中考数学专题复习六数的开方与二次根式

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（ ?无理数 或 ?0 ?负实数 都是无理数，但 却是有理数， 2和- 2 是无理数；但 2+(- 2) 却是有理数；（4）无理数是 中考数学专题复习六 数的开方与二次根式

一、中考要求：

1．在经历数系扩张、 求实数性质及其运算规律的过程从事借助计算器探索数学规律的活动 中，发展同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力．

2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数感和估算能力．

3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并会求数的平方根、立方根； 能进行有关实数的简单四则运算．

4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中 体会数学的应用价值．

二、考点讲解：

1．平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次 方根式），一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，它是0 本身；负数没有平方根．

2．开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方．

3．算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x 2=a ，那么这个正数 x 就叫 做 a 的算术平方根，0 的算术平方根是 0．

4．立方根：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a,即 x 3=A ，那么这个数 x 就叫做 a 的立 方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数．

7．开立方：求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方．

8．平方根易错点： 1）平方根与算术平方根不分，如 64 的平方根为士 8，易丢掉－8， 而求为 64 的算术平方根；（2） 4 的平方根是士 2 ，误认为 4 平方根为士 2，应知道 4 =2．

9．无理数：无限不循环小数叫做无理数．

10．实数：有理数和无理数统称为实数．

11．实数的分类：实数 ?有理数

? ?正实数 ? ?

。 12．实数和数轴上的点是一一对应的．

13．二次根式的化简：

14．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中

不含有能开得尽的因数或因式．

15．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个 二次根式就叫做同类二次根式．

16．无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数，这种说法错误，因为无限小数包括无 限循环小数和无限不循环小数两类．如 1．414141···(41 无限循环）是无限循环小数，而

不是无理数；（2）带根号的数是无理数，这种说法错误，如

4 , 9 ，虽带根号，但开方运

算的结果却是有理数，所以 4 , 9 是无理数；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无

理数，这种说法错误，如 3+ 2 ，3- 2 都是无理数，但它们的积却是有理数，再如π 和2π

π 2π

无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有 一个唯一位置，如 2 ，我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也

5、在实数中－ ，0， 3 ，－3.14， 4 中无理数有（ ） （ （1

② ③ ④ ．

“ 是如此； 5）无理数比有理数少，这种说法错误，虽然无理数在人们生产和生活中用的少一 些，但并不能说无理数就少一些，实际上，无理数也有无穷多个．

17．二次根式的乘法、除法公式

18、二次根式运算注意事项：）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类 二次根式，防止：①该化简的没化简；不该合并的合并； 化简不正确； 合并出错（2）二次根 式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．

三、经典 例题剖 析：

1、一个数的算术平方根是 a ，比这个数大 3 的数为（ ）

A 、a+3 B. a －3 C. a +3 D.a 2+3

2、 16 的平方根是______

3、已知(x-2)2+|y-4|+ z 6 =0，求 xyz 的值．

解：48 点拨：一个数的偶数次方、绝对值，非负数的算术平方根均为非负数，若几个 非负数的和为零，则这几个非负数均为零．

3

4、 27 的平方根是_________

3 解：± 3 点拨 27 =3.3 的平方根是± 3

2 3

A ．1 个

B ．2 个

C ．3 个

D ．4 个

6、如果 (x-2)2 =2-x 那么 x 取值范围是（

） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2

7、下列各式属于最简二次根式的是（ ）

A ．

x 2 +1 B. x 2 y 5 C. 12 D. 0.5

8、当 a 为实数时，

a 2 =-a 则实数 a 在数轴上的对应点在（ ）

A ．原点的右侧

B ．原点的左侧

C ．原点或原点的右侧

D ．原点或原点的左侧 9、下列命题中正确的是（ ）

A ．有限小数是有理数

B ．无限小数是无理数

C ．数轴上的点与有理数一一对应

D ．数轴上的点与实数一一对应

10、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目： 先化简下式，再求值：a+ 1-2a+a 2

其中 a=9 时”，得出了不同的答案 ，小明的解答：原式= a+ 1-2a+a2 = a+(1－a)=1，小芳的

解答：原式= a+(a －1)=2a －1=2×9－1=17 ⑴___________是错误的；

⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________

解：（1）小明 （2）被开方数大于零

点拨：小明的解答是错的．因为

a=9 时， 1 － a <0, 所以 (1-a)2 =-(1-a)=a-1, 根据

a 2 =|a|化简 .