离散数学章练习题及答案
离散数学练习题
第一章
一．填空
1. 公式(p q) ( p q )的成真赋值为01 ；10
2. 设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题(p q) ( r s) 的真值为0
3. 公式(p q)与(p q) (p q )共同的成真赋值为01；10
4. 设A为任意的公式，B为重言式，则A B 的类型为重言式
5．设p, q 均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。二．将下列命题符合化
1. 7 不是无理数是不对的。
解：( p) ，其中p: 7 是无理数；或p，其中p: 7 是无理数。
2. 小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。
解：p q, 其中 p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研
3. 只有不怕困难，才能战胜困难。
解：q p ，其中p: 怕困难，q: 战胜困难
或p q ，其中p: 怕困难，q: 战胜困难
4. 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。
解：r (p q)，其中p: 别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了
或：( r p) q ，其中p: 别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了
5. 整数n是整数当且仅当n 能被2 整除。
解：p q，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除
三、求复合命题的真值
P：2能整除5，q ：旧金山是美国的首都，r ：在中国一年分四季
1. ((p q) r) (r (p q))
2. (( q p) (r p)) (( p q) r
解：p, q 为假命题，r 为真命题
1. ((p q) r) (r (p q)) 的真值为0
2. (( q p) (r p)) (( p q) r 的真值为1
四、判断推理是否正确
设y 2x 为实数，推理如下：
若y在x=0可导，则y在x=0连续。y 在x=0连续，所以y在x=0可导。
解：y 2x，x为实数，令p: ｙ在ｘ=0可导，q: y 在x=0连续。P为假命题，q为真命题，推
理符号化为：(p q) q p，由p，q 得真值可知，推理的真值为0，所以推理不正确。
五、判断公式的类型
1
( (q p)((p q) ( p q)))
，
(p(q p)) (r q)
2.
3.(p r)(q r)
解：设三个公式为A,B,C 则真值表如下：
由上表可知A为重言式，B 为矛盾式，C为可满足式
第二章练习题
一．填空
1. 设A为含命题变项p, q, r 的重言式，则公式A ((p q) ) 的类型为重言式
2. 设B为含命题变项p, q, r 的重言式，则公式B ((p q) )的类型为矛盾式
3. 设p, q 为命题变项，则( p q) 的成真赋值为01 ；10
4．设p,q 为真命题，r, s 为假命题，则复合函数(p r) ( q s) 的成真赋值为__0___
5. 矛盾式的主析取范式为___0 _____
6. 设公式A为含命题变项p, q, r 又已知A的主合取范式为M0 M 2 M 3 M 5则A
的主合取范式为m1 m4 m6 m7
、用等值演算法求公式的主析取范式或主合取范式
1. 求公式( (p q)) ( q p) 的主合取范式。
( (p q)) ( q p) (p q) (p q) p q 解：
p q M 2
2.求公式((p q) (p q)) (q p)的主析取范式，再由主析取范式求出主合取范式解：
三、用其表达式求公式(p q) r 的主析取范式。
解：真值表
由上表可知成真赋值为001 ；011；100；111
四、将公式p (q r) 化成与之等值且仅含, 中连接词的公式
解：p (q r) p(q r) p ( q r)(p q r)
五、用主析取范式判断
(p q)与(p q) ((p q)) 是否等值。
解：
(p q) ((p q)(q p)) (( p q)( q p))(p q) ( q p) 所
(p q) (q p)(p(q p)) ( q(q p)) (p q) ((q p))
以他们等值。
第四章习题
一，填空题
1.设F(x): x具有性质F，G(x): x具有性质G，命题“对所有x的而言，若x具有性质F，则x 具有性质G”的符号化形式为x(F(x) G(x)
2. 设F(x): x 具有性质F，G(x): x 具有性质G，命题“有的x既有性质F，又有性质G” 的符号化形式为x(F(x) G(x)
3. 设F(x): x 具有性质F，G(y): y 具有性质G，命题“对所有x 都有性质F，则所有的y 都有性质G”的符号化形式为xF(x) yG(y)
4. 设F(x): x 具有性质F，G(y): y 具有性质G，命题“若存在x 具有性质F，则所有的y 都没有性质G”的符号化形式为xF(x) y G(y)
5. ______________________________________________________ 设A为任意一阶逻辑公式，若A中__不含自由出现的个体项 _______________________________ ,则称A为封闭的公式。
6. 在一阶逻辑中将命题符号化时，若没有指明个体域，则使用全总个体域。二．在一阶逻辑中将下列命题符号化
1. 所有的整数，不是负整数就是正整数，或是0。
解：xF(x) (G(x) H(x) R( x)) ，其中F(x) : x是整数，G(x):x是负整数，H(x) : x是
正整数，R(x): x 0
2. 有的实数是有理数，有的实数是无理数。
解：x(F(x) G(x)) y(F(y) H ( y)) ，其中，F ( x) : x是实数，G( x) : x是有理数，H ( y) : y 是无理数
3. 发明家都是聪明的并且是勤劳的，王进是发明家，所以王进是聪明的并且是勤劳的。解：( x(F(x) (G(x) H(x))) F(a)) (G(a) H(a))，其中：F(x) : x是发明家，G( x) : x
是聪明的，H(x): x 是勤劳的，a:王前进
4. 实数不都是有理数。
解：x(F(x) G(x))，其中F(x):x是实数，G(x) : x是有理数
5. 不存在能表示成分数的有理数。
解：xF(x) G(x)，其中：F(x): x是无理数，G(x): x能表示成分数
6. 若x 与y 都是实数且x>y，则x+y>y+z
解：x y((F(x) F(y)H(x,y)H(x z, y z)) ，其中，F (x) : x是实数，H (x, y): x y 三．给定解释I 如下：
(a)个体域为实数集合R；(b)0；
特定元素
(c) 特定函数f (x, y) x
y, x R, y R
(d) 特定谓词F(x,y): x y, G(x, y): x y, x R, y R
给出下列公式在I 的解释，并指出他们的真值：
1.x y(G(x, y)F(x,y))
解：x y((x y)(x y)) ，即对任意的实数，
x,y ，则x y ；真值为1
2.x y(F(f (x, y), a)G(x,y))
解：x y(x y 0(x y)) ，即对任意的实数x, y若x y0, 则x y,其真值为0
3. x y(G(x,y) F( f (x,y),a))
解
：
x y((x y) (x y 0)) ，即对任意的实数x,y若x y, 则x y 0, 其真值为1
4.x y(Gf (x,y),a)F(x,y))
解
：x y((x y 0)x y)) ，即对任意的实数x,y若x y 0,则x y,其真值为0
四．给定解释I 如下：
(a)个体域D=N; (b)特定元素a 2 (c)N 上函数f (x,y)x y, g(x,y) x y;
(d)N 上谓词F(x,y) :x y
给出下列公式在I 下的解释，并指出他们的真值：
1. xF(g(x,a),x)
解：x(2x x) ，即对任意的自然数x，都有2x x，真值为0
2. x y(F(f (x,a),y) F( f (y,a),x))
解：x y((x 2 y) (y 2 x)) ，即对任意自然数x,y若x 2 y，则y 2 x；其真值为0 3. x y zF( f (x,y),z)
解：x y z(x y z) ，即对任意的自然数x, y ，都存在z，使得x y z；真值为1 4. xF( f (x,x),g(x,x))
解：x(2x x2) ，即存在自然数x使得2x x2，其真值为1 第六章习题一，填空1.设A2,a, 3,4 ，B,4, a ,3 ，则A B 2,a, 3 ,{a},3, __
2.设A1, 1,2 ，则P(A) ____ { ,{{ 1}}, {{{ 1,2}}},{{1}, {{ 1,2}}}
______________________
3. 设A 1 1,2 ，则P(A)
____ { ，{{1}} ，{{1,2}}，{{1} ，{1 ，,2}}}
4. 设A1,2 ，则P(A) ____{ ，{1} ，{2} ，{1,2}}
5.设[a,b], (c,d) 代表实数区间，那么([0,4] [ 2,6]) (1,3) ___________________ [3,4] __________
6. 设X,Y,Z 为任意集合，且X Y 1,2,3 ，X Z 2,3,4 ，若Z Y,则一定有
2 Z;
3 Z ___________
7.设A, 则(A A) A ________________ ___________
二，简答题
1.设I 1,2, 12 ，A 1,3,5,7,9,11 ，B 2,3,5,7,11 ，C 2,3,6,12 ，D 2,4,8 ，计算：
A B; A C ; C (A B); A B; C D ;
B D ;
A B {1,2,3,5,7,9,11} A C ={3} C （A B）={6, 12} A B={1, 9}
C D ={3,6,12} B D ={3,4,5,7,8,11}
2. 设A a , a,b ，求：A; A
A ={a,b}
A={a}
3
三、设A 1,2,3,4,5,6 ，B 2,4,6 ，C x|x n3,n N,x 15 ，求:
A C ;
B A; P（B）
C={1,8}
A C ={1,2,3,4,5,6,8}
B A=
P（B）={ ,{2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6}}
四：一个班50个学生，在一次考试中有26 人得5 分，在第二次考试中有21 人得5 分，如果两次考试中没有得5 分的有17 人，那么两次考试中都得5 分的有都少人？（提示：应用包含排斥原理）
答：设A为第一次考试得5分的人，B为第二次考试得5 分的人。
A=26,B=21
~（A B）=17
A B=50-17=33
A B-A=7
A B=21-7=14
五，一个班25个学生，会打篮球的有12 人，会打排球的有10人，两种球都不会打的有5 人，那么两种球都会打的有多少人？（提示：应用包含排斥原理）
答：设A为会打篮球的人数，B 为会打排球的人数。A=12,B=10
~（A B）=5
A B=25-5=20
A B-A=8
A B=10-8=2
第七章习题
设x,y 5 y 1,2x ，求x,y
解：由有序相等的充要条件：
A (3)
AB
0,0 , 0,1 ,
1,1 , 1,0 1,2
0,0,1 , 0,1,1 , 1,1,1 ,
1,0,1 , 0,0,2 ,
0,1,2 , 1,1,2 , 1,0,2
P143页 13 题
设A
1,2 , 2,4 , 3,3 , B
1,3 , 2,4 , 4,2
求： A B,
A B,
domA,
, domB,
dom(A B), ranA
解： A B
1,2 , 1,3 , 2,4 3,3 , 4,2
xy 1 解得： x
6
y5
2x
y
7
2. 已知 A 0,1 ， B
1,2 ，
试确定下列集
合
解：(1)
A B 0,1
, 0,2
, 1,1
1,2
(2) A 1B 0,1 , 1,1 1,2
0,1,1 , 0,1,2 , 1,1,1 , 1,1,2
B, (2) A 1 B (3) A A B
(1) A
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式
（5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ?(?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q)
离散数学第1章习题答案
#include
N=N/2; } while(!Empty(S)) { Pop(S,&e); printf("%d ",e); } } void main() { int n; printf("请输入待转换的值n：\n"); scanf ("%d",&n); conversion(n); }习题 1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？ (1)离散数学是计算机专业的一门必修课。 (2)李梅能歌善舞。 (3)这朵花真美丽！ (4)３＋２＞６。 (5)只要我有时间，我就来看你。 (6)x＝５。 (7)尽管他有病，但他仍坚持工作。 (8)太阳系外有宇宙人。 (9)小王和小张是同桌。 (10)不存在最大的素数。 解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。 2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？ (1)(P→(P∨Q))。 (2)(?P→Q)→(Q→P)))。 (3)((?P→Q)→(Q→P))。 (4)(Q→R∧S)。 (5)(P∨QR)→S。 (6)((R→(Q→R)→(P→Q))。 解 (1)是命题公式。 (2)不是命题公式，因为括号不配对。 (3)是命题公式。 (4)是命题公式。
离散数学形考任务1-7试题及答案完整版
2017年11月上交的离散数学形考任务一 本课程的教学内容分为三个单元，其中第三单元的名称是（A ）． 选择一项： A. 数理逻辑 B. 集合论 C. 图论 D. 谓词逻辑 题目2 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 本课程的教学内容按知识点将各种学习资源和学习环节进行了有机组合，其中第2章关系与函数中的第3个知识点的名称是（D ）． 选择一项： A. 函数 B. 关系的概念及其运算 C. 关系的性质与闭包运算 D. 几个重要关系 题目3 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 本课程所有教学内容的电视视频讲解集中在VOD点播版块中，VOD点播版块中共有（B）讲． 选择一项： A. 18 B. 20 C. 19
D. 17 题目4 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 本课程安排了7次形成性考核作业，第3次形成性考核作业的名称是（ C）．选择一项： A. 集合恒等式与等价关系的判定 B. 图论部分书面作业 C. 集合论部分书面作业 D. 网上学习问答 题目5 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 课程学习平台左侧第1个版块名称是：（C）． 选择一项： A. 课程导学 B. 课程公告 C. 课程信息 D. 使用帮助 题目6 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 课程学习平台右侧第5个版块名称是：（D）． 选择一项：
A. 典型例题 B. 视频课堂 C. VOD点播 D. 常见问题 题目7 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 ―教学活动资料‖版块是课程学习平台右侧的第（A）个版块． 选择一项： A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 题目8 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 课程学习平台中―课程复习‖版块下，放有本课程历年考试试卷的栏目名称是：（D ）． 选择一项： A. 复习指导 B. 视频 C. 课件 D. 自测 请您按照课程导学与章节导学中安排学习进度、学习目标和学习方法设计自己的学习计划，学习计划应该包括：课程性质和目标（参考教学大纲）、学习内容、考核方式，以及自己的学习安排，字数要求在100—500字．完成后在下列文本框中提交． 解答：学习计划 学习离散数学任务目标：
离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题分解
第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。
离散数学作业答案
第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章
离散数学第一章部分课后习题参考答案
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)0∨(0∧1) 0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) （0?1）∧(1∨1) 0∧10. （3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1）? (0∧0∧0)0 (4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1 17．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: 是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(q→p) （5）(p∧r) (p∧q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1
所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r)) (4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) (p∨q)∧(p∨r) p∨(q∧r)) p→(q∧r) （4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q) (p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q) 1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1 (p∨q)∧(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(p→q)→(q∨p) (2)(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (p→q)→(q p) (p q)(q p) (p q)(q p) (p q)(q p)(q p)(p q)(p q) (p q)(p q)(p q) ∑(0,2,3) 主合取范式： (p→q)→(q p) (p q)(q p)
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第1章答案
P10 1对下面每个集合，判断2和{2}是否它的一个元素。 (1){x∈R | x是大于1的整数} (2){x∈R | x是某些整数的平方} (3){2, {2}} (4){{2},{{2}}} (5){{2}, {2,{2}}} (6){{{2}}} 解： {2}是(3)，(4)，(5)的元素。2是(1)，(3)的元素。 3 下列哪些命题成立？哪些不成立？为什么？ （1）φ∈{φ,{φ}} （2）φ?{φ,{φ}} （3）{φ}?{φ,{φ}} （4）{{φ}}?{φ,{φ}} 解： （1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）成立 5 设A集合={a,b,{a,b},φ}。下列集合由哪些元素组成？ (1)A-{a,b}; (2){{a.b}}-A; (3){a,b}-A; (4)A--φ; (5)φ-A; (6)A-{φ}. 解： (1){{a,b},φ} (2)φ (3)φ (4) A (5)φ (6){a,b,{a,b}} 6 假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 解：A∩B 7 设A,B和C是任意集合，判断下列命题是否成立，并说明理由。
(1)若A?B,C?D，则A∪C?B∪D,A∩C?B∩D； (2)若ADB,CDD，则A∪CDB∪D,A∩CDB∩D； (3)若A∪B=A∪C，则B=C； (4)若A∩B=A∩C，则B=C； 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)不一定成立 11（5）设A、B和C是集合，请给出(A-B)?(A-C)=φ成立的充要条件。解：错误！未找到引用源。A?B∪C 13试求： (1)P(φ); (2)P(P(φ)); (3)P({φ,a,{a}}) 解： (1){φ} (2){φ，{φ}} (3){φ，{φ}，{a}，{{a}}} 15 设A是集合，下列命题是否必定成立? （1）A∈P(A) （2）A?P(A) （3）{A}∈P(A) （4）{A}?P(A) 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)成立 18设A＝{a,b}，B={b,c},下列集合由哪些元素组成？ (1)A×{a}×B; (2)P(A)×B; (3)(B×B) ×B; 解： (1){(a,a,b),(a,a,c),(b,a,b),(b,a,c)} (2){(φ,c),(φ,b),({a},c),({a},b),({b},c),({b},b),({a,b},c),({a,b},b)} (3){((b,b),c),((b,b),b),((b,c),c),((b,c),b),((c,b),c),((c,b),b),((c,c),c),((c,c),b)} 19 设A是任意集合，A3=(A×A)×A=A×(A×A)是否成立？为什么？ 解：不成立。
离散数学答案第二章习题解答
习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），?（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =??。 x x P :)(是素数，)(x P 可表示为)1)(()1(x u u x u v v u x =∨=?=???∧=?。
离散数学课后习题答案第二章
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) (x ?，在（a）(b)中均为真命题。 xG 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) x x∧ ? ?? F ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) x F H x→ ?? (x ) ( ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F x G y x→ ? ? y ∧ )) ( , ( ) x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) y x F G y→ ?? ∧ ? x ( ) ( , H ( x ) (y ( 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R.
离散数学第七章二元关系课后练习习题及答案
第七章作业 评分要求: 1、合计100分 2、给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)、 3、总得分在采分点1处正确设置、 1 设R={
离散数学 第1章 习题解答
习题1.1 1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。 ⑴中国有四大发明。 ⑵计算机有空吗? ⑶不存在最大素数。 ⑷21+3＜5。 ⑸老王是山东人或河北人。 ⑹2与3都是偶数。 ⑺小李在宿舍里。 ⑻这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼请勿随地吐痰! ⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。 ⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。 ⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。 解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。 2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴李辛与李末是兄弟。 ⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。 ⑶天正在下雨或湿度很高。 ⑷刘英与李进上山。 ⑸王强与刘威都学过法语。 ⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。 ⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。 解：⑴本命题为原子命题； ⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服； ⑶p：天在下雨；q：湿度很高； ⑷p：刘英上山；q：李进上山； ⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语； ⑹p：你看电影；q：我看电影； ⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉； ⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。 3. 将下列命题符号化。 ⑴他一面吃饭，一面听音乐。 ⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。 ⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 ⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。 ⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。 ⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。 解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q ⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q ⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：?p→?q ⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p?q ⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p ⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p?q。 ⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r 4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。 ⑴如果3+3=6，则雪是白的。 ⑵如果3+3≠6，则雪是白的。 ⑶如果3+3=6，则雪不是白的。 ⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。 ⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 ⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制) ⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。 ⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。 解：设p：3＋3＝6。q：雪是白的。 ⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。 ⑵原命题符号化为：?p→q；该命题是真命题。 ⑶原命题符号化为：p→?q；该命题是假命题。 ⑷原命题符号化为：?p→?q；该命题是真命题。 ⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p?q；该命题是假命题。 ⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。 ⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。 ⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。
离散数学答案
2015春课件作业 第一部分集合论 第一章集合的基本概念和运算 1-1 设集合 A ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是 A （选择题） [ A ] A．1 ∈A； B．2 ∈ A； C．3 ∈A； D．{3，2,1} ? A。 1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是 D （选择题） [ D ] A．C； B．A； C．B； D．?。 1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题） （1） N ? Q，Q ∈S，则 N ? S，否［错］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则 -1 ∈S 。否［错］ 1-4 设集合 B = {4，3} ∩?， C = {4，3} ∩{ ? }，D ={ 3，4，? }， E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0}， F = { 4，?，3，3}， 试问：集合 B 与那个集合之间可用等号表示 A （选择题） [A ] A. C; B. D; C. E; D. F. 1-5 用列元法表示下列集合：A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }（选择题） [D ] A. N; B. Z; C. Q; D. Z+ 1-6 为何说集合的确定具有任意性 ? (简答题) 按照所研究的问题来确定集合的元素。而我们所要研究的问题当然是随意的。所以，集合的定义（就是集合成分的确定）就带有任意性。 第二章二元关系 2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下： R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x > y } （综合题） 求：(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。 所谓谓词表达法，即是将集合中所有元素的共同性质用一个谓词概括起来，如本题几例所示。有的书上称其为抽象原则。反过来，列元法则是遵照元素的性质和要求，逐一将他们列出来，以备下用,结果如下： R = {<1,1>,<2,2>,<3,3>}； (1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1}; (2)RanR={R中所有有序对的y}={3,2,1}； (3)R 的性质:自反,对称,传递性质. 2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即 R = {〈x，y〉│x，y ∈Z+ 且 x + 3y = 12}， 试给出 dom（R 。R）。（选择题） [ B ] A. 3； B. {3}； C. 〈3，3〉； D.{〈3，3〉}。 2-3 判断下列映射 f 是否是 A 到 B 的函数；以及函数的性质。最后指出 f：A→B 中的双射函数。（选择题） [ B ] （1）A = {1，2，3}，B = {4，5}， f = {〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。 （2）A = {1，2，3} = B， f = {〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。 （3）A = B = R， f = x 。
离散数学 杨圣洪等著 第二章习题二解答
第二章习题二 1、求证?x?y(P(x)→Q(y))??xP(x)→?yQ(y) ?x?y(P(x)→Q(y)) ??x?y(?P(x)∨Q(y)) 条件式的等值式 ??x(?P(x)∨?yQ(y)) 辖域的扩充与收缩规律 ??x?P(x)∨?yQ(y) 辖域的扩充与收缩规律 ???xP(x)∨?yQ(y) 量词的德摩律 ??xP(x)→?yQ(y) 条件式的等值式 2、把下列各式转换为前束范式 (1) ?x(?(?yP(x,y)→(?zQ(z)→R(x)))) ??x(?(?yP(x,y)→(??zQ(z)∨R(x)))) 条件式的等值式 ??x(?(??yP(x,y)∨(??zQ(z)∨R(x)))) 条件式的等值式 ??x((???yP(x,y)∧(???zQ(z)∧?R(x)))) 德摩律 ??x((?yP(x,y)∧(?zQ(z)∧?R(x)))) 否定的否定 ??x?y?z ((P(x,y)∧(Q(z)∧?R(x)))) 量词辖域的扩张与收缩 ??x?y?z (P(x,y)∧Q(z)∧?R(x)) 量词辖域的扩张与收缩 (2) ?x?y((?zP(x,y,z)∧?uQ(x,u))→?vQ(y,v)) ??x?y(? (?zP(x,y,z)∧?uQ(x,u)) ∨?vQ(y,v)) 条件式的等值式 ??x?y( (??zP(x,y,z) ∨??uQ(x,u)) ∨?vQ(y,v)) 德摩律 ??x?y( (?z?P(x,y,z) ∨?u?Q(x,u)) ∨?vQ(y,v)) 德摩律 ??x?y?z?u?v ( (?P(x,y,z) ∨?Q(x,u)) ∨Q(y,v)) 德摩律 ??x?y?z?u?v ( ?P(x,y,z) ∨?Q(x,u)∨Q(y,v)) 德摩律 (3) ?xF(x) →?yP(x,y) ??zF(z) →?yP(x,y) 约束变元与自由变元同名，故约束变元改名 ???zF(z)∨?yP(x,y) 条件式的等值式 ??z?F(z)∨?yP(x,y) 德摩律 ??z?y(?F(z)∨P(x,y)) 德摩律 (4) ?x(P(x,y)→?yQ(x,y,z)) ??x(P(x,y)→?sQ(x,s,z)) 约束变元y与自由变元y同名，故约束变元改名 ??x(?P(x,y) ∨?sQ(x,s,z)) 条件式的等值式 ??x?s(?P(x,y)∨Q(x,s,z)) 辖域的扩充与收缩 (5) ?x(P(x,y)??yQ(x,y,z)) ??x(P(x,y)??sQ(x,s,z)) 约束变元y与自由变元y同名，故约束变元改名 ??x((P(x,y)→?sQ(x,s,z)) ∧(?sQ(x,s,z)→P(x,y))) 双条件的等值式 ??x((P(x,y)→?sQ(x,s,z)) ∧(?tQ(x,t,z)→P(x,y))) 后面约束变元与前面同则后面换名??x((?P(x,y)∨?sQ(x,s,z))∧(??tQ(x,t,z)∨P(x,y))) 条件式的等值式 ??x((?P(x,y)∨?sQ(x,s,z))∧(?t?Q(x,t,z)∨P(x,y))) 德摩律
离散数学章练习题及答案
离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r
离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案
4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则（A ）；如 果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。 （2）设有序对
离散数学第二章
离散数学第二章 1. 有序二元组也称序偶,设 A , B 为任意集合，A 和 B 的笛卡尔积用 A × B 表示，定义为 A × B = {(a , b ) | a ∈ A , b ∈ B }。 2. 推广 n 个集合的笛卡儿积为A 1 × A 2 × … × A n = {(x 1, x 2, …, x n ) | x i ∈ A i , i = 1, 2, …, n }。 3. 笛卡尔乘与交并集符号之间满足分配率： A × (B ? C ) = (A × B ) ? (A × C ) 4. 笛卡尔积 A × B 的任意一个子集 ρ 称为由 A 到 B 的一个二元关系，当 A = B 时，称 ρ 是 A 上 的二元关系。 5. 几种特殊的关系：空关系，全关系（普遍关系）记为U A ，恒等关系I A = {(a , a ) | a ∈ A }。 6. 关系的表示方法：集合表示法，矩阵表示法，关系图表示法（结点，单边）自环 7. A,B 上的关系的交，并，补，运算结果都是A 到B 的关系。 8. ，称为关系p 的逆运算也记为p-1 9. 关系的复合运算：当且仅当存在元素 b ∈ B ，使得 a ρ1 b ，b ρ2 c 时，有 a (ρ1 ? ρ2) c 。 10. I A ? ρ = ρ ? I B =p ，关系的复合满足结合律：(ρ1 ? ρ2) ? ρ3 = ρ1 ? (ρ2 ? ρ3)。 11. 规定：ρ 0 = {(a , a ) | a ∈ A }，即 ρ 0 = I A 12. 复合关系的求法：定义，关系图，矩阵 13. 设 A 、B 均是有限集，ρ1、ρ2 都是由 A 到 B 的关系，它们的关系矩阵分别为和 ，则下列关系的关 系矩阵如何？ ρ1 ? ρ2，ρ1 ? ρ2，ρ1'，ρ1 - ρ2 ，ρ1-1。 14. 设 ρ1, ρ2 是集合 A 上的任意的关系，则 (ρ1 ? ρ2)-1 = ρ2-1 ? ρ1-1 15. 关系的性质：自反，非自反，反自反；对称，非对称，反对称；可传递，不可传递； 16. 反自反的关系一定是非自反的关系；若ρ是 A 上的反对称关系，则由定义知，在ρ中，(a , b ) 与 (b , a ) 至多有一个出现，其中 a ≠ b 。 17. {(1, 2), (3, 0), (3, 2)}这个关系可传递 18. 设 ρ 为 A 上的关系，（1） ρ 在 A 上自反当且仅当 I A ? ρ （2） ρ 在 A 上反自反当且仅当 ρ ∩I A = Φ （3） ρ 在 A 上对称当且仅当 ρ = ρ -1 （4） ρ 在 A 上反对称当且仅当 ρ ∩ ρ -1 ? I A （5） ρ 在 A 上传递当且仅当 ρ ? ρ ? ρ 。（自证，ppt 中有过程） 19.利用关系矩阵判断： }),(|),{(~ρρ ∈=b a a b
《离散数学》全程练习册(2011)答案(讲解用)
第1章 命题逻辑 一、单项选择题 1．下列语句中不是命题的有（ C ）. A 9+5≤12 ； B. 1+3=5； C. 我用的计算机CPU 主频是1G 吗？； D.我要努力学习。 2. 下列语句是真命题为( C )． A. 1+2=5当且仅当2是偶数 B. 如果1+2=3，则2是奇数 C. 如果1+2=5，则2是奇数 D. 你上网了吗？ 3. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→?,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( D ) 0,0,1)D (0 ,1,0)C (1 ,0,0)B (0 ,0,0)A ( 4. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( B ) (A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 5. 下列命题公式等值的是( C ) B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q P Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧?6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( B ) Q P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A (7．设P ：我听课，Q ：我看小说．命题 “我不能一边听课，一边看小说”的符号为（D ） A. Q P ?→ ； B. Q P →?； C. P Q ?∧? ； D. )(Q P ∧? 8. 命题公式)(Q P →?的主析取范式是( A )． (A) Q P ?∧ (B) Q P ∧? (C) Q P ∨? (D) Q P ?∨ 9. 前提为：P Q P ,?→；则有效结论是( A,D )． (A) P (B) ?P (C) Q (D)?Q 10．下列表达式正确的有（ A, C ）
离散数学-第七章二元关系课后练习习题及答案
第七章作业 评分要求： 1. 合计100分 2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由). 3. 总得分在采分点1处正确设置. 1 设R={