高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
圆锥曲线第3讲抛物线
【知识要点】
一、抛物线的定义
平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l
F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。
注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l
F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。
注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。
二、抛物线的标准方程
1.抛物线的标准方程
抛物线的标准方程有以下四种：
（1）
px
y2
2=
（
>
p），其焦点为
)0,
2
(
p
F
，准线为2
p
x-
=
；
（2）
px
y2
2-
=（0
>
p），其焦点为
)0,
2
(
p
F-
，准线为2
p
x=
；
（3）
py
x2
2=
（
>
p），其焦点为
)
2
,0(
p
F
，准线为2
p
y-
=
；
（4）
py
x2
2-
=
（
>
p），其焦点为
)
2
,0(
p
F-
，准线为2
p
y=
.
2.抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端
是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向.
三、抛物线的性质
以标准方程
px y 22
=（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ；
（3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ；
（6）焦点：
)0,2(p F ； （7）准线：
2p x -
=；
（8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若
)
,(00y x P 为抛物线
px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p
x PF +
=；
（11）通径长：p 2.
注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线
px y 22=
（0>p ）的焦点)0,2(p F 和准线l ：2p x -=为例，可求得其焦准距为p p p =--)2(2；
注2：抛物线的焦点弦指的是由过抛物线的焦点与该抛物线交于不同两点的直线所构成的
弦。设抛物线的方程为px y 22
=（0>p ），过其焦点
)
0,2(p
F 且不垂直于x 轴的直线交该抛物线于),(11y x A 、),(22y x B 两点，则由抛物线的定义，可知其焦半径
2)2(11p x p x AF +=--=，2)2(22p
x p x BF +
=--=，于是该抛物线的焦点弦长为
p
x x p
x p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2(.
注3：抛物线的通径指的是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是抛物线的所有焦
点弦中最短的弦。设抛物线的方程为px y 22
=（0>p ），过其焦点
)
0,2(p
F 且垂直于x 轴的直线交该抛物线于A 、B 两点（不妨令点A 在x 轴的上方），则),2(p p A 、),2(p p
B -，
于是该抛物线的通径长为p
p p AB 2)(=--=.
四、与抛物线相关的几个重要结论
设抛物线的方程为px y 22
=（0>p ），点
)0,2(p F 是其焦点，直线l ：2p
x -=是其准线，若过该抛物线焦点F 的直线交该抛物线于),(11y x A 、),(22y x B 两点（即线段AB 是该抛物线的焦点弦），并且点A 、点B 在其准线上的垂足分别为点C 、点D ，线段CD 的中点为点
N ，则可以证明：
（1）2
21p y y -=，
42
21p x x =； （2）
θ221sin 2p
p x x AB =
++=（这里，θ为直线AB 的倾斜角）；
（3）
θsin 22p S AOB
=
?（这里，θ为直线AB 的倾斜角）；
（4）以线段AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切； （5）
90=∠ANB ，
90=∠CFD ；
（6）以线段CD 为直径的圆切直线AB 于点F .
证明：由于当直线AB 的斜率不存在或斜率存在且不为零时，均符合题意，因此为避免分情
况进行讨论而使得证明过程比较繁琐，根据直线AB 过点)
0,2(p
F ，我们可巧设其方程为2cot p
y x +
?=θ，这里，θ为直线AB 的倾斜角.
（1）联立???
?
?+?=-=2cot 22p y x px y θ，得
0cot 222=-?-p y p y θ 由韦达定理，有 θθcot 21cot 221p p y y =--=+，22
211p p y y -=-=
故p p p p y y y y p y y p y p y x x 2)
(2)cot 2(22)(22222212212
221222121--=
-+=+=+=+θ
)
1cot 2(cot 222cot 4222
22+=+=+=θθθp p p p p p
444)(4)(222
2
42222221222121p p p p p p y y p y p y x x ==-==?=
（2）由抛物线的定义，有
)]
2([)]2([21p
x p x BD AC BF AF AB --+--=+=+= p
p
y p y p x x p x p x ++?++?=++=+++=)2(cot )2(cot )2()2(212121θθ
θθθθθθ22221sin 2csc 2)1(cot 22cot 2cot 2)(cot p
p p p p p y y =
?=+=+?=++=
（3）
)
(4)cot 2(4
4)(4
)(2
212
1222122122121p p p
y y y y p y y p y y OF S AOB --=-+=-??=-?=?θ
θθθθθcsc 24csc 24csc 44)1(cot 444cot 442222222p p p p p p p p p p p ?===+=+=
θθsin 2sin 1222p p =
?=
（4）设AB 的中点为
)
,(00y x M
则)
1(cot 2)1(cot 22)1cot 2(2222)2(222212100+=+=++=++=++=+=--θθθp p p p p x x p x x p x p x
又 2122
1212212212214)(4)()()(y y y y x x x x y y x x AB -++-+=-+-=
2
2222422222
2
4cot 4)1cot 4cot 4()(4)cot 2(4
4)]1cot 2([p p p p p p p p ++-++=
--+?-+=θθθθθ )
1(cot 2)1(cot 4)1cot 2(cot 44cot 8cot 4222224222242+=+=++=++=θθθθθθp p p p p p
)1(cot 22+=θp
AB
p x 21
)2(0=--∴
这表明，AB 的中点
)
,(00y x M 到准线l ：
2p
x -
=的距离等于AB 的一半，即以线段AB 为
直径的圆的圆心
)
,(00y x M 到准线l ：
2p
x -
=的距离等于圆的半径.
故以线段AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切
（5）),(11y x A ，),(22y x B ，
)2,2(21y y p N +-
22)2(21211211p x y y p x y y y k NA
+-=--+-
=∴，22)2(222
1
2212p x y y p x y y y k NB +
--=--+-= 1cot cot )1cot 2(2244cot 44)1cot 2(244)(4)cot 2(4
)(244)()2)(2(4)(22222
222222222
22222222
21212
122121*********-=++-=+++-=++?+---=+++-+-=++--=+--?+-=?p p p p p p p p p p p p p p p x x p x x y y y y p x p x y y p x y y p x y y k k NB
NA θθθθθθ于是
故NB NA ⊥，即
90=∠ANB
又
),2(1y p C -
，),2(2y p D -，
)0,2(p F ),(1y p -=∴，),(2y p -=
于是
0)(2
2212=-+=+=?p p y y p 故FD FC ⊥，即
90=∠CFD
（6）
θ
θ2222
22
2122
212cot )2
cot 2(
)2
(
)20()]2(2[p p p p y y p y y p p NF +=+=++=
+-+--=
)cot 1()cot 1(222θθ+=+=p p
)
(4)cot 2(4)()(222122122121p p y y y y y y y y CD --=-+=-=-=θ
)1(cot 2)1(cot 44cot 4222222+=+=+=θθθp p p p
CD NF 21=
∴
这表明，
CD 的中点)2,2(21y y p N +-
到点)0,2(p
F 的距离等于CD 的一半，即以线段CD 为
直径的圆的圆心
)2,2(21y y p N +-
到点
)0,2(p F 的距离等于圆的半径. 故以线段CD 为直径的圆切直线AB 于点F
【例题选讲】
题型1：抛物线定义的应用
1. 已知F 是抛物线x y =2的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB
的中点到y 轴的距离为___________.
解：在抛物线x y =2
中，12=p ，即
21
=
p
∴该抛物线的焦点为)0,41(F ，准线方程为
41-
=x
由此可知，直线AB 不垂直于x 轴，否则
1
21
21=+=+BF AF ，与已知3=+BF AF 矛盾 设),(11y x A ，),(22y x B
则线段AB 的中点到y 轴的距离
22
1x x d +=
，并且由抛物线的定义，有
41)41(11+=--=x x AF ，41
)41(22+
=--=x x BF
于是由3
=+BF AF ，有
25
3212121=+?=+
+x x x x
故线段AB 的中点到y 轴的距离
45225221=
=+=x x d
2. 设抛物线
x y 82
=的焦点为F ，准线为l ，点P 为该抛物线上一点，l PA ⊥，点A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么PF
=___________.
解：在抛物线
x y 82
=中，82=p ，即4=p ∴该抛物线的焦点为)0,2(F ，准线方程为2-=x
由3-=AF k ，)0,2(F 可知，直线AF 的方程为)2(30--=-x y ，即323+-=x y
联立??
?-=+-=2
3
23x x y ，得
??
?=-=342
y x )34,2(-∴A
于是由l PA ⊥于点A 知，34==A P y y
将其代入方程x y 82
=中，得68)34(2
==P x
故由抛物线的定义，有8
26)2(=+=--==P x PA PF
3. 已知以F 为焦点的抛物线x y 42
=上的两点A 、B 满足FB AF 3=，则弦AB 的中点到准
线的距离为___________.
解：在抛物线
x y 42=中，42=p ，即2=p ∴该抛物线的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x
设),(11y x A ，),(22y x B
则弦AB 的中点到准线的距离
12)1(22121++=--+=
x
x x x d ，并且),1(11y x --=，
),1(21y x -=
于是由3=，有???-=+-=??
?
?=--=-212121213433)1(31y y x x y y x x ， 又由3=可知，直线AB 的斜率存在，不妨设为k 则直线AB 的方程为)1(0-=-x k y ，即k kx y -=
联立???-==k kx y x
y 42，得
0442=--k y ky 由韦达定理，有
4421-=-=
k k
y y
而22213y y y -=
34432
222=
?-=-∴y y ，1234992
221=?==y y
于是341242
11===y x ，
31434
42
22=
==y x 故弦AB 的中点到准线的距离381351231
312
2
1=+=++
=++=
x x d
题型2：求抛物线的方程
4. 设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为2-=x ，则该抛物线的方程是___________.
解：由所求抛物线的准线方程为2-=x ，可设其方程为
px y 22
=（0>p ）
则有
422=?-=-
p p
故所求抛物线的方程为
x y 82
=
5. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程是___________.
解：由题设条件可设所求抛物线的方程为px y 22±=（0>p ）或py x 22
±=（0>p ）
则由焦准距为2，有2=p
故所求抛物线的方程为x y 42±=或y x 42
±=
6. 已知抛物线过点)2,3(-P ，则该抛物线的标准方程为___________，其准线方程为___________.
解：由所求抛物线过点)2,3(-P ，可设其方程为px y 22-=（0>p ）或py x 22
=（0>p ）
则有p 64=或p 49=
于是
32=
p 或49
=p
故所求抛物线的方程为
x y 342-=或y
x 29
2=
7. 已知抛物线的焦点F 在直线042=--y x 上，则该抛物线的标准方程为___________，其准线方程为___________.
解：在方程042=--y x 中，令0=x ，得2-=y ；令0=y ，得4=x 于是所求抛物线的焦点为)2,0(-F 或)0,4(F
（ⅰ）当所求抛物线的焦点为)2,0(-F 时，据此可设所求抛物线的方程为py x 22
-=（0>p ）
则有422=?-=-
p p
于是此时所求抛物线的方程为y x 82-=，其准线方程为
22==
p
y
（ⅱ）当所求抛物线的焦点为)0,4(F 时，据此可设所求抛物线的方程为px y 22
=（0>p ）
则有842=?=p p
于是此时所求抛物线的方程为x y 162
=，其准线方程为
42-=-
=p
x
故所求抛物线的方程为y x 82-=或
x y 162
=，它们对应的准线方程分别为2=y ，4-=x .
8. 已知动圆与圆A ：
9)3(22=+-y x 外切，且与y 轴相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为___________. 解：设),(y x M
则由动圆M 与圆A 外切，且与y 轴相切，有
3
+=x MA （0≠x ） 3
)0()3(22+=-+-?x y x （0≠x ），即
)
(62x x y +=（0≠x ）（*）
当0>x 时，由（*）式，有x y 122=；当0 02 =y 故动圆圆心M 的轨迹方程为???<=>=0 ,00,122 2x y x x y 9. 若抛物线px y 22=（0>p ）的焦点恰好是双曲线22 2=-y x 的右焦点，则p =___________. 解：抛物线 px y 22 =的焦点为)0,2(p F ，准线方程为2p x -= 在双曲线222=-y x ，即1222 2=-y x 中，222==b a ，422222=+=+=b a c 2==∴b a ，2=c 于是双曲线 22 2=-y x 的左、右焦点分别为)0,2(1-F 、)0,2(2F 圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点 抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22= 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 【最新】《平面解析几何》专题 一、选择题 1．若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP →→ g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C 【解析】 【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ?u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根 据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】 设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则 22OP FP x x y ?=++u u u r u u u r ， 因为点P 为椭圆上，所以有：22143 x y +=即2 2334y x =-， 所以()2222 23132244 x x y x x x FP x OP =++=?++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤， 所以当2x =时，OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为6 故选：C 【点睛】 本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题. 2．已知直线21y kx k =++与直线1 22 y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1 2 k > B ．16k <- 或1 2 k > C ．62k -<< D ．1162 k - << 【答案】D 【解析】 【分析】 联立21 1 22y kx k y x =++???=-+?? ，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线 解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 2019年 1.（2019全国II 理8）若抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点是椭圆 2231x y p p + =的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019北京理18（1））已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1).求抛物线C 的方程及其准线方程； 3．（2019全国I 理19）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3 2 的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若 4AF BF +=，求l 的方程； （2）若3AP PB =uu u r uu r ，求AB ． 4. （2019全国III 理21）已知曲线C ：y =2 2 x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分 别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0， 5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C ：2 4=y x 的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则?FM FN = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．（2017新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：2 4y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与 C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于 D 、 E 两点，则||||AB DE +的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 3．(2016年四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2 2(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为 平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ． 1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程． 5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系． 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 2 1 专题九 解析几何 第二十七讲 抛物线 2019 年 x 2 1.（2019 全国 II 文 9）若抛物线 y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆 + y = 1的一个焦点，则 3 p p p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019 浙江 21）如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧.记△AFG ,△CQG 的面积为 S 1 , S 2 . （1）求 p 的值及抛物线的准线方程； S （2）求 1 的最小值及此时点 G 的坐标. S 2 3.(2019 全国 III 文 21）已知曲线 C ：y = x 2 ，D 为直线 y = - 上的动点，过 D 作 C 的两条切 2 线，切点分别为 A ，B . （1）证明：直线 AB 过定点： 5 （2）若以 E (0， 2 )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程. 1.解析（1）设 D ? t , - 1 ? , A (x , y )，则 x 2 = 2 y . 2 ? 1 1 1 1 ? ? 2 2 5 y 2 1 由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x 1 ，故 1 + 1 2 = x ，整理得2 tx 1 - 2 y 1 +1=0. 设 B (x 2 , y 2 ) ，同理可得2tx 2 - 2 y 2 +1=0 . 故直线AB 的方程为2tx - 2 y +1 = 0 . 1 所以直线AB 过定点(0, ) . 2 x 1 - t （2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1 . 2 ? y = tx + 1 ?? 由? 2 ? y = x ?? 2 2 ，可得 x 2 - 2tx -1 = 0 . 于是 x + x = 2t , y + y = t (x + x )+1 = 2t 2 +1 . 1 2 1 2 1 2 设M 为线段AB 的中点，则 M ? t , t 2 + 1 ? . 2 ? ? ? 由于 EM ⊥ AB ，而 EM = ( t , t 2 - 2) ， AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + ( t 2 - 2) t = 0 .解得 t =0或t = ±1. 当t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为 x 2 + ? y - ? 5 ?2 ? ? ? = 4 ； 5 ?2 当t = ±1时， | EM |= ，所求圆的方程为 x 2 + y - ? ? ? = 2 . 2010-2018 年 一、选择题 1．（2017 新课标Ⅱ）过抛物线C ：y 2 = 4x 的焦点 F ，且斜率为 的直线交C 于点 M ( M 在 x 轴上方)， l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN ⊥ l ，则 M 到直线 NF 的距离为 A ． B ． 2 C ． 2 D ． 3 3 2 3 3 2 专题五平面解析几何 专题五平面解析几何 第14讲直线与圆 [云览高考] 二轮复习建议 命题角度：该部分主要围绕两个点展开命题．第一个点是围绕直线与圆的方程展开，设计考查求直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等问题，目的是考查平面解析几何初步的基础知识和方法，考查运算求解能力，试题一般是选择题或者填空题；第二个点是围绕把直线与圆综合展开，设计考查直线与圆的相互关系的试题，目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综合运用，这个点的试题一般是解答题． 预计2013年该部分的命题方向不会有大的变化，以选择题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程，而在解答题中考查直线方程、圆的方程的综合运用．复习建议：该部分是解析几何的基础，涉及大量的基础知识，在复习时要把知识进一步系统化，在此基础上，在本讲中把重点放在解决直线与圆的方程问题上． 主干知识整合 1.直线的概念与方程 (1)概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过 两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2 )； (2)直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1 ≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)； (3)位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2?k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点； (4)距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． 2．圆的概念与方程 (1)标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)； (2)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； (3)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. 要点热点探究 ? 探究点一 直线的概念、方程与位置关系 例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( B ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 (2)[2012·浙江卷] 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋ 1)y ＋4＝0平行”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)都有其适用范围，在解题时不要忽视这些特殊情况，如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况；一般地，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1，垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 变式题 (1)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得的直线方程为( A ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13 x ＋1 (2)“a ＝－2”是“直线ax ＋2y ＝0垂直于直线x ＋y ＝1”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ? 探究点二 圆的方程及圆的性质问题 例2 (1)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( C ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425 B ．x 2＋(y －1)2＝6425 C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1 (2)[2012·陕西卷] 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( A ) A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 [点评] 确定圆的几何要素：圆心位置和圆的半径，求解圆的方程就是求出圆心坐标和 第7讲抛物线 【2013年高考会这样考】 1．考查抛物线定义、标准方程． 2．考查抛物线的焦点弦问题． 3．与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等． 【复习指导】 熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用． 基础梳理 1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点O(0,0) 对称y＝0x＝0 轴 焦点F ? ? ? ? ? p 2 ，0F ? ? ? ? ? － p 2 ，0F ? ? ? ? ? 0， p 2F? ? ? ? ? 0，－ p 2离心 率 e＝1 准线 方程 x＝－ p 2x＝ p 2y＝－ p 2y＝ p 2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右向左向上向下焦半 径 |PF|＝ x ＋ p 2 |PF|＝ －x0＋ p 2 |PF|＝ y ＋ p 2 |PF|＝ －y0＋ p 2 一个结论 焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F ? ? ? ? ? p 2 ，0的距离|PF|＝x0＋ p 2 . 两种方法 (1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2＝by(b≠0)． 双基自测 高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越 专题11平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编) 1．【2018年广西预赛】已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围． 2．【2018年安徽预赛】设O是坐标原点，双曲线C：上动点M处的切线，交C的两条渐近线于 A、B两点. ⑴求证：△AOB的面积S是定值； ⑵求△AOB的外心P的轨迹方程. 3．【2018年湖南预赛】已知抛物线的顶点，焦点，另一抛物线的方程为 在一个交点处它们的切线互相垂直.试证必过定点，并求该点的坐标. 4．【2018年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作与Q.求证：. 5．【2018年湖北预赛】已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线 交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围. 6．【2018年甘肃预赛】已知椭圆过点，且右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值． 7．【2018年吉林预赛】如图，已知抛物线过点P（-1，1），过点Q（，0）作斜率大于0的直线l 交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B.△PMA 与△OAB的面积分别记为，比较与3的大小，说明理由. 8．【2018年山东预赛】已知圆与曲线为曲 线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．9．【2018年天津预赛】如图，是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）；⑵、A、B四点在同一个圆上. 10．【2018年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆．试求它的对称中心及对称轴． 高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为 第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2 x 1－x 2. 3．直线方程 1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况． 2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误． 3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B . [试一试] 1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－1 2 解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－3 2时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝ 1，即2m 2－3m －2＝0， 故m ＝2或m ＝－1 2 . 2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4 －2－m ＝1，∴m ＝1. 答案：1 3．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－4 3， 所以y ＝－4 3x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点． 设x a ＋y a ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程的一般方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应 4 13 2 y ? 1 专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 答案部分 2019 年 ? p ?2 1．D 解析 由题意可得： 3 p - p = ? ? ? ，解得 p = 8 ．故选 D ． 2.解析（I ）由抛物线C : x 2 = -2 py 经过点 (2, -1) ，得 p = 2 . 所以抛物线 C 的方程为 x 2 = -4 y ，其准线方程为 y = 1. 3 3.解析 设直线l : y = x + t , A (x 1, y 1 ), B (x 2, y 2 ) ． 2 （1）由题设得 F ? 3 ,0 ? ，故| AF | + | BF |= x + x + 3 ，由题设可得 x + x = 5 ． 4 ? 1 2 2 1 2 2 ? ? ? y = 3 x + t 12(t -1) 由? 2 ，可得9x 2 +12(t -1)x + 4t 2 = 0 ，则 x + x = - ． ? ?? y 2 = 3x 1 2 9 从而- 12(t -1) = 5 ，得t =- 7 ．所以l 的方程为 y = 3 x - 7 ． 9 2 8 2 8 （2）由 AP = 3PB 可得 y 1 = -3y 2 ． ? y = 3 x + t 由? 2 ，可得 y 2 - 2 y + 2t = 0 ． ?? y 2 = 3x 所以 y 1 + y 2 = 2 ．从而-3y 2 + y 2 = 2 ，故 y 2 = -1, y 1 = 3 ． 代入C 的方程得 x = 3, x = 1 ．故| AB |= ． 1 2 3 3 4．解析（1）设 D ? t , - 1 ? , A (x , y )，则 x 2 = 2 y . 2 ? 1 1 1 1 ? ? 由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x ，故 1 + 1 2 = x ，整理得2 tx - 2 y +1=0. 1 1 1 x 1 - t 专题55 平面解析几何专题训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若2222c b a =+(0≠c )，则直线0=++c by ax 被圆122=+y x 所截得的弦长为( )。 A 、 2 1 B 、22 C 、1 D 、2 【答案】D 【解析】∵圆心)00(，到直线0=++c by ax 的距离2 2 2 2= += b a C d ， 因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于2 2)22( 12=-，∴弦长为2，故选D 。 2．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。 A 、 59 B 、1029 C 、518 D 、5 29 【答案】B 【解析】∵ 5 12 8463-≠ =，∴两直线平行，将直线01243=-+y x 化为02486=-+y x ， 由题意可知||PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，即 10 29 865242 2= +--，故选B 。 3．若圆4)()(22=-+-a y a x 上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围为( )。 A 、)022(， - B 、)220()022(，， - C 、)221()122(，， -- D 、)220(， 【答案】B 【解析】由题意已知圆与圆422=+y x 相交，∴222222+<+<-a a ， 解得2222<<-a 且0≠a ，故选B 。 4．双曲线122=-my x 的实轴长是虚轴长的2倍，则=m ( )。 A 、 41 B 、2 1 C 、2 D 、4 【答案】D 【解析】12 2 =-my x 可化为1122 =-m y x ，则12=a ，m b 12=，∵实轴长是虚轴长的2倍， ∴b a 222?=，即b a 2=，即224b a =，∴4=m ，故选D 。 抛物线 【考点梳理】 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 【教材改编】 1．(选修2-1 P 67练习T 2(4)改编)抛物线280x y +=的焦点坐标为( ) A ．()0,2- B ．()0,2 C ．10,32? ?- ?? ? D ．10,32?? ??? [答案] C [解析] 由280x y +=，得21 8 x y =-. 128p =，116 p =， ∴焦点为10,32? ?- ?? ?，故选C. 2．(选修2-1 P 73A 组T 2（1）改编)以1x =为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．22y x = B ．22y x =- C ．24y x = D ．24y x =- [答案] D [解析] 由准线1x =知，抛物线方程为：22y px =-（0p >）且12 p =，2p =， ∴方程为24y x =-，故选D. 3．(选修2-1P 73A 组T 3改编)M 是抛物线22y px =（0p >）位于第一象限的点， F 是抛物线的焦点，若5 F 2 p M = ，则直线F M 的斜率为( ) A ．43 B ．53 C ．54 D ．52 [答案] A [解析] 设()00,x y M ，由5 F 2 p M = ，得 05 22 p x p + =，∴02x p =. ∴220024y px p ==，取正根得02y p =. 即M 的坐标为()2,2p p ，又F 的坐标为,02p ?? ??? ， ∴F 204 322 p k p p M -= =- ，故选A. 4．(选修2－1 P 74A 组T 8改编)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽为( ) A ．2 3 m B ．2 6 m C ．4 2 m D ．4 3 m [答案] B [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py ，得p ＝ 1. ∴x 2＝－2y . 当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y ，得x 20＝6，∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m ．故选B. 5．(选修2－1 P 69例4改编)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22 B. 2高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
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