两角和与差及二倍角公式讲义

两角和与差及二倍角公式

一．【复习要求】

1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.

2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.

二、【知识回顾】

1．两角和与差的三角函数

sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；

2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。

sin 2α= ；

cos2α= = = tan 2α= 。 3．降幂公式

2

sin

α= ； 2cos α= .

注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用

4．辅助角公式

证明：

)sin cos x x y x x =+=

sin sin cos )x x ??+

)x ?+

其中，

cos ?=

sin ?=

tan b

a

?=

且角?终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想

如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。

5.公式的使用技巧

（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++

（2）“1”的代换：22

sin cos 1αα+=，sin 1,tan

12

4

π

π

==

（3）收缩代换：sin cos y x x =+

=)x ?+，

（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

--=

+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---

如：tan 95tan 353tan 95tan 35--= 。

tan 70tan 503tan 70tan 50+-= 。

（5）角的变换（拆角与配角技巧）

22

α

α=?

， ()ααββ=+-， ()αββα=--， 1[()()]2

ααβαβ=

++-，

()4

4

ααπ

π

=+

-

，

()4

24π

π

π

αα+=

--，1

[()()]2

βαβαβ=+--， （6）二倍角公式的逆用及常见变形

二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式，它在求值、化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。 ①sin 2sin

cos

22

α

α

α=；②2

2

2

2

cos cos sin 12sin 2cos 12

2

2

2

α

α

α

α

α=-=-=-

③2

2tan

2tan 1tan 2

α

αα

=

-；④21sin 2(sin cos )ααα±=±；⑤22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=

5．三角函数式的化简

（1）化简方法：①直接应用公式进行降次、消项；②化切为弦，异名化同名，异角化同角；③ 三

角公式的逆用等。④降幂或升幂

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；

④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

6．三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变

换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于

“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知角的

式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。

7．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证明

根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一、转换命题等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证明

通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系。若从结论开始，通过变形，将已知表达式代入得出结论，采用代入法；若从条件开始，化简条件，将其代入要证表达式中，通过约分抵消等消去某些项，从而得出结论，采用消参法；若这两种方法都证不出来，可采用分析法进行证明。

三．【例题精讲】 考点一、给角求值

例1. 求值：cos 20cos103sin10tan 702cos 40sin 20

+-

例2.求值：2

[2sin 50sin10(13tan10)]2sin 80++?

【反思归纳】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值

②化为正负相消的项，消去求值 ③化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值。

考点二、给值求值

例3.已知tan 222

απθπ=-<<，求

2

2cos sin 1

2

)

4

θ

θπ

θ--+的值.

例4.已知3335

0,cos(),sin()4

445413

π

π

ππβααβ<<<<

-=+=，求sin()αβ+的值

考点三、给值求角

例5.已知tan()1

1

,tan 27

αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值.

考点四、三角函数式的化简与证明

例6.已知()1cos sin 1cos sin 1sin cos 1sin cos f x x x

x x x x

x x

=

+---+

---+，且2,2

x k k Z ππ

≠+

∈

（1） 化简()f x

（2） 是否存在x ，使tan ()2

x f x ?与

2

1tan 2sin x

x

+相等？若存在，求出x ；若不存在，说明理由。

例7.已知5sin 3sin(2)ααβ=-，求证：tan()4tan 0αββ-+=

【练习】

1. 已知tan 2α=，则

2

sin 2cos 21cos αα

α

-=+

2. 求值：tan 20tan 60tan 60tan10tan10tan 20++=

3. 在ABC ?中，已知3

cos()4

5

A π

+=

，则cos2A 的值为

4. （08年高考山东卷改编）已知43cos()sin 6

5π

αα-

+=

，则7sin()6

π

α+=

5. （07年高考江苏卷）若13

cos(),cos()55

αβαβ+=-=，则tan tan αβ?=

6. （08年江苏卷）如图，在平面直角坐标第xOy 中，以Ox 轴为始边作两

个锐角αβ、，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B

的横坐标分别为

225

，

，

（1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值

7. 已知αβ、为锐角，向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，11(,)22

c =-.

(1) 若2

31

,2a b a c -?=

?=,求角2βα-的值; (2) 若a b c =+,求tan α的值.

8. 若147

cos ,cos()1751

ααβ=+=-,且αβ、都是锐角,求cos β

9. (2010淮安调研,16)已知(cos ,sin )a αα=,(cos ,sin )b ββ=. (1) 若6

π

αβ-=

,求a b ?的值.

(2)若

4

,

58

a b

π

α

?==,求tan()

αβ

+的值.