高三数学竞赛讲义教案及练习 §22几何变换

§22几何变换

一、 平移变换

1． 定义 设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点变到，使得，则T 叫做沿有向线段的平移变换。记为，图形 。 2． 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。

二、 轴对称变换

1． 定义 设是一条给定的直线，是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点变到，使得与关于直线对称，则叫做以为对称轴的轴对称

变换。记为，图形 。 2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。

三、 旋转变换

1． 定义 设是一个定角，O 是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把点O 仍变到O （不动点），而把平面图形F 上任一点变到，使得，且

，则R 叫做绕中心O ，旋转角为的旋转变换。记为，

图形 。

其中时，表示的始边到终边的旋转方向为顺时针方向；时，为逆时针方向。

2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。

四、 位似变换

1． 定义 设O 是一个定点，H 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点变到，使得，则H 叫做以O 为位似中心，为位似比的位似变

换。记为，图形 。

X 'X XX ='')(X X PQ T ??

→?')(F F PQ T ??→?l S X 'X X 'X l S l ')(X X l S ??→

?')(F F l S ??→?αX 'X OX OX ='α=∠'XOX α'),(X X O R ??→?α'),(F F O R ??→?α0<α'XOX ∠OX X O '0>αX 'X OX k OX ?='k '),(X X k O H ??→?'),(F F k O H ??→?

其中时，在射线上，此时的位似变换叫做外位似；时, 在射线的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。

2． 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。 例题讲解

1．P 是平行四边形内一点，且。

求证：

2．“风平三角形”中，，求证：

3．在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。

0>k 'X OX 0

'''<++???COA BOC AOB S S S 。

；求证于交，连接于交，连接、的两弦点引圆的中点，过的弦圆NP MP N AB CF M AB DE EF CD o P AB o P =:.4

的周长最小；

，使得、、上各求一点、及射线内一个定圆，试在圆是给定锐角圆PQR R Q P CB CA o ACB o ?∠:5AD

RP QR PQ PQR D BC AD A ABC 290.6>++?⊥?≥∠?求证：，是它的任一内接三角形，于，中，;

.7MQ MP MQ MP BC M AQC APB AC AB ABC ⊥=?，的中点，求证：是，、直角三角形为斜边分别向外作等腰、的边以)(;,120.

8为费马点求证：内任意一点，是内一点，是已知O OC OB OA PC PB PA ABC P COA BOC AOB ABC O ++≥++??=∠=∠=∠?三线也相交于一点；、、求证：，三线交于一点、、，设、、、、、垂线六个点分别作所在边的，过上述、、、、、分别交于点、、的三边与圆212121212121212121.9c b a D c b a c c b b a a C C B B A A AB CA BC ABC O ?ON

OM N M AC AB PO P BC O D O ABC AD =?，求证：、于、分别交，连接并延长

于的切线交作圆的直径，过的外接圆是.10

例题答案

【例1】P 是平行四边形内一点，且。

求证：

【例2】“风平三角形”中，

求证：

【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。 ABCD

PCB PAB ∠=∠PDA PBA ∠=∠?=∠=∠===60'',2'''BOC AOB CC BB AA 4

376';

85,21;74,82'',';63,51,)(∠∠∠∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠==∠=∠∠=∠??????→??＝，即＝四点共圆。故、、、得由已知知都是平行四边形，、由则【分析】作变换C P D P CB PP ADPP BC AD PP DCP ABP DCP

ABP AD T 3

'''<++???COA BOC AOB S S S 三角形为等边共线，、、共线，、、共线，、、记为重合，

和，则【分析】作变换OPQ P B O Q A O Q R P R R R R R PR B BOC AQR OC A BB T A A T ?==???→?????→??';'''''''''','')'()'( 3

'''<++???COA BOC AOB S S S

【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或

题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。

形时，周长最小；

故当四边形为平行四边同理可得的中点；

、分别为、，的中点且是；

交于、平行四边形；延长是一个符合条件的

，则，令、的中点、【分析】取DC

B A D

C AB BC

D A BC BC BG BC AD CG AG C F EC FC CC EF AC

E G CC A

F D BC A C A AC F E BD AC EF T +≥

++=≥+=+∴∴??→?''

''2',//''//''''')( PM

PN M PF PFN PEN PDE M PF F D M P EDF EFF EDF FPN MDF PM F AB FF GH AB GH FF PF PF PM F FPN PB PA PF PF PF

PF GH P o F F F P GH GH S GH S GH S =????∴∠=∠=∠∴∴?

=+∠∠=∠+∠=∠+∠∴∴⊥⊥=∠=∠∴??→???→?=∴∈∈??→?'''180'''''//',''

'''',')()()(四点共圆

、、、；

，又，，，，；又圆显然的直径，为过【分析】设 )(,2|11|,22曲线系知识解析法证明：利用二次则中点的距离为到，，已知、于交、，连接、作两条相交弦，过上的一点内一弦的圆已知半径【评注】一般结论为：r R a PN PM a AB P r OP N M AB ED CF EF CD P P AB o R -=-=的周长最小；，使得、、上各求一点、及射线内一个定圆，试在圆是给定锐角】圆【例PQR R Q P CB CA o ACB o ?∠5。

；求证于交，连接于交，连接、的两弦点引圆的中点，过的弦圆】【例NP MP N AB CF M AB DE EF CD o P AB o P =:4

【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。

顶点。

为所求的三角形的三个、、则、于、分别交，连接，令，交圆周于连接做法：

的周长为最小，于是有为最小，从而取最小值时，当＝理，是该圆直径，由正弦定四点共圆，、、、，则于交，于交设角形；

的情况下周长最小的三是在取定，显然、于

、分别交，连接，令上任取一点【分析】在圆R Q P R Q CB CA P P P P P P P OC R Q P EF CP ECF CP EF CP P F C E EF

P P P R R Q Q P F CB P P E CA P P P R Q P R Q CB CA P P P P P P P o CB S CA S CB S CA S 212)(1)(1100000210111102010011011212)(01)(00,;sin 2,??→???→??∴∠==++???→???→?

AD

RP QR PQ PQR D BC AD A ABC 2906>++?⊥?≥∠?求证：，是它的任一内接三角形，于，中，】【例;7MQ MP MQ MP BC M AQC APB AC AB ABC ⊥=?，的中点，求证：是，、直角三角形为斜边分别向外作等腰、的边】以【例AD

RP QR PQ AD AP AP AP RP QR Q P RQP P P P A A AP P AP P A RP QR Q P RP QR PQ AP AP AP Q P PQ RP RP P P P P AC S AB S 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' , 180 2 ' ' ' , 90 '

' ' ' ' ' , ' ' , ' , ' ' , ' ) ( ) ( > + + ∴ > = + > + + ∴ ? ≥ ∠ = ∠ + ∠ ∴ ? ≥ ∠ + + = + + ∴ = = = = ? ? → ? ? ? → ? 的内部； 上或在凸四边形 点在线段 又 则 【分析】设

OC

OB OA PC PB PA C O OO AO AC C P PP AP C O O A O BO BOC C BO BPC C BP BOC C BO PB PP OB OO BPP BOO PP OO P P O O C C B R B R B R ++≥++++=≥++∴∴∠-?=?=∠=∠??????=∴?????→????→????→??-?-?-即：四点共线，、、、；

由于，显然，

＝，都是正三角形

’、则；

、连接【分析】将'

'''''''''180120'''''''''',',',')60,()60,()60,()

(;,1208为费马点求证：内任意一点，是内一点，是】已知【例O OC OB OA PC PB PA ABC P COA BOC AOB ABC O ++≥++??=∠=∠=∠?三线也相交于一点；

、、求证：，三线交于一点、、，设、、、、、垂线六个点分别作所在边的，过上述、、、、、分别交于点、、的三边与】圆【例2121212121212121219c b a D c b a c c b b a a C C B B A A AB CA BC ABC O ?三线也相交于一点

、、即：的公共点

、、也是像下的像在变换的公共点、、，同理：成中心对称，关于圆心、【分析】2122121212

)180,(12)180,(12

)180,(121')180,0(c b a c b a D R D c b a c c b b a a O a a O R O R O R ?∴???→????→????→?∴???

； 且 而 显然： 都是等腰三角形， 、 则 ， ＝ ，使 到 ，延长 ，使 到 【分析】延长 MQ MP MQ MP BF MQ EC PM BF EC BF EC F C B E CAF

BAE CQ QF F CQ BP PE E BP A R A R ⊥ = ∴ ⊥ = ∴ ? ?? → ? ? ?? → ? ? ? = ? ? , 2

1 // ,

2 1 // ; , , , ) 90 , ( ) 90 , (

ON OM N O B O BN O BC G AC G O ACB GB O ACB DB O DB O GB O F D B O BG O ODG BG

O OPG BN MN OPG ODG O G D P ODP OGP DB

DG G O OG G BC ON N O OM B O N O B N O M B M N N O O AM AB A H AM AB A H AM AB A H =∴=∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∴?=∠=∠=

∴???→????→????→?'

''''//',','''','''//,90'''''',

,',')()()(的中点，是的中点，是而；而四点共圆

、、、有，而由四点共圆

、、、、、、，连接中点取三点共线，且、、三点共线，、、而【分析】设、、、 ON OM N M AC AB PO P BC O D O ABC AD =?，求证：、于、分别交，连接并延长于的切线交作圆的直径，过的外接圆是】【例

10