成是指利用向量加减运算多项合成ｃ￥＝ｙＣ＾ｃＳ 项减少项数从而达到化简的目的在解题时要灵活运 用向量加法法则和首尾相连的向量和为零等技巧 例１化简下列各式①万２十否ｆ＋亡芳②疋§１＝＋＝ ＋節成③孩前＋滅④胡＋前威ｃＪｃ％ ２３６４ 结果为零向量的序号是【小结】根据加、减法法则灵活地进行合理拆分是解［分析】 对于化简题，应灵活运用加法交换律，尽可题的关键 能使之变为首尾相连的向量然后再运用向量加法结合律 练习１在ＡＡＢＣ中＝ｃｆ＝ｃｆ若点Ｄ满足 訪＝２万Ｐ则力５＝（） 求和 ２０１７ １ ７ｃｃｅｅｖ
平面向量解题大全
平面向量解题大全 考查内容：平面向量的线性运算，基本定理，坐标表示，数量积。 补充内容：特殊化策略、坐标法、函数建模在平面向量中的应用。 1、设向量)0,1(=a ，?? ? ??=21,21b ，则下列结论中正确的是（ C ） A 、b a = B 、2 2=?b a C 、b a -与b 垂直 D 、b a // 2、平面向量a 与b 的夹角为 60，()0,2=a ，1=b ，则=+b a 2（ B ） A 、3 B 、23 C 、4 D 、12 3、平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ?的面积等于（ C ） A 、222)(b a b a ?- B 、222)(b a b a ?+ C 、222)(2 1b a b a ?- D 、222)(21b a b a ?+ 4、在ABC ?中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ?+等于（ A ） A 、49- B 、43- C 、43 D 、49 5、如图，设,P Q 为ABC ?内的两点，且2155AP AB AC =+，AC AB AQ 4132+=， 则ABP ?的面积与ABQ ?的面积之比为（ B ） A 、15 B 、45 C 、14 D 、13 解析图：
解析：如图，设25AM AB =，15 AN AC =，则AP AM AN =+，由平行四边形法则 知//NP AB ，所以5 1==??AC AN S S ABC ABP ，同理可得41=??ABC ABQ S S ，故54=??ABQ ABP S S 。 6、已知P N O ,,在ABC ?所在平面内，且OC OB OA ==，0=++NC NB NA ， 且PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则点P N O ,,依次是ABC ?的（ C ） A 、重心 外心 垂心 B 、重心 外心 内心 C 、外心 重心 垂心 D 、外心 重心 内心 7、已知P 是ABC ?所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ?的（ C ） A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心 8、已知O 是ABC ?所在平面内一点，满足OA OB OB OC ?=?=OC OA ?，则点O 是ABC ?的（ D ） A 、三个内角的角平分线的交点 B 、三条边的垂直平分线的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条高的交点 9、已知O 是平面内的一个点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足 [)+∞∈???? ? ??++=,0,λλAC AC AB AB OA OP ，则点P 的轨迹一定过ABC ?的（ B ） A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心 10、已知两点()()1,0,1,0M N -，若直线340x y m -+=上存在点P 满足 0PM PN ?=，则实数m 的取值范围是（ D ） A 、(,5][5,)-∞-+∞ B 、(,25][25,)-∞+∞ C 、[]25,25- D 、[]5,5-
向量解题技巧
向量解题技巧
一、怎么样求解向量的有关概念问题 掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确 (1)若c a c b b a 则,,； (2)两向量b a 、相等的充要条件是b a 且共线、b a ； (3) b a 是向量 b a 的必要不充分条件； (1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C D B A 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (2) D C B A 的充要条件是A 与C 重合， D B 与重合。 二、向量运算及数乘运算的求解方法 两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b 不共线，则 b a b a 与是以a 与b 为邻边的平行四边形两条对角线 所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2 2 1 1 y x B y x A ， 则 A O B O B A ) ,(),(),(12121122y y x x y x y x 。 例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1( c c b a 则 b a D b a C b a B b a A 2 123.2123.2321.2321. 例3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已
知两点),3,1(),1,3( B A 若点 满足C B O A O C O ，其中R ,且 1 ，则点 C 的轨迹为（ ） 52. 02.0)2()1.( 01123.22 y x D y x C y x B y x A 例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ) (C A C A B A B A A O P O ，),0[ ，则P 的轨迹一定过ABC 的（） . A 外心 . B 内心 . C 重心 . D 垂心 例5 设G 是ABC 内的一点，试证明: (1)若G 是为ABC 重心，则0 C B B G A G ； (2)若0 C B B G A G ，则G 是为ABC 重心。 三、三点共线问题的证法 证明A,B,C 三点共线，由共线定理(共线 与C A B A )，只需证明存在实数 ，使C A B A ，，其中必须有公共点。 共线的坐标表示的充要条件，若 ) ,(),,(2211y x b y x a ， 则 ) (0//12211221y x y x y x y x b a b a 例1 已知A 、B 两点，P 为一动点，且B tA A O P O ，其中t 为一变量。 证明：1.P 必在直线AB 上；2.t 取何值时，P 为A 点、
《利用平面向量的解题技巧》
利用平面向量的解题技巧 平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。下面举例说明。 一、用向量证明平面几何定理 例1. 用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。 已知：如图1，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点（不与A 、B 重合），求证：∠APB ＝90°。 图1 证明：联结OP ，设向量b OP a OA =→ =→，，则a OB -=→且b a OP OA PA -=→-→=→，b a OP OB PB -=→ -→=→ 0|a ||b |a b PB PA 2222=-=-=→ ?→∴ → ⊥→∴PB PA ，即∠APB ＝90°。 二、用向量求三角函数值 例2. 求值：7 6cos 74cos 72cos πππ++ 解：如图2，将边长为1的正七边形ABCDEFO 放进直角坐标系中，则 ) 01(OA ，=→ ， ) 7 12sin 712(cos FO )710sin 710(cos EF )78sin 78(cos DE )7 6sin 76(cos CD )74sin 74(cos BC )72sin 72(cos AB ππππππππππππ，，，，，， ，，，，，=→=→=→=→=→=→
图2 又0FO EF DE CD BC AB OA =→ +→+→+→+→+→+→ 07 12cos 710cos 78cos 76cos 74cos 72cos 1=++++++∴ππππππ 又7 2cos 712cos 74cos 710cos 76cos 78cos ππππππ===，， 2176cos 74cos 72cos 0)7 6cos 74cos 72(cos 21- =++∴=+++∴ππππ ππ 三、用向量证明不等式 例3. 证明不等式)b b )(a a ()b a b a (2 221222122211++≤+ 证明：设向量)b b (b )a a (a 2121，，，==，则222 12221b b |b |a a |a |+=+=，， 设a 与b 的夹角为θ，22 2122 21 2211b b a a b a b a | b ||a |b a cos +++=?= θ 又1|cos |≤θ 则)b b )(a a ()b a b a (2 221222122211++≤+ 当且仅当a 、b 共线时取等号。 四、用向量解物理题 例 4. 如图3所示，正六边形PABCDE 的边长为b ，有五个力 →→→→PD PC PB PA 、、、、→ PE 作用于同一点P ，求五个力的合力。
专题七：平面向量常考题型的解题技巧
平面向量专题讲解 向量是数学中的重要概念，以向量为工具可以把几何问题（平面、空间）转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现形与数的结合. 题型一：考查与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）. ⑸零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. 题型二：与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量（对应坐标相加）. ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋|b |； ②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ， 且|+|=||-||；
若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. ⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中） +++=.(□ABCD 中) ⑷判定两向量共线的注意事项 如果两个非零向量，，使=λb （λ∈R ），那么∥； 反之，如∥，且≠0，那么=λ. 这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行. ⑸数量积的8个重要性质 ①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，则 ③?⊥)1|.(cos ||==?=?e a θ0=?（∵θ=90°，)0cos =θ ④在实数运算中ab =0a ?=0或b=0.而在向量运算中b a ?=0a ?=0或b =0是错误的，故0=a 或0=b 是b a ?=0的充分而不必要条件. ⑤当a 与b 同向时b a ?=||||b a ?(θ=0,cos θ=1); 当a 与b 反向时，b a ?=-||||b a ?(θ=π,cos θ=-1)，即a ∥b 的另一个充要条件是||||b a ?=?. 特殊情况有2=?=2 |a .
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 . 例2：已知| a |=1,| b |=1，a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ，y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是多少？ 题型二：向量共线与垂直条件的考查 例1（1）,a b r r 为非零向量。“a b ⊥r r ”是“函数()()()f x xa b xb a =+?-r r r r 为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在所在平面内，且，且，则点O ，N ，P 依次是的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 23).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(21，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α－3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==，若正数k 和t 使得向量
b t a k y b t a x 1)1(2+-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n) (m ﹤2 π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象，求实数m 、n 的值. 例8：已知a =（cosα，sin α）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证： a +b 与a -b 互相垂直； （2）若k a +b 与a -k b 的模大小相等(k ∈R 且k ≠0)，求β－α 巩固练习 1.函数的图象按向量a r 平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量a r 可以等于 1. 2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________. 3给出下列命题 ① 非零向量、满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°； ② ·＞0是、的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数y =|x -1|的图象按向量=（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y =|x |； ④若（）·（）=0，则△ABC 为等腰三角形 以上命题正确的是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
向量解题技巧
一、怎么样求解向量的有关概念问题 掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确 (1)若c a c b b a ===则,,； (2)两向量b a 、相等的充要条件是b a =且共线、b a ； (3)b a =是向量b a =的必要不充分条件； (1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C D B A =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (2)D C B A =的充要条件是A 与C 重合，D B 与重合。 二、向量运算及数乘运算的求解方法 两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差 是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b 不共线，则b a b a -+与是以a 与b 为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐 标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2211y x B y x A ，则 =-=A O B O B A ),(),(),(12121122y y x x y x y x --=-。 例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a --== 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1(=-=-==c c b a 则 b a D b a C b a B b a A 2 123.2123.2321.2321.+---+- 例3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(-B A 若点 满足C B O A O C O βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹为（ ） 52. 02.0)2()1.( 01123.22=-+=-=-+-=-+y x D y x C y x B y x A 例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 )(C A C A B A B A A O P O ++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定过ABC ?的（） .A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心 例5 设G 是ABC ?内的一点，试证明: (1)若G 是为ABC ?重心，则0 =++C B B G A G ；
平面向量的解题技巧
第四讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题, 掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O是ABC △所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD =Ｄ．2AO OD AO OD = AO OD =Ｂ．2 =Ｃ．3
专题24 平面向量中最值、范围问题-备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(原卷版)
【高考地位】 平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】 方法一 利用基本不等式求平面向量的最值 使用情景：一般平面向量求最值问题 解题模板：第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系； 第二步 运用基本不等式求其最值问题； 第三步 得出结论. 例1设M 是△ABC 内一点，且23AB AC ?=，30BAC ∠=?，定义()(,,)f M m n p =，其中m ，n ， p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若1 ()(,,)2 f M x y =，则14x y +的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18 例 2 如右图所示，已知点G 是ABC ?的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且 ,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为（ ） A ．2 B ． 1 3
C ． 3223+ D ．3 4 【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ?的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为（ ） A ．2 B ． 13 C ．43 D ．3 4 【变式演练2】已知点A （1,-1），B （4,0），C （2,2）．平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（1≤λ≤a ，1≤μ≤b ）的点P （x,y ）组成的区域．若区域D 的面积为8，则a+b 的最小值为 ． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠=== 为平行四边形内一点，且 2 2 AP = ，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ，则2u λ+的最大值为 ． 方法二 利用向量的数量积m n m n ?≤求最值或取值范围 使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题 解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量； 第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论. 例3 已知OAB ?的顶点坐标为(0,0)O ，(2,9)A ，(6,3)B -， 点P 的横坐标为14，且OP PB λ=，点Q 是边AB 上一点，且0OQ AP ?=. （1）求实数λ的值与点P 的坐标； （2）求点Q 的坐标； M N A B G Q
向量解题技巧
第二讲平面向量的解题技巧 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【知识回顾】 1.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a（交换律）; (2)（λa）·b= λ（a·b）=λa·b= a·（λb）; (3)（a+b）·c= a·c +b·c. 2.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且
只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2． 不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 3．向量平行的坐标表示 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a P b(b ≠0)12210x y x y ?-=. 4. a 与b 的数量积(或内积) a · b =|a ||b |cos θ． 5. a ·b 的几何意义 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 6.平面向量的坐标运算 (1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r . (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 7.两向量的夹角公式 cos θ= (a =11(,)x y ,b =22(,)x y ). 8.平面两点间的距离公式 ,A B d =||AB =u u u r =11(,)x y ，B 22(,)x y ). 9.向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=. 10.线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=u u u r u u u r ，则 121 211x x x y y y λλ λλ+?=??+? +?=?+? ?121OP OP OP λλ+=+u u u r u u u r u u u r ?12 (1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u r （1 1t λ =+）. 11.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123 ( ,)33 x x x y y y G ++++.
平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点小结及常用解题方法 一、平面向量两个定理 1.平面向量的基本定理 2.共线向量定理。 二、平面向量的数量积 1.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0. 2.a b ?的几何意义：数量积a b ?等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积. 三坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则 （1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--. （2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==. （3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这 个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+.（5）向量的模： 222222||||a a x y a x y ==+?=+. 四、向量平行(共线)的充要条件 221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ?=≠??=?-=. 五、向量垂直的充要条件 12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥??=?+=-?+=. 六．12121122222 1 (,),(,)cos ,.a x y b x y a b x y x === +七、向量中一些常用的结论 1.三角形重心公式 在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则重心坐标为1 23123(,) 33 x x x y y y G ++++. 2.三角形“三心”的向量表示 （1）0GA GB GC G ++=?为△ABC 的重心. （2）PA PB PB PC PC PA P ?=?=??为△ABC 的垂心. （3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?为△ABC 的内心； 3.向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线?存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且 1αβ+=． 4.在ABC △中若D 为BC 边中点则1 ()2 AD AB AC =+ 5.与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± 七．向量问题中常用的方法 （一）基本结论的应用 1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2 16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=