数论与解析数论简史

数论与解析数论简史

王志伟200800090156 数学与应用数学

数学王子Gauss曾经说过：数学是科学的女王，而数论是数学的女王。Gauss在数学、物理、天文各方面都取得了非凡的成就，但他却始终对数论情有独钟。数论，以其纯粹的数学本质，常常被认为是最美的数学，数学的中心。

与其他数学分支，比如几何、分析不同，数论并非是源于实际需要而创立的一门学科，其起源很有可能是出自数字游戏和Pythagoras学派以数字为图腾的宗教文化。数论曾经被认为是数学家的游戏、最纯的数学学科、唯一不会有什么应用价值的分支。但是现在随着网络加密技术的发展，数论也找到了自己用武之地——密码学。前几年破解MD5码的王小云老师就是山大数论学派出身。而在其他理论中，数论也表现出了一些意想不到的价值。在量子理论中，Hermite算子是最基本的概念之一，它的思想起源就是19世纪Hermite为解决数论问题而创立的Hermite型。我们在代数中常见的理想、环等概念最开始是出自Dedekind的数论著作中。最近的一个例子，Grothendieck为解决Weil猜想而对代数几何进行了革命性的改造。此类例子还有很多，在此不一一列举。

在古代对数论贡献最大的当属古希腊人。最著名的一些成果大概就是Euclid在《几何原本》中提到的Euclid算法、素数无限多个，算数基本定理等内容，这些我们在初等数论中都可以见到。另一个对数论有重大贡献的古希腊人当属Diophantus，他探讨了很多不定方程，为纪念，我们现在就称这些方程为Diophantus方程，著名的费马大定理就是一个Diophantus 方程问题。当然，中国古代在数论方面也作出了一定的贡献：众所周知、大名鼎鼎的中国剩余定理，被数学界唯一承认的中国的定理。

在经过漫长的中世纪之后，数论进入了一个辉煌的发展时期。推动数论发展的第一个重要人物首推Fermat，一个在数论界享有崇高地位的法国律师、业余数学家。Wiles在1994年证明的Fermat's last theorem，即我们所说的费马大定理，就是Fermat所提出的一个猜想。另外，Fermat小定理，关于多角形数的猜想，Fermat数，Mersenne素数性质，Pell方程都有他的贡献，我们证明中常用的无穷递降法，就是费马在证明费马大定理在n=3时最先发明使用的，除了数论，他在其他方面也有一些突出贡献，比如解析几何、微积分。Fermat之后，另一个重要的人物是Euler，他对Fermat的一个猜想：Fermat数都是素数给出了反例，引进了在数论中一个非常重要的数论函数，即Euler函数，并发现了一个数论中非常重要的Euler 公式。另外，笔者在跟同学在参加大学生科技创新项目中研究整数分拆这个课题时，阅读了Geogre Andrew的《The theory of partitions》，有幸了解到Euler在数论中的整数分拆方面也做出了很大的贡献，提出了母函数法，利用幂级数来研究整数分拆，这导致圆法和指数和方法的产生。

。在Euler之后，两个法国人Lagrange、Legendre也在数论方面做出了重要贡献，比如我们熟悉的二次互反律，Euler和Legendre都曾提出猜想，而公式中的符号我们即称作Legendre符号。他们的贡献就不在此细述。而在数论史上做出贡献最大的，我想大多人会同意是Gauss，一个伟大的数

学天才。

卡尔·弗里德里希·高斯，C.F.Gauss，德国人，历史上最伟大的数学家之一，可能没有之一。他的巨著《Disquisitiones Arithemeticae》具有划时代的意义。在书中，Gauss最先引进了同余的概念和符号，并提出了同余的一些基本性质。在书中的第二章，Gauss给出了算术基本定理的证明、同余方程的解法，Bezout等式、关于高次同余方程根数的Lagrange定理，并研究了Euler函数的一些性质。在第三章中，Gauss开始研究幂剩余。在本章中，Gauss第一次给出原根的存在性证明，并导出了指标及其概念。利用原根以及指标，他研究了高次二项同余方程，并用三种方法证明了Wilson 定理。在第四章中，Gauss对二次互反律做了详细的研究。上面说到Euler、Legendre都认识到了二次互反律，但是都未给出证明。而Gauss在学生时期就证明了这个结论，并在以后的辉煌数学生涯中给出了八种不同的证明。第五章约占全书篇幅的5/7，讲述的主要内容为型理论。在本章中，Gauss 定义了一个二元二次型的判别式、蕴含、包含于、等价变换等，并发现这些变换的联系和Pell方程有关。后面，他对型做了其他分类，将不同等价类按特征合并成种，研究了型、类、种、序的合成运算。接着，Gauss研究了三元二次型，由此证明了每个数都可以写成三个三角数或者四个平方数之和，并指出了一个Legendre关于二次互反律的一个不完全证明。最后，他用类数和种数的公式，定义了正规判别式和非正规判别式，提出了至今未完全解决的Gauss猜想。Gauss在指出Legendre那个二次互反律的不完全证明中，假定了一个比较明显但很难证明的定理—Dirichlet定理成立。这个假定以及类数、种数公式，是Dirichlet创立解析数论的直接动力。而解析数论的另一个创立人Riemann也是为了证明Gauss用统计方法猜测素数定理而把复变函数论应用到素数问题的。第六章，Gauss主要是引进了排除法，给出了两个合数素分解的方法，以及把循环小数化为分数。而在最后一章第七章中，Gauss主要研究了分圆理论。这一章好像只是一个独立的数学问题，但他的解决却需要许多其他领域的知识。首先是要承认复数及其重要的代数闭域性质，这是Gauss博士论文的结果“代数基本定理”，其结果是著名的，比如正十七边形可以尺规作图。他对分圆方程的研究启迪了Abel和Galois，后者将代数学的重点从解方程转移到我们现在的研究对象—群。Gauss在研究三次同余的时候，发明了“Gauss和”这个现在在代数数论中常用的工具。

解析数论是数论中以分析方法作为研究工具的一个分支。它起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研究。解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等。模形式论与解析数论有密切关系。

分析方法在数论中的应用可以追溯到18世纪的Euler时代，欧拉恒等式是算术基本定理的解析等价形式，它揭示了素数和自然数之间的积性关系。

随后，Dirichlet用分析方法于1837年解决了首项与公差互素的算术级数中有无限多个素数的问题，又于1839年推证出二次域的类数公式。并创立了研究数论的两个重要工具，即Dirichlet（剩余）特征标与Dirichlet L函数，从而奠定了解析数论的基础。

我们令π（x）表示不超过.x的素数的个数，关于π（x）的研究一直是素数论甚至整个数论界的中心问题，高斯曾猜想π（x）～x/lnx，即素数定理。Riemann 被认为是现代意义下解析数论的奠基人。1859年, Riemann发表了一篇关于π（x）的著名论文《论不大于一个给定值的素数个数》，这是他在数论方面公开发表的惟一的文章。在文章中，Riemann并没有证明素数定理，甚至根本没有提，他把Euler恒等式的右边的级数记作ζ(s)，他的目标是具体求出π（x），更确切的说是求出与π（x）密切相关的函数ζ(s)的无穷级数的明显表示。Riemann指出，要解决这个问题，首先要把s看作复变数，研究作为复变量s=σ+it的ζ(s)函数，特别是它的零点分布。现在称ζ(s)为Riemann-ζ函数。Riemann对复变函数ζ(s)做了深刻的研究，得到许多重要结果，特别是他建立了一个与数ζ(s)的零点有关的表示π（x）的公式。因此研究素数分布的关键在于研究复变函数ζ(s)的性质,特别是数ζ(s)

的零点性质。这一杰出的工作，是复变函数论的思想和方法应用于数论研究的结果。黎曼开创了解析数论的新时期，也推动了单复变函数论的发展。在文章中他还提出了一个猜想：ζ(s)的所有复零点都在直线Res=1/2上。这就是大名鼎鼎的Riemann conjecture，即黎曼猜想。它是公认的尚未解决的最著名、最难的的数学问题之一。它的研究对解析数论和代数数论的发展都有极其深刻的影响。通过Riemann的工作及他的猜想，使得ζ(s)在解析数论中处于中心地位。联系数论和复变函数论的桥梁是所谓的佩隆公式(Peron). 很多数论问题可以归结为某类求和函数的估计问题，而利用佩隆公式，就可以将求和函数的估计转变为都某类复变函数的零点、极点的分布情况的估计。大多数数论问题最终都能归结为L函数的性质讨论。

1896年，Hadamard和Poussin严格地按照黎曼提出的方法和结果,用整函数理论,同时证明了素数定理，从此解析数论开始得到迅速发展。

总之，数论吸引了许多历史上最杰出的数学家，Euclid，Diophantus，Fermat，Legendre，Euler，Gauss，Dedekind，Jacobi，Eisenstein 和Hilbert 等前人都对其发展做出了了巨大贡献。而二十世纪比较有名的数论学家有Artin，Hardy, Ramanujan，Andre Weil，Jean-Pierre Serre和Andrew Wiles 等。他们都对数论做出了巨大的贡献。

不可否认，他们都在数论界有着举足轻重的地位。但是，中国人同样在数论方面做出了不可磨灭的贡献。Goldbach Conjecture，即哥德巴赫猜想，这个被称为是数学皇冠上的明珠的猜想，是由德国数学家Goldbach于1742年6月7日在给Euler的信中提出的，猜想为：1，任一不小于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；2，任一不小于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。

18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破，但是仍旧与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了“迂回战术”，就是先考虑把偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超

过b个的数之和"记作"a+b"，那么就是要证明"1+1"成立。

1952年在中国科学院数学研究所，聚集了国内一批中青年数学人才，成立了数论研究组，由华罗康亲自担任组长，组织并领导了“哥德巴赫猜想讨论班”。他选择哥德巴赫猜想作为学习与研究对象的指导思想，考虑到哥德巴赫猜想与解析数论最重要的理论与方法都有密切关系，特别是园法、三角和估计、密率论筛法、Ｌ——函数与素数分布等，通过讨论班的学习，可以使参加者相当全面地掌握解析数论的诸重要方面，达到即出成果又出人才的良好效果。

后来实践证明，“哥德巴赫猜想讨论班”是非常成功的，以“哥德巴赫猜想讨论班”为核心，组成了中国数学的一个特殊学派，一个数学王国的优秀群体。

领导这个群体的是大家熟悉的华罗庚和闵嗣鹤教授。华罗庚教授，这位名扬中外的大数学家，研究范围十分广泛，是中国解析数论、典型群矩阵、几何学、自守函数论、多复变函数论等多方面研究的创始人与开拓者，一生写了200多篇学术论文，10部专著。闵嗣鹤教授，对数学的许多分支都有研究，工作涉及数论，几何、调和分析、微分方程、复变函数论，多重积分的近似计算及广义解析函数等多方面，但他的主要贡献是在解析数论。在解析数论及黎曼猜想的证明中，发表了许多具有独到见解的文章和论述。

就是在有二位学识渊博，研究广泛的导师带领下，展现了新中国解析数论领域的雄厚实力。在该领域的研究中屡居世界领先地位。两位教授的功绩不单单在于他们的学识和研究领域的广泛，更可贵的是培养了大批解析数论的人才，为国际解析数论做出贡献的、顶尖的数学家。越民义、丁夏畦、吴方、尹文霖、邵品棕、任建华、潘承彪、谢盛刚、楼世拓、姚琦、于秀沅、陆洪文、陆鸣皋、冯克勤、于坤瑞等，都对我国解析数论做出了贡献，都是这优秀群体的一员。而王元、陈景润、潘承洞是其中的代表。

王元教授早在1956年就证明了“哥德巴赫猜想”的命题“3+4”，仅仅过了一年，1957年证明了命题“2+3”，“2+3”是从命题“a+b”开始证明哥德巴赫猜想的最好结果，处于世界领先地位。1962年王元教授指出了证明“1+4”的关键，并于同年与潘承洞教授证明了命题“1+4”。

陈景润教授于1966年发表的“大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和”的证明，即证明了“1+2”，现在仍是该领域最好结果。虽然离哥德巴赫猜想仅有一步之遥，但没有人知道这一步到底有多大，到底需要多长时间跨过这一步。

潘承洞教授在我国解析数论中，同样做出了杰出贡献。早在1962年，就首先证明了命题“1+5”成立。“1+5”是潘承洞教授首次对1948年匈牙利数学家兰恩易所得命题“1+c”中c的定性结果到定量结果，把一个无穷大的c变为有限大的5。从无限到有限，从定性到定量，可以说是一个质的飞跃。同年，潘承洞教授就与王元教授合作证明了“1+4”。这些结果在当时都处于世界领先地位。

无论将来“哥德巴赫猜想”用什么方法被证明，为我国解析数论做出杰出贡献的优秀的数学家,所组成的我国数学史上的特殊学派,创造了中国数论在世界数学领域的辉煌，在数论史上写下了浓墨重彩的一笔。他们的功绩不可磨灭,他们勇于攀登的精神、高深的学识和谦虚的品德，永远值得

我们学习。作为后人，我们更要以他们为榜样，发扬勇于钻研，不怕吃苦，面对难题不退缩的精神，为山大数论、中国数论，做出自己的贡献，让中国的数论、数学在世界崛起。