高考数学压轴题精选(一)(老师用)

高考数学压轴题精选(一)

1．（本小题满分12分）设函数x ax

x

x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数。求正实数a 的取值范围；

设1,0>>a b ，求证：

.ln 1b

b a b b a b a +<+<+ 解：（1）01

)(2

'

≥-=

ax

ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， x

a 1

≥

∴对),1[+∞∈x 恒成立

又

11

≤x

1≥∴a 为所求。

（2）取b b a x +=

，1,0,1>+∴

>>b

b

a b a ，

一方面，由（1）知x ax

x

x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数，

0)1()(

=>+∴f b

b

a f

0ln 1>+++?+-

∴

b b a b b a a b b

a …

即b

a b b a +>+1

ln

另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G

)1(01

11)('>>-=-

=x x

x x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G

∴当1>x 时，0)1()(>>G x G

∴x x ln >即

b

b

a b b a +>+ln

综上所述，

.ln 1b

b a b b a b a +<+<+ 2．已知椭圆C 的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上，右焦点到直线10x y -+=

（1）求椭圆C 的方程；

？

（2）过点F （1，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，设,(2,0)FA FB T λ=，若

||],1,2[+--∈求λ的取值范围。

解：（1

=1c =…………………1分

由题意1,b a =∴=

所以椭圆方程为2

212

x y +=………………………3分 （2）容易验证直线l 的斜率不为0。

故可设直线l 的方程为1x ky =+，

2

212

x y +=代入中，得.012)2(22=-++ky y k

设1122(,),(,),A x y B x y

则2

22

21+-=+k k y y .21

221+-=k y y ……………………………5分 ∵λ=∴有.02

1<=λλ，且y y

{

222

1222

12()414222

y y k k y y k k λλ+∴=-?++=-++由

021

2121

2

5

]1,2[≤++≤-

?-≤+

≤-?--∈λ

λλ

λλ.72

07202

4212222≤≤?≤?≤+-≤-?k k k k …………7分

∵).,4(),,2(),,2(21212211y y x x y x y x +-+=+∴-=-=

又.2

)

1(42)(4,222221212

21++-=-+=-+∴+-=+k k y y k x x k k y y

故2212212)()4(||y y x x TB TA ++-+=+

2

22222222222)2(8

)2(28)2(16)2(4)2()1(16+++-+=

++++=k k k k k k k 2

22)2(8

22816+++-

=k k ……………………………………………………8分

令720.2

12

2≤≤+=

k k t ∴21211672

≤+≤k ，即].21,167[∈t ∴.2

17

)47(816288)(||222--=+-==+t t t t f

而]21,167[∈t ，∴169()[4,]32

f t ∈

∴].8

2

13,

2[||∈+TB TA ………………………………………………………10分 '

3．设函数322

()f x x ax a x m =+-+(0)a >

（1）若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点，求m 的范围； （2）若函数()f x 在[]1,1-内没有极值点，求a 的范围；

（3）若对任意的[]3,6a ∈，不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）当1a =时32

()f x x x x m =+-+，

因为()f x 有三个互不相同的零点，所以32

()0f x x x x m =+-+=， 即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根。

令32()g x x x x =--+，则'2

()321(31)(1)g x x x x x =--+=--+。 因为()g x 在(,1)-∞-和13(,)+∞均为减函数，在()

13

1,-为增函数， ]

m 的取值范围()5

271,-

（2）由题可知，方程'

2

2

()320f x x ax a =+-=在[]1,1-上没有实数根，

因为'2'2

(1)320

(1)3200f a a f a a a ?=+-≤?-=--≤??>?

，所以3a ≥

（3）∵'22

3()323()()a f x x ax a x x a =+-=-+，且0a >，

∴函数()f x 的递减区间为3(,)a a -，递增区间为(,)a -∞-和3(,)a

+∞；

当[]3,6a ∈时，[]31,2,3,a a ∈-≤-又[]2,2x ∈-，

∴{}max ()max (2),(2)f x f f =-而2

(2)(2)1640f f a --=-<

∴2

max ()(2)842f x f a a m =-=-+++，

又∵()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，

∴max ()1f x ≤，即28421a a m -+++≤，即2942m a a ≤--在[]3,6a ∈恒成立。

，

∵2942a a --的最小值为87-

4．（本题满分14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>，直线:l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切。

（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；

（Ⅱ）设椭圆1C 的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线1l 过点F 1，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂

直1l 于点P ，线段PF 2的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程；

（Ⅲ）若AC 、BD 为椭圆C 1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F 2，求四边形ABCD 的面积的最小

值．

解：（Ⅰ）2222222221,,22

c a b e e a b a a -=∴===∴=

22202:b y x y x l =+=+-与圆直线 相切22,2,4,8,

b b b a =∴==∴=

—

∴椭圆C 1的方程是22

1.84

x y += …………3分

（Ⅱ）∵MP=MF 2，∴动点M 到定直线1:2l x =-的距离等于它到定点F 2（2，0）的距离，∴动点

M 的轨迹C 是以1l 为准线，F 2为焦点的抛物线

∴点M 的轨迹C 2的方程为2

8y x = …………6分

（Ⅲ）当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的斜率为k ，

),(),,(2211y x C y x A ，则直线AC 的方程为(2).y k x =-

联立22

22221(2)(12)8880.84

x y y k x k x k x k +==-+-+-=及得 所以22121222

888

,.1212k k x x x x k k -+=

=++

||AC === (9)

由于直线BD 的斜率为k

k 1

,1--用代换上式中的k 可得||BD =

∵BD AC ⊥， <

∴四边形ABCD 的面积为22

22116(1)||||2(2)(12)k S AC BD k k +=?=++……．．12分

由2222

2

22

(12)(2)3(1)(12)(2)[

][]22

k k k k k ++++++≤= 所以2264

,122,19

S k k k ≥+=+=±当时即时取等号．

…………13分

易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积8S =

5．（本小题满分14分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a>b>0）的左．右焦点分别为F 1．F 2，离心率e ＝2

2，右

准线方程为x ＝2． （1）求椭圆的标准方程；

（2）过点F 1的直线l 与该椭圆相交于M ．N 两点，且|F 2M →＋F 2N →

|＝2263，求直线l 的方程． 解析：（1）由条件有???

c a

＝22，a

2

c ＝2

解得a ＝2，c ＝1．

∴b ＝a 2－c 2＝1．

;

所以，所求椭圆的方程为x 22＋y 2

＝1．

（2）由（1）知F 1（－1,0）．F 2（1,0）．

若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－1，

将x ＝－1代入椭圆方程得y ＝±2

2． 不妨设M ????－1，22．N ?

???－1，－22， ∴F 2M →＋F 2N →＝?

?

??－2，22＋????－2，－22＝（－4,0）．

∴|F 2M →＋F 2N →

|＝4，与题设矛盾． ∴直线l 的斜率存在．

设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k （x ＋1）． 设M （x 1，y 1）．N （x 2，y 2），联立?????

x 2

2＋y 2＝1，

y ＝k(x ＋1)

>

消y 得（1＋2k 2）x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0．

由根与系数的关系知x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，从而y 1＋y 2＝k （x 1＋x 2

＋2）＝2k

1＋2k 2

． 又∵F 2M →＝（x 1－1，y 1），F 2N →

＝（x 2－1，y 2）， ∴F 2M →＋F 2N →

＝（x 1＋x 2－2，y 1＋y 2）．

∴|F 2M →＋F 2N →

|2＝（x 1＋x 2－2）2＋（y 1＋y 2）2 ＝????8k 2＋21＋2k 22＋?

???2k 1＋2k 22＝4(16k 4＋9k 2＋1)4k 4＋4k 2＋1．

∴4(16k 4＋9k 2＋1)4k 4＋4k 2＋1＝????22632．

化简得40k 4－23k 2－17＝0，

解得k 2＝1或k 2＝－17

40（舍）．∴k ＝±1．

∴所求直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1．

>

6.（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()ln 1a f x x x

=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对

数的底数）．

（1）判断函数()f x 在区间(]0,e 上的单调性；

（2）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．

解（1）：∵()ln 1a f x x x

=

+-，∴221()a x a f x x x x -'=-+=．

令()0f x '=，得x a =．

①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]

0,e 上单调递增.

②若0a e <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减， 当(],x a e ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(]

,a e 上单调递增， ]

③若a e ≥，则()0f x '≤，函数()f x 在区间(]

0,e 上单调递减. ……6分

（2）解：

∵()()ln 1x

g x x e x =-+，(]

0,x e ∈，

()()()()ln 1ln 11x x g x x e x e '''=-+-+()1ln 11ln 11x x x e x e x e x x ??=+-+=+-+ ???

由（1）可知，当1a =时，1

()ln 1f x x x

=+-．

此时()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln10=，即1

ln 10x x

+-≥．

当(]00,x e ∈，0

0x e >，0

1ln 10x x +-≥，∴00001()ln 1110x g x x e x ??'=+-+≥> ???

． 曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解． 而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解． 故不存在(]

00,x e ∈，使曲线()y g x =在

0x x =处的切线与y 轴垂直……12分

)

7．（本小题满分12

分）已知线段CD =，CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=（a 为正常数）．

（1）建立适当的直角坐标系，求动点A 所在的曲线方程；

（2）若2a =，动点B 满足4BC BD +=，且OA OB ⊥，试求AOB ?面积的最大值和最小值． 解（1）以O 为圆心，CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系.

若2AC AD a +=<，

即0a <<动点A

所在的曲线不存在；若2AC AD a +==

a =，动点A

所在的曲线方程为

0(y x =

；若2AC AD a +=>

a >，动点A 所在的曲线方程为22

2213

x y a a +=-.……4分 (2)当2a =时，其曲线方程为椭圆22

14x y +=.由条件知,A B 两点均在椭圆2214

x y +=上，且

OA OB ⊥

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，OA 的斜率为k (0)k ≠，则OA 的方程为y kx =，OB 的方程为1y x k

=-

解方程组22

14y kx x y =??

?+=?? 得212

414x k

=+，22

12414k y k =+ >

同理可求得2

2

2

244k x k =+，2

22

44

y k =+

AOB ?面积2

12211112S k x x k =++=2222(1)2(14)(4)

k k k +++………………8分 令21(1)k t t +=>则

2221

22994994t S t t t t

==+--++

令22991125()49()(1)24g t t t t t =-++=--+>所以254()4g t <≤，即4

15

S ≤<

当0k =时，可求得1S =,故4

15

S ≤≤，

故S 的最小值为4

5

，最大值为1. ……12分

8.（本小题满分12分）设)0(1),(),,(22

222211>>=+b a b

x a y y x B y x A 是椭圆上的两点，已知向量

),(),,(2211a y

b x n a y b x m ==,若0=?n m 且椭圆的离心率e=32,短轴长为2，O 为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程； ^

（Ⅱ）试问：△AOB 的面积是否为定值如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由

解：2232 2.1,2,c 32c a b b b e a a a -====

=?==椭圆的方程为14

22

=+x y 4分 (2) ①当直线AB 斜率不存在时，即1212,x x y y ==-,由0=?n m

2

22211

11044

y x y x -=?=…………5分

又11(,)A x y 在椭圆上，所以2,2

214411212

1==?=+y x x x 1121111

2122

s x y y x y =-==

所以三角形的面积为定值.……6分

②当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y=kx+b

~

42042)4(1

4

2212

222

2+-=+=-+++??????=++=k kb x x b kbx x k x y b

kx y 得到 442221+-=k b x x ，=(2kb)24(k 2+4)(b 24)>0……………8分而0=?n m ,

:

04))((0421212121代入整理得=+++?=+b kx b kx x x y y x x 22

24b k -= ……………10分

S=12|b|1+k 2

|AB|=12|b|(x 1+x 2)2

4x 1x 2=|b|4k 24b 2+162(k 2+4)=4b 2

2|b|=1 综上三角形的面积为定值1.………………………12分

9.已知函数()f x 的导数2'()33，=-f x x ax (0)=f b ．a ，b 为实数，12a <<． (1) 若()f x 在区间[11]-，上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值； (2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点P （2，1）处的切线方程； (3)

@

(4)

设函数2()['()61]x F x f x x e =++，试判断函数()F x 的极值点个数．

解：(1) 由已知得，323

()2

f x x ax b =-+， 由()0f x '=，得10x =，2x a =． ∵[1, 1]x ∈-，12a <<，

∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增；当(0, 1]x ∈时，()0f x '<，()f x 递减． ∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f b =，∴1b =．

又33

(1)11222f a a =-+=-，

33

(1)1122

f a a -=--+=-，

∴ (1)(1)f f -<．

由题意得(1)2f -=-，即3

22

a -=-，得43a =． 故43a =，1

b =为所求．

?

(2) 由 (1) 得32()21f x x x =-+，2

()34f x x x '=-，点(2, 1)P 在曲线()f x 上．

当切点为(2, 1)P 时，切线l 的斜率2()|4x k f x ='==， ∴ l 的方程为14(2)y x -=-， 即470x y --=． (3

2222()(3361)33(2)1x x

F x x ax x e x a x e ??=-++?=--+??? []222()63(2)233(2)1x x

F x x a e x a x e

'??=--?+--+???

2

2[66(3)83]x

x a x a e

=--+-?

二次函数2

66(3)83y x a x a =--+-的判别式为

22236(3)24(83)12(31211)123(2)1a a a a a ???=---=-+=--??令0?≤，得：

2133(2),22a a -≤≤≤+令0?>，得33

22a a <>或 ∵20x e >，12a <<， ~ ∴当3

22a ≤<时，()0F x '≥，函数()F x 为单调递增，极值点个数为0； 当3

123

a <<-时，此时方程()0F x '=有两个不相等的实数根，

根据极值点的定义，可知函数()F x 有两个极值点．

10.已知函数f (x )=2

1ln ,[,2]2a x x a R x x

-??

+∈∈ ???

(1)当1[2,)4

a ∈-时, 求()f x 的最大值;

(2) 设2()[()ln ]g x f x x x =-?, k 是()g x 图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a ，使得1k <恒成立若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由．

`

|

》

(2)存在7(,]4

a ∈-∞符合条件

解: 因为2()[()ln ]g x f x x x =-?=3ax x -

不妨设任意不同两点111222(,),(,)p x y p x y ，其中12x x <

则3

31212211212221122()()()

--+-==

--=-++y y a x x x x k x x x x a x x x x 由1k <知:a < 1+22

1122

()x x x x ++ 又2

2144x ≤≤故74

a ≤

故存在7

(,)4

a ∈-∞符合条件．…12分

解法二:据题意在()y g x =图象上总可以在找一点00(,)P x y 使以P 为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在2

120012

()()'()31g x g x k g x a x x x -=

==-<-

2

07134a x ∴<+≤

故存在7

(,)4

a ∈-∞符合条件．

>

11．A ﹑B ﹑C

是直线l 上的三点，向量OA ﹑﹑OC 满足：

-[y+2)1(f ']·+ln(x+1)·= ；

（Ⅰ）求函数y=f(x)的表达式； （Ⅱ）若x ＞0, 证明f(x)＞2

2+x x

； （Ⅲ）当

32)(2

1222

--+≤bm m x f x 时,x ∈[]1,1-及b ∈[]1,1-都恒成立，求实数m 的取值范围。

解I ）由三点共线知识，

∵)]1ln()]1(2[=?++'+-x f y ,∴x f y ?+-'+=)]1ln()]1(2[,∵A ﹑B ﹑C 三

点共线，

∴1)]1ln([)]1(2[=+-+'+x f y ∴)1(21)1ln()(f x x f y '-++==.

∴11)(+='x x f ∴21

)1(='f ，

？

∴f(x)=ln(x+1)………………4分

(Ⅱ)令g(x)=f(x)－22+x x ,

由22

)2)(1()(++='x x x x g ，

∵x>0∴0)(>'x g

∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)>22+x x

;………8分

（III ）原不等式等价于32)(2

1222--≤-bm m x f x ,令 h(x)=)(2122x f x -=),1ln(212

2x x +-由,1)(23x x x x h +-='

当x ∈[-1,1]时,[h(x)]max =0, ∴m 2-2bm-3≥0,令Q(b)= m 2-2bm-3，则由Q(1)≥0及Q （-1)≥0解得m ≤

-3或m ≥3. …………12分

#

12.已知M 经过点(0,1)G -，且与圆2

2

:(1)8Q x y +-=内切. （Ⅰ）求动圆M 的圆心的轨迹E 的方程.

（Ⅱ）

以m =为方向向量的直线l 交曲线E 于不同的两点A 、B ，在曲线E 上是否存在点P 使四边形OAPB 为平行四边形（O 为坐标原点）.若存在，求出所有的P 点的坐标与直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

解:（Ⅰ）依题意，动圆与定圆相内切，得

||||MG MQ +=M 到两个定点G 、Q 的距离和为常数，并且常数大于||GQ ，所以P 点的轨迹为椭圆，可以求得2=

a ，1=c ，1=

b ，

所以曲线E 的方程为12

2

2

=+y x ．……………………5分 （Ⅱ）假设E 上存在点P ，使四边形OAPB 为平行四边形．

由（Ⅰ）可知曲线E 的方程为12

2

2

=+y x . 设直线l 的方程为m x y +=

2，)(11y x A ，，)(22y x B ，.

由??

???=++=.12;222

y x m x y ，得 @

0222422=-++m mx x ，

由0>?得42

x x -=+，4

2221-=m x x ，………7分

则2

2

)2)(2(22121-=++=m m x m x y y ，

=+21y y m m x m x =+++)2()2(21，

E 上的点P 使四边形OAPB 为平行四边形的充要条件是+=，

即）点的坐标为（2121,y y x x P ++

且12

)()(2

212

21=++

+y y x x ， 又12212

1=+y x ，12

2

22

2=+y x ，所以可得0122121=++y y x x ，…………9分

可得12=m ，即1=m 或1-=m ． 当1=m 时，)12

2

(，-

P ，直线l 方程为12+=x y ； 【

当1-=m 时，)12

2(

-，P ，直线l 方程为 12-=x y ．……………………12分

13.已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+． (Ⅰ)求函数()g x 的解析式； (Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--；

(Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．

解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则

000

0,,2

.0,2x x

x x y y y y +?=?=-????

+=-??=??即 '

∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上

∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 (Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得 当1x ≥时，2

210x x -+≤，此时不等式无解。 当1x <时，2210x x +-≤，解得112

x -≤≤。 因此，原不等式的解集为11,2

??-???

?

。

（Ⅲ）()()()21211h x x x λλ=-++-+

①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，1λ∴=- ②11.1x λ

λλ

-≠-=

+当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ

λλλ

-<-≤-<-+当时,解得

)

ⅱ）111,10.1λ

λλλ

->-≥--<≤+当时,解得0.λ≤综上，

14.已知函数2

1()ln 2(0).2

f x x ax x a =-

-< （1）若函数()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围； （2）若12a =-

且关于x 的方程1

()2

f x x b =-+在[]1,4上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；

（3）设各项为正的数列{}n a 满足：*

111,ln 2,.n n n a a a a n N +==++∈求证：1

2-≤n n a

解：（1）221

()(0).ax x f x x x

+-'=-

> 依题意()0f x '≥在0x >时恒成立，即2

210ax x +-≤在0x >恒成立. 则2

2

121(1)1x a x x -≤

=--在0x >恒成立，即min 2)1)11((--≤x

a )0(>x 当1=x 时，2

1

(1)1x

--取最小值1-

—

∴a 的取值范围是(,1]-∞-……4'

（2）21113

,()ln 0.2

242

a f x x

b x x x b =-=-

+?-+-= 设213()ln (0).g x x x x b x =-+->则(2)(1)

().x x g x x

--'=列表：

&

∴()g x 极小值(2)ln 22g b ==--，()g x 极大值

5

(1)4

g b ==--，又(4)2ln 22g b =--……6' 方程()0g x =在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.

则(1)0

(2)0(4)0

g g g ≥??

，得5ln 224b -<≤-…………8'

（3）设[)()ln 1,1,h x x x x =-+∈+∞，则1

()10h x x

'=

-≤ ()h x ∴在[)1,+∞为减函数，且max ()(1)0,h x h ==故当1x ≥时有ln 1x x ≤-.

1 1.a =假设*1(),k a k N ≥∈则1ln 21k k k a a a +=++>，故*1().n a n N ≥∈

从而1ln 22 1.n n n n a a a a +=++≤+1112(1)2(1).n n n a a a +∴+≤+≤

≤+

即12n n a +≤，∴21n

n a ≤-…………

；

15．（本小题满分14分）

如图，设抛物线2

:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的

两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB.

解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012

1120x x x x x x ≠和，

∴切线AP 的方程为：;022

00=--x y x x

切线BP 的方程为：;022

11=--x y x x 解得P 点的坐标为：101

0,2

x x y x x x P P =+=

所以△APB 的重心G 的坐标为 P P

G x x x x x =++=

3

10，

,3

43)(332

1021010212

010p

P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=

{

所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

).24(3

1

,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即

（2）方法1：因为).4

1,(),41,2(

),41,(2

1110102

00-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP

∴||41)1)(1(||||cos 102

010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +

=--+?+==∠

同理有||41)1)(1(||||cos 102

110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +

=--+?+==

∠ ∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2

(

1

x ，则P 点到直线AF 的距离为：,41

4

1

:;2||1

2111x x x y BF x d -=-=的方程而直线

即.04

1

)41(1121=+

--x y x x x 所以P 点到直线BF 的距离为：2||412|

|)41()()4

1(|42)41(|1211

212

122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=

)

所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.

②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,04

1)41(),0(041

41002002

0=+-----

=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,04

1)41(),0(041

411121121=+-----

=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：

2||41)

41)(2|)4

1(|41)2)(41(|1020201020

2200120102

01x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点

到直线BF 的距离2

|

|012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.

16.已知x x x f y ln )(==．

（1）求函数)(x f y =的图像在x e =处的切线方程；

（2）设实数0>a ，求函数()

()f x F x a

=

在[]a a 2,上的最小值； （3）证明对一切),0(+∞∈x ，都有ex

e x x 21ln ->

成立． ·

解：（1）)(x f 定义域为()+∞,0()ln 1

f x x '=+()f e e =又

/()2k f e ==

∴函数)(x f y =的在x e =处的切线方程为：2()y x e e =-+，即2y x e =-……3分

（2）

'

1()(ln 1)F x x a =+令'()0F x =得1x e

=当()

10,e x ∈，'()0F x <，)(x F 单调递减，当()

1,e

x ∈+∞，'()0F x >，()F x 单调递增． …………5分

（i ）当e

a 1

≥

时，)(x F 在[]a a 2,单调递增，a a F x F ln )()]([min ==，…………6分 （ii ）当a e a 21<<

即e a e 121<<时，e e F x F 1

)1()]([min -==…………7分 （iii ）当e a 12≤

即e

a 210≤<时，)(x F 在[]a a 2,单调递减，)2ln(2)2()]([min a a F x F ==………………8分

(3)问题等价于证明2ln ((0,))e e

x x x x x >-∈+∞，

由(2)可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1e

x =时取得最小值……10分

设2()((0,))e e x x m x x =-∈+∞，则1()e

x x m'x -=，

当)1,0(∈x 时0)(>'x m ，)(x m 单调递增；当),1(+∞∈x 时)(,0)(x m x m <'单调递减。故[]max 1

()(1)e

m x m ==-，当且仅当1=x 时取得最大值…………12分 ,

所以max min )]([1

)]([x m e

x f =-

=且等号不同时成立，即2ln ((0,))e e x x x x x >-∈+∞

从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e

x

x x

>-成立．…………13分

17．（本小题满分14分）已知函数0)ln()(2

=--+=x x x a x x f 在处取得极值． （I ）求实数a 的值；

（II ）若关于x 的方程b x x f +-=2

5

)(在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；

（III ）证明：对任意正整数n ，不等式21

1ln

n

n n n +<+都成立． 解：（I ）,121

)(--+=

'x a

x x f ……………………………………………2分 0=x 时，)(x f 取得极值，

,0)0(='∴f …………………………………………………………………3分

)

故

010201

=-?-+a

，解得a=1，

经检验a=1符合题意．……………………………………………………………4分 （II ）由a=1知,2

5

)(,)1ln()(2

b x x f x x x x f +-

=--+=由 得,023)1ln(2

=-+

-+b x x x 令,2

3

)1ln()(2b x x x x -+-+=? 则]2,0[2

5

)(在b x x f +-

=上恰有两个不同的实数根等价于 0)(=x ?在[0，2]上恰有两个不同的实数根．…………………5分

,)

1(2)1)(54(23211)(+-+-=+-+=

'x x x x x x ?……………6分 当)1,0()(,0)(,)1,0(在于是时x x x ??>'∈上单调递增 当)2,1()(,0)(,)2,1(在于是时x x x ??<'∈上单调递减．

依题意有??

??

???≤-+-+=>-+-+=≤-=,

034)21ln()2(,0231)11ln()1(,0)0(b b b ???

.2

1

2ln 13ln +≤≤-∴b …………………9分

)

（III ）x x x x f --+=2

)1ln()(的定义域为},1|{->x x ……………10分

由（1）知,1

)

32()(++-=

'x x x x f ………………………………………11分

令2

3

0,0)(-

==='x x x f 或得（舍去），)(,0)(,01x f x f x >'<<-∴时当单调递增； 当x>0时，)(,0)(x f x f <'单调递减．),1()()0(+∞-∴在为x f f 上的最大值．（12分）

0)1ln(),0()(2≤--+≤∴x x x f x f 故（当且仅当x=0时，等号成立）………13分

对任意正整数n ，取01>=

n x 得，.1

1ln ,11)11ln(22n

n n n n n n +<++<+故 14分

18. (本小题满分12分) 已知椭圆1:22

22=+b

y a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为21,F F ，A 为椭

圆短轴的一个顶点，且21F AF ?是直角三角形，椭圆上任一点P 到左焦点1F 的距离的最大值为12+ （1）求椭圆C 的方程；

~

（2）与两坐标轴都不垂直的直线l ：)0(>+=m m kx y 交椭圆C 于F E ,两点，且以线段EF 为直径的圆恒过坐标原点，当OEF ?面积的最大值时，求直线l 的方程.

解：（1）由题意得

22

=a c ，12+=+c a ————————2分 1,2==c a ，则1=b ——————3分

所以椭圆的方程为12

22

=+y x ————————————4分

（2）设),(),,(2211y x F y x E ，?????+==+m kx y y x 1

222

，联立得0224)21(222=-+++m mkx x k

0)12(82

2>-+=?m k ，???

????

+-=+-=+22

212212122214k m x x k mk x x ，——————————————————5分 又以线段EF 为直径的圆恒过坐标原点，所以0=?

即02121=+y y x x ，代入得)1(3

22

2+=

k m ————————————7分 (

||21EF d S ==2

2222

2222)

21()

41)(22(32)21()21(8131k k k k m k k +++=

+-++-----9分

设1212

>+=k t ，则2249)211(322113222≤+--=++-=

t t t

S 当2=t ，即22,2212

±

==+=k k t 时，面积S 取得最大值22

，——————————11分 又1=m ，所以直线方程为12

2

+±=x y ——————————————-12分

19.(本小题满分12分) 已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f

（1）若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1=a 时，设函数x x f x g )()(=

，若1),1,1

(,2121<+∈x x e

x x ，求证42121)(x x x x +<

解：（1）x ax x x f +=)ln(2)('————————1分 *

2)ln(2)('x x ax x x f ≤+=，即x ax ≤+1ln 2在0>x 上恒成立

设x ax x u -+=1ln 2)(

2,012

)('==-=

x x

x u ，2>x 时，单调减，2

212ln 2,0)2(≤+≤a u ，所以2

0e

a ≤

<——————————5分 （2）当1=a 时，x x x

x f x g ln )

()(==

,

e x x x g 1,0ln 1)(=

=+=,所以在),1(+∞e 上)(x g 是增函数，)1

,0(e

上是减函数——————————6分 因为

11

211<+<

，所以111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+ 即)ln(ln 211

2

11x x x x x x ++<

同理)ln(ln 212

2

12x x x x x x ++<

——————————————————————————8分 所以)ln()2()ln()(

ln ln 211

2212112122121x x x x

x x x x x x x x x x x x +++=++++<+ 又因为,421

2

21≥++

x x x x 当且仅当“21x x =”时，取等号————————————————10分 又1),1,1(,2121<+∈x x e

x x ，0)ln(21<+x x ——————————11分 所以)ln(4)ln()2(21211

2

21x x x x x x x x +≤+++

所以)ln(4ln ln 2121x x x x +<+

所以：4

2121)(x x x x +<————————————12分

20．本小题满分12分

ABC ?的内切圆与三边,,AB BC CA 的切点分别为,,D E F ，已知

)0,2(),0,2(C B -，内切圆圆心(1,),0I t t ≠，设点A 的轨迹为L . （1）求L 的方程；

（2）过点C 的动直线m 交曲线L 于不同的两点,M N （点M 在x 轴的上方），问在x 轴上是否存在一定点Q （Q 不与C 重合），使QM QC QN QC QM

QN

??=

恒成立，若存在，试求出Q 点的坐标；若

不存在，说明理由.

【解】（1）设点),(y x A ，由题知AB AC BD CE BE CE -=-=-

()22BO OE OC OE OE =+--==，根据双曲线定义知，点A

的轨迹是以,B C 为焦点，实