2015年安徽省高考数学试卷(理科)附详细解析
2015年安徽省高考数学试卷（理科）
一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（5分）（2015?安徽）设i是虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B ．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1
3．（5分）（2015?安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的
（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）（2015?安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为
y=±2x的是（）
A．
x2﹣
=1 B．
﹣y2=1
C．
﹣x2=1
D．
y2﹣
=1
5．（5分）（2015?安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
6．（5分）（2015?安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）
A．8 B．15 C．16 D．32
7．（5分）（2015?安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）
A．1+
B．
2+
C．
1+2
D．
2
8．（5分）（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，
满足
=2
，
=2
+
，则下列结论正确的是（）
A．
|
|=1
B．⊥C．
?
=1
D．
（4
+
）⊥9．（5分）（2015?安徽）函数f（x）=
的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a＞0，b＞0，c
＜0
B．
a＜0，b＞0，c
＞0
C．
a＜0，b＞0，c
＜0
D．
a＜0，b＜0，c
＜0
10．（5分）（2015?安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ
均为正的常数）的最小正周期为π，当x=
时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）
A．f（2）＜f（﹣
2）＜f（0）
B．
f（0）＜f（2）
＜f（﹣2）
C．
f（﹣2）＜f
（0）＜f（2）
D．
f（2）＜f（0）
＜f（﹣2）二.填空题（每小题5分，共25分）
11．（5分）（2015?安徽）（x3+
）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）
12．（5分）（2015?安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=
（ρ∈R）距离的最大值是．
13．（5分）（2015?安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为
14．（5分）（2015?安徽）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，
a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于．
15．（5分）（2015?安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）
①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，
b=2．
三.解答题（共6小题，75分）
16．（12分）（2015?安徽）在△ABC中，∠A=
，AB=6，AC=3
，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．
17．（12分）（2015?安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）
18．（12分）（2015?安徽）设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）记Tn=x12x32…x2n﹣12，证明：Tn≥
．
19．（13分）（2015?安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．
（Ⅰ）证明：EF∥B1C；
（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．
20．（13分）（2015?安徽）设椭圆E的方程为
+
=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为
（Ⅰ）求E的离心率e；
（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB 的对称点的纵坐标为
，求E的方程．
21．（13分）（2015?安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．
（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣
，
）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣
，
]上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣
满足条件D≤1时的最大值．
2015年安徽省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（5分）（2015?安徽）设i是虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考
复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
点：
专
计算题；数系的扩充和复数．
题：
分
先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．
析：
解答：解：
=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．
点评：
本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1
考
点：
函数的零点；函数奇偶性的判断．菁优网版权所有
专
题：
函数的性质及应用．
分
析：
利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．
解答：解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；
对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；
对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；
对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；
故选A．
点评：本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．
3．（5分）（2015?安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考
点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
专
题：
简易逻辑．
分
析：
运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断．
解答：解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，
若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．
由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．故选A．
点评：
本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题．
4．（5分）（2015?安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为
y=±2x的是（）
A．
x2﹣
=1 B．
﹣y2=1
C．
﹣x2=1
D．
y2﹣
=1
考
点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专
题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分
析：
对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．
解答：解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；
由B可得焦点在x轴上，不符合条件；
由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=
x，不符合条件．
故选C．
点评：
本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．
5．（5分）（2015?安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平
面，则下列命题正确的是（）
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
考空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平
6．（5分）（2015?安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）
析：关系进行求解即可．
解
答：
解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，
∴
=8，即DX=64，
数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，
则对应的标准差为
=
=16，
故选：C．
点
评：
本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．
7．（5分）（2015?安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）
A．
1+
B．
2+
C．
1+2
D．
2
考
点：
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专
题：
计算题；空间位置关系与距离．
分
析：
根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积．
解
答：
解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；
∴该几何体的表面积为
S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC
=
×2×1+2×
×
+
×2×1
=2+
．
故选：B．
点本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几
评：何体的结构特征，是基础题目．
8．（5分）（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，
满足
=2
，
=2
+
，则下列结论正确的是（）
A．
|
|=1
B．⊥C．
?
=1
D．
（4
+
）⊥
考
点：
平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
专
题：
平面向量及应用．
分
析：
由题意，知道
，
，根据已知三角形为等边三角形解之．
解
答：
解：因为已知三角形ABC的等边三角形，
，
满足
=2
，
=2
+
，又
，
所以
，
，
所以
=2，
=1×2×cos120°=﹣1，
4
=4×1×2×cos120°=﹣4，
=4，所以
=0，即（4
）
=0，即
=0，所以
；
故选
D．
点
评：
本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．
9．（5分）（2015?安徽）函数f（x）=
的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．
a＞0，b＞0，c
＜0
B．
a＜0，b＞0，c
＞0
C．
a＜0，b＞0，c
＜0
D．
a＜0，b＜0，c
＜0
考
点：
函数的图象．菁优网版权所有
专
题：
函数的性质及应用．
分分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可．
析：
解
答：
解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，
f（0）=
，∴b＞0，
由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣
，
即函数的零点x=﹣
＞0，
∴a＜0，
综上a＜0，b＞0，c＜0，
故选：C
点
评：
本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决本题的关键．
10．（5分）（2015?安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ
均为正的常数）的最小正周期为π，当x=
时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）
A．
f（2）＜f（﹣
2）＜f（0）
B．
f（0）＜f（2）
＜f（﹣2）
C．
f（﹣2）＜f
（0）＜f（2）
D．
f（2）＜f（0）
＜f（﹣2）
考
点：
三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有
专
题：
创新题型；三角函数的图像与性质．
分
析：
依题意可求ω=2，又当x=
时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）=Asin（2x+ ），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．
解
答：
解：依题意得，函数f（x）的周期为π，
∵ω＞0，
∴ω=
=2．（3分）
又∵当x=
时，函数f（x）取得最小值，
∴2×
+φ=2kπ+
，k∈Z，可解得：φ=2kπ+
，k∈Z，（5分）
∴f（x）=Asin（2x+2kπ+
）=Asin（2x+
）．（6分）
∴f（﹣2）=Asin（﹣4+
）=Asin（
﹣4+2π）＞0．
f（2）=Asin（4+
）＜0
f（0）=Asin
=Asin
＞0
又∵
＞
﹣4+2π＞
＞
，而f（x）=Asin（2x+
）在区间（
，
）是单调递减的，
∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）
故选：A．
点
评：
本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．