二次函数最经典练习题
一、顶点、平移
1、抛物线y ＝－(x ＋2)2
－3的顶点坐标是（ ）．
(A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 2、抛物线2
21y x x =-+的顶点坐标是( ) A ．（1，0）
B ．（－1，0）
C ．（－2，1）
D ．（2，－1）
3、抛物线y=x 2
-2x -3的顶点坐标是 .
4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2
+ 1 B ．y = (x + 2)2
+ 1 C ．y = (x ? 2)2
? 3 D ．y = (x + 2)2
? 3
5、将二次函数2
45y x x =-+化为2
()y x h k =-+的形式，则y = ． 6、二次函数522-+=x x y 有( ) A ． 最大值5-
B ． 最小值5-
C ． 最大值6-
D ． 最小值6-
7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ）
A ．其图象的开口向下
B ．其图象的对称轴为直线3-=x
C ．其最小值为1
D ．当3 1、如图为抛物线2 y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是 ( ) A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b <2a D ． ac <0 2、已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )A ． a >0 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0 3、如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）2 40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。你认为其中错误．．的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4、如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12?? ??? ，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2 =4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（ ） x y -1 1 1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、列表法、增减性 1、下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（ ）． A ．y = x 2 B ．y = x －１ C ． y = 3 4 x D ．y = 1 x 2、二次函数2 23y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3 D ．x ＜－1或x ＞3 3、已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值－1，有最大值0 C ．有最小值－1，有最大值3 D ．有最小值－1，无最大值 4、已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 A.4 B.4≤k C.4 D.4≤k 且3≠k 5、如图，抛物线y = x 2 + 1与双曲线y = k x 的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式 k x + x 2 + 1 < 0 的解集是 ( ) A ．x > 1 B ．x < ?1 C ．0 < x < 1 D ．?1 < x < 0 6、 （2011浙江省舟山，15，4分）如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ． 四、函数图象综合 1、（2011山东德州6,3分）已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如下面图所示，则函数 b ax y +=的图象可能正确的是 2、（2011安徽芜湖，10，4分）二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a y x =与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ ）. y x 1 1 O y x 1 -1 O y x -1 -1 O 1 -1 x y O 第6题图 3、（2011山东聊城，9，3分）下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是 （） 五、对称性、二次函数与一元二次方程的关系 1、（07江西）已知二次函数22 y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x的 一元二次方程220 x x m -++=的解为． 2、（2011浙江省嘉兴，15，5分）如图，已知二次函数c bx x y+ + =2的图象经过 点（-1，0），（1，-2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为． 六、解答题 1、（2009泰安）24（本小题满分10分） 如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线 。 轴交于点 与E x m x y+ - = 3 3 （1）求点E的坐标 （2）求过A、O、E三点的抛物线解析式； （3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合）， 设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值。 x y （第2题） O 1 1 （1,-2） bx x y+ =2 -1 A B C 2、（2011贵州贵阳，21，10分）如图所示，二次函数y =-x 2 +2x +m 的图象与x 轴的一 个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ． （1）求m 的值；（3分） （2）求点B 的坐标；（3分） （3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x ＞0，y ＞0），使S △ABD =S △ABC ，求点D 的坐标．（4分） 3、（2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y =2 1x 2 +bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． 4、（2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分） 如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在， 求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 第27题图 y x O C B A 5、（2008·巴中中考）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线218 55 y x x =- +，其中y （m ）是球的飞行高度，x （m ）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ． （1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离． （3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式． 6．（2012?佳木斯）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过坐标原点，并与x 轴交于点A （2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B ，且S △OAB =3，求点B 的坐标． 7．（2012?连云港）如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF=2，EF=3， （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）求△ABD 的面积； （3）将△AOC 绕点C 逆时针旋转90°，点A 对应点为点G ， 问点G 是否在该抛物线上？请说明理由． 8．（2012?江西）如图，已知二次函数L 1：y=x 2﹣4x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ． （1）写出A 、B 两点的坐标； （2）二次函数L 2：y=kx 2﹣4kx+3k （k ≠0），顶点为P ． ①直接写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质； ②是否存在实数k ，使△ABP 为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由； ③若直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由． 9．（2012?鸡西）如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=2，OC=3． （1）求抛物线的解析式． （2）若点D （2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 10、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元， 售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？ （2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？ 销售单价x （元/件） … 20 30 40 50 60 … 每天销售量（y 件） … 500 400 300 200 100 … 11、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 12．体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线 3 5 321212++- =x x y 的一部分，根据关系式回答： ⑴ 该同学的出手最大高度是多少？ ⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ ⑶ 该同学的成绩是多少？ 13、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米． （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值． 14.〔2012?大理〕23．（8分）如图，点A 、B 、D 、E 在⊙O 上，弦AE 、BD 的延长线相交于点C ．若AB 是⊙O 的直径，D 是BC 的中点． （1）试判断AB 、AC 之间的大小关系，并给出证明； （2）在上述题设条件下，ΔABC 还需满足什么条件，点E 才一定是AC 的中点？（直接写出结论）． A B D C E O 15.（本小题7分）现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字1,2,1,2,3--，先标有数字2,1,3-的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里，现分别从这两个盒子里各随机取出一个小球. ⑴请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上的数字之和所有可能的结果； ⑵求取出两个小球上的数字之和等于0的概率. 16.（本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，直线1 23 y x =-+交x 轴于点P ，交y 轴于点A ，抛物线2 12 y x bx c =- ++的图象过点(1,0)E -，并与直线相交于A 、B 两点. ⑴ 求抛物线的解析式（关系式）； ⑵ 过点A 作AC AB ⊥交x 轴于点C ，求点C 的坐标； ⑶ 除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得MAB ?是直角三角形？若存在，请求出点M 的 坐标，若不存在，请说明理由. 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414 m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，41 4 m -）． （2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即41 4 m ->0 ∴m> 14 ∴m>1 4 时，顶点在x 轴上方． （3）令x=0，则y=m ． 即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为m ． 当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ） 在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =1 2 OA ·AB=4． ∴ 1 2 │m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8． 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处． 例2 已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m 为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积； （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标． 【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值． （2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积． （3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=3 2EP，②EH=2 3 EP． 【解答】（1）解方程x2－6x+5=0， 得x1=5，x2=1． 由m 初三数学二次函数测试附详细答案 一、选择题：（把正确答案的序号填在下表中，每题3分，共24分） 1．（3分）与抛物线y=﹣x2+3x﹣5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（） ．C D 2 22 2 5．（3分）直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其 2 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（） 8．（3分）（2008?长春）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（） ．C D． 二、填空题：（每空2分，共50分） 9．（10分）已知抛物线y=x2+4x+3，请回答以下问题： （1）它的开口向_________，对称轴是直线_________，顶点坐标为_________； （2）图象与x轴的交点为_________，与y轴的交点为_________． 10．（6分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过第二、三、四象限，则a_________0，b_________0，c_________ 0． 11．（4分）抛物线y=6（x+1）2﹣2可由抛物线y=6x2﹣2向_________平移_________个单位得到． 12．（2分）顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为_________． 13．（2分）对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为_________． 14．（2分）抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上截得的线段长度是_________． 15．（2分）抛物线y=x2+（m﹣2）x+（m2﹣4）的顶点在原点，则m=_________． 16．（2分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m的顶点在x轴上方，则m_________． 17．（2分）已知二次函数y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2，则当m=_________时，其最大值为0． 18．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是a_________0，b2﹣4ac_________0． 19．（8分）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C （0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． （1）二次函数的解析式为_________； （2）当自变量x_________时，两函数的函数值都随x增大而增大； （3）当自变量_________时，一次函数值大于二次函数值； （4）当自变量x_________时，两函数的函数值的积小于0． 20．（2分）已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（a，c）在第_________象限． 21．（4分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么b=_________． 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK AD l K ：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值. 练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取1，1，2时，函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值． 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y 龙文教育学科教师辅导讲义 解：（1）根据题意，得?????+?-?=-+-?--?=. 0405, )1(4)1(02 2c a c a …2分 解得 ? ? ?-==.5, 1c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为542 --=x x y ．……4分 （2）令y =0，得二次函数542 --=x x y 的图象与x 轴 的另一个交点坐标C （5, 0）.……………5分 由于P 是对称轴2=x 上一点， 连结AB ，由于262 2= +=OB OA AB ， 要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.…………………………………6分 由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得PB PA +的最小值为BC . 因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得? ? ?+=-=.50,5b k b 解得???-==.5, 1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y .…………………………………………………9分 因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组? ? ?-==5,2x y x 的解，解得???-==.3, 2y x 所求的点P 的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。 典型例题： 1如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值. A D 、中考导航图 顶点 对称轴 1. 二次函数的意义 ; 2. 二次函数的图象 ; 3. 二次函数的性质 开口方向 增减性 顶点式： y=a(x-h) 2+k(a ≠ 0) 4. 二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式： y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 两根式： y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。 6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a 、 b 、 c 之间的关系。 三、中考知识梳理 1. 二次函数的图象 在 画二 次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的图象 时通常 先通 过配 方配成 y=a(x+ b ) 2+ 2a 公式来求得顶点坐标 . 2. 理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时, 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小 b 4ac-b 2 反之当 a0时,抛物线开口向上 ; 当 a<0时,?抛物线开口向 下 ;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c>0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时,抛物线交 y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 .当对称轴在 y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 二次函数 4ac-b 的形式 , 先确定顶点 4a (- 2b a 4ac-b 2 ), 然后对称找点列表并画图 ,或直接代用顶点 4a 在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 简记左减右增 , 这时当 x=- b 时 ,y 2a 最小值= 4ac-b 2 4a 高中数学二次函数对称轴典型问题练习题 二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类： ①定区间，定轴； ②定区间，动轴， ③动区间，动轴．要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0. 第一类问题 二次函数中的动轴定区间 例一已知函数2 142+-+-=a ax x y 在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a 的值。 〖解答〗.3 106,310,2)1(,]1,0[,2,12/;,20,32,2)2 (,20,120;6,2)0(,]1,0[,0,02 ,2,42)2(max max max 22或综上上单调递增函数在即时当故舍去矛盾与或得有即时当得有上单调递减函数在即时当对称轴为-==∴==∴>>≤≤-===≤≤≤≤-===<<=+-+--=a a f y a a a a a f y a a a f y a a a x a a a x y 第二类问题 二次函数中的定轴动区间 例二 函数f (x )＝142-+-x x 在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值记为g (t )． (1)求g (t )的解析式；(2)求g (t )的最大值 (1)对区间[t ，t ＋1](t ∈R)与对称轴x ＝2的位置关系进行讨论： ①当t ＋1<2，即t <1时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上递增， 此时g (t )＝f (t ＋1)＝－t 2＋2t ＋2； ②当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上先增后减， 此时g (t )＝f (2)＝3； 例三 已知f (x )＝)(2)34(2R a a x x a ∈+--a ∈R)，求f (x )在[0,1]上的最大 值 ()()()()()()2222[1]4122(1)3(12)241(2) 3. t f x t t g t f t t t t t t g t t t t t g t >?-++? ③当时，函数在区间，＋上递减，此时＝＝－＋－，综上，＝利用图象解得的最大值是()()()[]()()()()[]()()max max 4430342.30,140.34430341()43003430,10.12a a f x x f x f x f a a a a x a f x f x f a ????≠≠ <><-????若－＝，则＝，所以＝－＋由于在上是减函数，所以＝＝若－，即，分两种情况讨论：ⅰ若－，即，因为对称轴＝，所以在上是减函数，所以＝【】＝解析()()()()()[]max max 41()4300343112043231221124<<<0.243330,12a a x a a a f x f a a f x f a a f x ><>-<≤≤-????????-?ⅱ若－，即，因为对称轴＝ ，故又分两种情况讨论： ①当，即时，＝＝－；②当，即时，＝＝综上所述，在上的最大值是关 初中数学二次函数经典测试题及答案 一、选择题 1．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B 【解析】 【分析】 利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】 解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+?? =++? 解得：13 23b c ? =????=-?? ∴二次函数的解析式为：2 21212533636 ??=+-=+ ???-y x x x ∴当x=16-时，y 的最小值为25 36 -，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意； C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得 1 2 01b b c ?-=???=-+? 解得：23b c =-??=-? ∴223y x x =-- 当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】 此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键． 2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2?2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝?2， ∴y ＝－x 2?2x ＋3， ∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点， ∵当x ＝?1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12， ∴函数y ＝－x 2?2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 3．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ） 必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若- 选择 1.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=1 2 2. 抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有 （ ） A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.二次函数y= a (x+m)2-m (a ≠0) 无论m 为什么实数，图象的顶点必在 ( ) A.直线y=-x 上 B. 直线y=x 上 C.y 轴上 D.x 轴上 4. 如图2，抛物线 ，OA=OC ，下列关系中正确的是 ( ) A ．ac+1=b B ．ab+1=c C ．bc+1=a D ．b a +1=c 5.如图6，是二次函数的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与x 轴所围成的阴影部分面积为S ，则S 取值最接近（ ）． A.4 B.16 3 C.2π D.8 6．如图7，记抛物线 2 1y x =-+的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份，设分点分别为1P ，2P ，…1n P -，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点 2 y ax bx c =+ +21 2 2y x =- + 1Q ，2Q ，…1n Q -，再记直角三角形11OPQ ，122PP Q 的面积分别为1S ，2S ，这样就有 21312n S n -=，22342n S n -= ，…；记121 n W S S S -=+++… ，当n 越来越大时，你猜想W 最 接近的常数是（ ） A. 23 B. 12 C. 1 3 D.14 7.定义[]为函数 的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于； ③ 当m < 0时，函数在x >时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 8. （2010宿迁改编）如图11，在矩形ABCD 中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边线段 MP=A ， 设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP=x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ） ,,a b c 2 y ax bx c =++3138 23 41 C B A D 二次函数典型例题——最大面积 1、如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC 的两条直角边分别落在x 轴、y 轴上，且 OB=1,OC=3,将△OBC 绕原点O 顺时针旋转90°得到△OAE ，将△OBC 沿y 轴翻折得到△ODC ，AE 与CD 交于点 F. （1）若抛物线过点 A 、B、C, 求此抛物线的解析式; （2）求△OAE 与△ODC 重叠的部分四边形ODFE 的面积; （3）点M 是第三象限内抛物线上的一动点，点M 在何处时△AMC 的面积最大？最大面积 是多少？求出此时点M 的坐标. 解：(1)∵OB=1 ，OC=3 ∴C（0，-3），B（1，0） ∵△OBC 绕原点顺时针旋转90°得到△ OAE ∴A（-3,0） 所以抛物线过点A（-3 ，0），C（0，-3），B（1，0） 设抛物线的解析式 为 y 2 ax bx c(a 0) ，可得 a+b+c 0a1 c -3解得b2 9a-3b c 0c-3 ∴过点A,B,C 的抛物线的解析式为y x2 2x-3 （2）∵△OBC 绕原点顺时针旋转90°得到△ OAE ，△OBC 沿y 轴翻折得到△COD ∴ E（0，-1），D（-1,0） 1 可求出直线AE 的解析式为y 1x 1 3直线DC 的解析式为y 3x 3 ∵点F为AE、DC 交点 ∴F（-3，-3） 44 3 S 四边形 ODFE =S △AOE -S △ADF = 4 3）连接 OM ，设 M 点的坐标为 （m ，n ） 2 2、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y mx 2 （m 2）x 2 过点 （2, 4） ，且与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C.点 D 的坐标为 （2,0） ，连接 CA ，CB ，CD. （1）求证： ACO BCD ； （2） P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接 DP 交 BC 于点 E. ①当 △BDE 是等腰三角形时，直接写出点 E 的坐标； ②连接 CP ，当△ CDP 的面积最大时，求点 E 的坐标. ∵点 M 在抛物线上，∴ n 2 m 2m ∴ S AMC S AMO S OMC S AOC = 12OA m = 32(m 2 11 OC n OA OC 2 2 3m) 3(m 因为 0 m 3 ，所以当 m 所以当点 M 3 的坐标为 （ ， 2 3 9 3 (m n) (m n 3) 2 2 2 3 2 27 2) 8 3 时， 2 15 - ) 时， 4 n 15 ，△AMA ' 的面积有最大值 4 △ AMA '的面积有最大值 商品利润问题与二次函数典型例题解析 知识链接复习： 1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元 解：设每千克应涨价x 元，读题完成下列填空 问题一：涨价后每千克盈利 元； 问题二：涨价后日销售量减少 千克； 问题三：涨价后每天的销售量是 千克； 问题四：涨价后每天盈利 元 根据题意列方程得： 解方程得： 因为商家涨价的目的是 ；所以 符合题意。 答： 。 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标是x= y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是 新知解析： 例1、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。市场调查发现：如果调整价格，每降价1元，那么每天可多卖出两件。请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少 解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得： y=（35-x ）（50+2x ）=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-) 2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0 所以y=(35-5)(50+10)=1800 答：当降价5元时 销售额最大为1800元。 此类习题注意要点： 1、根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。 2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值 3、根据题意求最值。写出正确答案。 例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元租金最高是多少钱 解：设当张价X 元时租金为y 元，根据题意得：y=（100-10 ×2 x ）（10+x ）=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_( ×250=5初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
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