高中数学选修-不等式选讲p
不 等 式 选 讲1
1.若,a b 是任意的实数,且a b >,则( )
(A)22b a > (B)1 (C) lg()0a b -> (D)b a )21()2 1(< 2.不等式32 ->x 的解集是( ) (A) )32,(--∞ (B) )32,(--∞),0(+∞ (C) )0,32(-),0(+∞ (D) ) 0,32(- 3.不等式 125 x x -++≥的解集为( ) (A) (][)+∞-∞-,22, (B) (][)+∞-∞-,21, (C) (][)+∞-∞-,32, (D) (][)+∞-∞-,23, 4.若0n >,则232 n n + 的最小值为 ( ) (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 5.若A=(3)(7)x x ++,B=(4)(6)x x ++,则A ,B 的大小关系为__________. 6.设a ,b ,c 是不全相等的正数,求证: 1)()()()8a b b c c a abc +++>; 2)a b c ab bc ca ++>++. 7..已知x ,y R ∈,求证222x y +≥2 () 2x y + 8.如图1,把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿着虚线折 转作成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大? 9.已知a ,b ,0c >,且不全相等,求证 222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>. 10. 已知1a ,2a ,…,+∈R a n ,且121=n a a a ,求证n n a a a 2)1()1)(1(21≥+++ . B 组 11.已知x ,0>y ,且2>+y x .试证:y x +1,x y +1中至少有一个小于 2. 12.求函数 x x y 21015-+-=的最大值. 13. 已知122=+b a ,求证θ θsin cos b a +≤1. 14. 已知12=+y x ,求2 2y x +的最小值. 15. 已知10432=++z y x ,求2 22z y x ++的最小值. 16. 已知a ,b ,c 是正数,求证2229 a b b c c a a b c ++≥ +++++. 17.证明:)(53 +∈+N n n n 能够被6整除. 18. 设,,a b c R + ∈,求证:32a b c b c c a a b ++≥ +++. 不 等 式 选 讲 答 案 1.D.提示:注意函数 1()2x y =的单调性; 2.B.提示:先移项,再通分,再化简; 3.D.提示:当x ≤-2时,原不等式可以化为(1)(2)x x ---+≥5, 解得x ≤-3,即不等式组2125x x x ≤-??? -++≥? ?的解集是(,3]-∞-. 当21x -<<时,原不等式可以化为(1)(2)x x --++≥5, 即 3≥5,矛盾.所以不等式组21 125x x x -<?? -++≥? ?,的解集为?, 当x ≥1时,原不等式可以化为(1)(2)x x -++≥5,解得x ≥2, 即不等式组1 125x x x ≥??? -++≥? ?的解集是[2,)+∞. 综上所述,原不等式的解集是(,3][2,)-∞-+∞; 4.C. 提示: 223232 22n n n n n + =++ ; 5. A B <. 提示:通过考察它们的差与0的大小关系,得出这两个多项式的大小关系. 因为 (3)(7)(4)(6)x x x x ++-++22(1021)(1024)x x x x =++-++30=-< 所以(3)(7)(4)(6)x x x x ++<++; 6 .提示: a b +≥ b c +≥ c a +≥分别将以上三式相乘或相加即可; 7.提示: 222222222 ()()2()2442x y x y x y x y xy x y +++++++=≥=; 8.提示: 设切去的正方形边长为x ,无盖方底盒子的容积为V ,则 2 (2)V a x x =-3 311(2)(2)42(2)(2)4[]44327a x a x x a a x a x x -+-+=--?≤= 当且仅当224a x a x x -=-=,即当 6a x = 时,不等式取等号,此时V 取最大值3227a .即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的1 6时,盒子容积最大. 9.分析:观察欲证不等式的特点,左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积,右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法. 证明:因为22b c +≥2bc ,0a >,所以22()a b c +≥2abc . ① 因为22c a +≥2ac ,0b >,所以22()b c a +≥2abc . ② 因为22a b +≥2ab ,0c >,所以 22()c a b +≥2abc . ③ 由于a ,b ,c 不全相等,所以上述①②③式中至少有一个不取等号,把它们相加得 222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>. 10.提示:观察要证明的结论,左边是n 个因式的乘积,右边是2的n 次方,再结合1 21=n a a a , 发现如果能将左边转化为1a ,2a ,…, n a 的乘积,问题就能得到解决. 证明:因为+∈R a 1,所以1 11 121a a a =?≥+,即 1121a a ≥+. 同理,2221a a ≥+,……n n a a 21≥+.因为1a ,2a ,…,+∈R a n ,由不等式的性质, 得 n n n n a a a a a a 22)1()1)(1(2121≥≥+++ . 因为 1 =i a 时, i i a a 21≥+取等号,所以原式在 1 21====n a a a 时取等号. 11. 提示:要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外,如果 从正面证明,需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论,而从反面证明,则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑采用反证法. 证明:假设y x +1,x y +1都不小于2,即21≥+y x ,且21≥+x y . 因为x ,0>y ,所以y x 21≥+,且x y 21≥+.把这两个不等式相加,得)(22y x y x +≥++, 从而2≤+y x .这与已知条件2> +y x 矛盾.因此,y x +1,x y +1都不小于 2是不可能的,即原命题成 立. 12. 提示:利用不等式解决极值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和,若能化为bd ac +的形式就能利用柯西不等式求其最大值. 解:函数的定义域为[]5,1,且0>y . x x y -?+-? =521 536427=?= 当且仅当x x -?=-?5512时,等号成立,即 27127 = x 时函数取最大值36. 13.提示 : cos sin a b θθ+= 1 14.提示: 22222221(2)(12)()5() x y x y x y =+≤++=+2215x y ∴+≥ . 15.提示: 2222222 100(234)(234)() x y z x y z =++≤++++222100 .29x y z ∴++≥ 16.提示: 111[2()]( )a b c a b b c c a +++++++ 2111[()()()]( )(111)9.2229.a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b c =+++++++≥++=+++∴++≥+++++ 17. 提示:这是一个与整除有关的命题,它涉及全体正整数,若用数学归纳法证明,第一步应证1 =n 时命题成立;第二步要明确目标,即在假设k k 53+能够被6整除的前提下,证明 )1(5)1(3+++k k 也能被6整除. 证明:1)当1=n 时,653 =+n n 显然能够被6整除,命题成立. 2)假设当)1(≥=k k n 时,命题成立,即k k 53 +能够被6整除. 当1+=k n 时, 55133)1(5)1(233+++++=+++k k k k k k 633)5(2 3++++=k k k k 6)1(3)5(3++++=k k k k . 由假设知k k 53 +能够被6整除,而)1(+k k 是偶数,故)1(3+k k 能够被6整除,从而 6)1(3)5(3++++k k k k 即)1(5)1(3+++k k 能够被6整除.因此,当1+=k n 时命题成立. 由1)2)知,命题对一切正整数成立,即)(53+∈+N n n n 能够被6整除; 18.证明:(法一)要证原不等式成立,只须证:9 1112a b c b c c a a b +++++≥ +++ 即只须证: 111 [2()]( )9a b c b c c a a b ++++≥+++ 由柯西不等式易知上式显然成立,所以原不等式成立。 (法二)由对称性,不妨设:0a b c ≥≥>,则111 b c c a a b ≥≥ +++, 所以:(顺序和)a b c b c a b c c a a b b c c a a b ++≥++ ++++++(乱序和) (顺序和)a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++ ++++++(乱序和) 将以上两式相加即得:32a b c b c c a a b ++≥ +++. 高中数学-不等式的基本性质(一)练习 课后导练 基础达标 1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1. ∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0, ∴-2<α-β<0. 答案:A 2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( ) A.a>c,或b>c B.a>c 且b 2019年高二第一学期数学教学计划教学进 度表 第1周 数学必修2:立体几何 1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图(1)(2) 第2周 1.2空间几何体的三视图和直观图(1)(2) 第3周 1.3表面积体积空间几何体的复习(1)(2) 第4周 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系(1)(2)(3)(4)(单元检测) 第5周 2.2直线、平面平行的判定及其性质(1)(2)(3)(4) 第6周 2.3直线、平面垂直的判定及其性质(1)(2)(3)(4)(单元检测) 第7周 2.3直线、平面垂直的判定及其性质(4) 空间点、线、面复习(月考) 第8周 选修2-1:空间向量 第三章3.1空间向量及其运算 第9周 空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法 第10周 期中考试 第11周 空间向量复习(单元检测) 第12周 第一章常用逻辑用语: 1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件 第13周 1.3简单的逻辑连结词1.4全称量词与存在量词 第14周 常用逻辑用语复习(2课时)2.1椭圆(3课时) 第15周 2.1椭圆(3课时)2.2双曲线(2课时) 第16周 2.2双曲线(2课时)2.3抛物线(3课时) 第17周 2.3抛物线(1课时)2.4直线与圆锥曲线的位置关系(3课时) 第18周 曲线与方程(2课时)复习(单元检测) 第19周 总复习 第20周 要练说,先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯:有的结巴重复,面红耳赤;有的声音极低,自讲自听;有的低头不语,扯衣服,扭身子。总之,说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键,面向全体,偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时,我总是笑脸相迎,声音亲切,动作亲昵,消除幼儿畏惧心理,让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中,改变过去老师讲学生听的传统的教学模式,取消了先举手后发言的约束,多采取自由讨论和谈话的形式,给每个幼儿较多的当众说话的机会,培养幼儿爱说话敢说话的兴趣,对一些说话有困难的幼儿,我总是认真地耐心地听,热情地帮助和鼓励他把话说完、说好,增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求,在说话训练中不断提高,我要求每个幼儿在说话时要仪态大方,口齿清楚,声音响亮,学会用眼神。对说得好的幼儿,即使是某一方面,我都抓住教育,提出表扬,并要其他幼儿模仿。长期坚持,不断训练,幼儿说话胆量也在不断提高。期末考试 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1.222a b a b +≥,其中,a b R ∈,当且仅当a b =时等号成立。 2.2a b a b +≥,其中[),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 3.常考不等式: 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ,其中(),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1:基本不等式与最值 解题思路: (1)积定和最小:若a b 是定值,那么当且仅当a b =时,()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ (2)和定积最大:若a b +是定值,那么当且仅当a b =时,()2 m a x 2a b a b +??= ??? ,其中,a b R ∈。 例题1:若实数,a b 满足221a b +=,则a b +的最大值是 . 解析:很明显,和为定,根据和定积最大法则可得:2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ,当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式:函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ,若点在直线1m x n y +=上,则m n 的最大值为______。 解析:由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ,将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=,明显,和为 定,根据和定积最大法则可得:2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ,当且仅当12m n ==时取等号。 例题2:已知函数()2 122 x x f x +=+ ,则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________. 解析:很明显,积为定,根据积定和最小法则可得:2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =,当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式:已知2x >-,则12 x x + +的最小值为 。 解析:由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +,明显,积为定,根据和定积最大法则可得: ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++,当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号,此时可得 教学计划高中数学 教学计划(课程计划)是课程设置的整体规划,以下是整理的关于教学计划高中数学,欢迎阅读参考。 我以前一直是在教文科班的数学,这学期对于我来说,面临着挑战,因为本学期我接手了两个理科班。以前我带的始终是文科班,对于文科班的学生的情况比较理解,但对于理科班来说,我不知道他们对学习会有怎样的想法与做法。针对这种情况,我制定了如下的高中数学教学计划: 一、指导思想 在学校、数学组的领导下,严格执行学校的各项教育教学制度和要求,认真完成各项任务,严格执行“三规”、“五严”。利用有限的时间,使学生在获得所必须的基本数学知识和技能的同时,在数学能力方面能有所提高,为学生今后的发展打下坚实的数学基础。 二、教学措施 1、以能力为中心,以基础为依托,调整学生的学习习惯,调动学生学习的积极性,让学生多动手、多动脑,培养学生的运算能力、逻辑思维能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。精讲多练,一般地,每一节课让学生练习20分钟左右,充分发挥学生的主体作用。 2、坚持每一个教学内容集体研究,充分发挥备课组集体的力量,精心备好每一节课,努力提高上课效率。调整教学方法,采用新的教学模式。 3、脚踏实地做好落实工作。当日内容,当日消化,加强每天、每月过关练习的检查与落实。坚持每周一周练,每章一章考。通过周练重点突破一些重点、难点,章考试一章的查漏补缺,章考后对一章的不足之处进行重点讲评。 4、周练与章考,切实把握试题的选取,切实把握高考的脉搏,注重基础知识的考查,注重能力的考查,注意思维的层次性(即解法的多样性),适时推出一些新题,加强应用题考察的力度。每一次考试试题坚持集体研究,努力提高考试的效率。 5.注重对所选例题和练习题的把握: 6.周密计划合理安排,现数学学科特点,注重知识能力的提高,提升综合解题能力,加强解题教学,使学生在解题探究中提高能力. 7.多从“贴近教材、贴近学生、贴近实际”角度,选择典型的数学联系生活、生产、环境和科技方面的问题,对学生进行有计划、针对性强的训练,多给学生锻炼各种能力的机会,从而达到提升学生数学综合能力之目的.不脱离基础知识来讲学生的能力,基础扎实的学生不一定能力强.教学中不断地将基础知识运用于数学问题的解决中,努力提高学生的学科综合能力. 三、对自己的要求——落实教学的各个环节 1.精心上好每一节课 备课时从实际出发,精心设计每一节课,备课组分工合作,利用集体智慧制作课件,充分应用现代化教育手段为教学服务,提高四十五分钟课堂效率。 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0,解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a;若a<0,解集为?? ? ? ? ? x| x< b a;若a=0,当b≥0时,解集为?,当b<0时,解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论,对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集,可归纳为: 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 有两相异实根 x=x1或x=x2 有两相同实根 x=x1=x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2+bx+ c>0(a>0) {x|x 高一上教学进度周次节次教学内容(包括复习,测试等安排) 11集合的含义及其表示2子集,全集,补集 1交集,并集 21习题课 1一元二次不等式的解法 1简单高次不等式及分式不等式的解法1简单绝对值不等式的解法 1复习课 32函数的概念和图像1函数的概念和图像2函数的表示方法 42函数的简单性质2函数的简单性质1映射的概念 52函数习题课 1二次函数图像、概念和性质 61二次函数在给定区间上的最值问题2分数指数幂 71指数函数3指数函数1对数 81对数 1对数函数2对数函数1幂函数 92习题课 1简单复合函数的研究2简单复合函数的研究 101二次函数与一元二次方程1用二分法求方程的近似解2函数模型及其应用 1习题课 112复习与期中考试 121任意角 1弧度制 1习题课(角范围的表示) 1任意角的三角函数的概念 1三角函数线(补充简单的三角不等式) 131同角三角函数的基本关系1同角三角函数的基本关系2诱导公式 1习题课 141三角函数的周期性 1正、余弦函数的图象及五点法 1正、余弦函数的性质(补充对称性)1正、余弦函数的性质习题课 1正切函数的图象与性质 151习题课 2函数y=Asin(ωx+φ)的图像2三角函数的应用 161向量的概念及其表示1向量的加法 1向量的减法 2向量的数乘 172习题课 1平面向量的基本定理 1平面向量的座标表示及运算1向量平行的座标表示 181向量的数量的概念 1向量数量积的座标表示1习题课 1复习与小结 191两角和与差的余弦 2两角和与差的正弦 1习题课(补asinx+bcosx的内容) 1两角和与差的正切 201 习题课 2二倍角的三角函数,明确降幂公式1 习题课 1 几个三角恒等式 三角函数的化简、求值和证明 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)( 人教版高中数学教学计划:人教版高中数学 进度安排教 人教版高中数学教学计划高中数学教学计划(一): 新学期已经开始,在学校工作总体思路的指导下,现将本学期数学组工作进行规划、设想,力争使本学期的工作扎实有效,为学校的发展做出新的贡献。 一、指导思想以学校工作总体思路为指导,深入学习和贯彻新课程理念,以教育教学工作为重点,优化教学过程,提高课堂教学质量。结合数学组工作实际,用心开展教育教学研究活动,促进教师的专业发展,学生各项素质的提高,提高数学组教研工作水平。 二、工作目标1、加强常规教学工作,优化教学过程,切实提高课堂教学质量。 2、加强校本教研,用心开展教学研究活动,鼓励教师根据教学实际开展教学研究,透过撰写教学反思类文章等促进教师的专业化发展。 3、掌握现代教育技术,用心开展网络教研,拓展教研的深度与广度。 4、组织好学生的数学实践活动,以调动学生学习用心性,丰富学生课余生活,促进其全面发展。 三、主要工作1、备课做好教学准备是上好课的前提,本学期要求每位教师做好教案、教学用具、作业本等准备,以良好的精神状态进入课堂。备课是上好课的基础,本学期数学组仍采用年级组群众备课形式,要求教案尽量做到环节齐全,反思具体,有价值。群众备课时,所有教师务必做好准备,每个单元负责教师要提前安排好资料及备课方式,对于教案中修改或补充的资料要及时地在旁边批注,电子教案的可在旁边用红色批注(发布学校网数学组板块内),使群众备课不流于形式,每节课前都要做到课前的“复备”。 每一位教师在个人研究和群众备课的基础上构成适合自我、实用有效的教案,更好的为课堂教学服务。各年级组每月带给单元备课活动记录,在规定的群众备课时间,教师无特殊原因不得缺席。 提高课后反思的质量,提倡教学以后将课堂上精彩的地方进行实录,以案例形式进行剖析。对于原教案中不合理的及时记录,结合课堂重新修改和设计,同年级教师能够共同反思、共同提高,为以后的教学带给借鉴价值。数学教师每周反思不少于2次,每学期要有1-2篇较高水平的反思或教学案例,及时发布在向学校网上,学校将及时进行评审。 教案检查分平时抽查和定期检查两种形式,“推门课”后教师要及时带给本节课的教案,每月26号为组内统一检查教案时间,每月检查结果将公布在学校网数学组板块中的留言板中。 2、课堂教学课堂是教学的主阵地。教师不但要上好公开课,更要上好每一天的“常规课”。遵守学校教学常规中对课堂教学的要求。 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 (1)能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系; (2)初步学会作差法比较两实数的大小; (3)掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背景的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生学习方式,提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系, 会作差法比较两实数的大小 ,通过类比法,掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. (一)新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< (二)新课讲授 问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 (1)某路段限速40km /h ; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 对于(1),设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ,“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40,于是0<v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于(3),设△ABC 的三条边为a ,b ,c ,则a +b >c ,a -b <c . 对于(4),如图,设C 是线段AB 外的任意一点,CD 垂直于AB ,垂足 为D ,E 是线段AB 上不同于D 的任意一点,则CD <CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着, 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解:提价后销售的总收入为错误!x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 高中数学-不等式的解法 若a<0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0, n € N *, n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 不等式的基本性质 各位老师,同学: 大家好! 今天我说课的内容是人教版九年义务教育七年级下册第九章第一课时第二小节《不等式的基本性质》。(板书题目) 接下来我将从教材分析,学情分析,学法教法,教学过程,板书设计五个方面来说说我对本节课的理解与教学设计。 一、教材分析 教材是我们教学活动的主要依据,透彻的了解教材也是上好一节课的关键。首先来说说本节课的教材。 我将从教材的地位与作用,教学目标,教学重点与难点三个方面对本节课的教材进行说明。 (一)教材的地位与作用。 不等式是初中代数的重要内容之一,而不等式的性质又是重中之重。一方面,它是初中阶段最基础、最重要的一个转折;而另一方面,学好不等式的性质能帮助学生从整体认识整式性质与不等式性质的区别;在此基础上,可以使学生对生活中的数学问题有新的认识,从而扩大学生的认知结构。同时,不等式的性质还蕴含着丰富的数学思想和方法。因此这也是前后数学知识衔接的桥梁和纽带。因此学好本节课有着非常重要的作用。 教学目标 根据新课改的要求及教材的特点,我确定了如下的教学目标: 知识目标掌握不等式的三个基本性质并且能正确应用; 能力目标经历探索不等式基本性质的过程,体会不等式与等式的异同点,发展学生分析问题、解决问题的能力; 情感目标开展研究性学习,使学生初步体会学习不等式基本性质的价值。 情感态度与价值观的培养,是学生全面发展的需要,该目标具体到本节课为通过让学生学习用不等式的基本性质解决相关问题获得成功体验,增强学好数学的信心。 教学重点难点 根据教材内容的特点,结合新课程改革的基本要求,我认为本节课的重点是:理解不等式的三个基本性质。 由于在探究的过程中,需要采用类比的方法来得出结论,对学生的抽象思维能力要求较高,但对于七年级的学生而言,其形象思维能力占主导地位,在探究的过程中难免会遇到困难。根据学生的这一特征,我认为本节课的难点为:对不等式的基本性质3的重点认识。 二、学情分析 学生是课堂的主人,只有了解学生才能有针对性的教学。接下来说说学生。 我们知道,现在的学生几乎不存在学不会的情况,而是没有掌握正确的学习 川师大四中高二上学期数学教学工作计划 一、指导思想: 全面贯彻教育方针,深入实施素质教育,使学生在高一学习的基础上,进一步体会数学对发展自己思维能力的作用,体会数学对推动社会进步和科学发展的意义以及数学的文化价值,提高数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。 二、学生情况分析: 高二文科班学生,学习数学的气氛不浓、基础比较差。由于学生对学过的知识内容不及时复习,致使对高二的数学学习有很大的影响,高一数学成绩充分反映没有尖子生,成绩特差的学生也有不少,有一批思维灵活的学生,但学习不够刻苦,学习成绩一般,但有较大的潜力,以后好好的引导,进一步培养他们的学习兴趣,从而带动全班同学的学习热情,提高学生的数学成绩。 三、本学期应达到的教学目标: 本学期本着从学生的实际出发,认真落实新课程的标准,认真体会新教材的要求,使自己的教学水平有长足的进步。本学期努力提高期末考试的优秀率和合格率,同时也重视培养学生的应试能力和对学科的兴趣,改善学生的学习习惯,全面落实基础,使学生的能力有较大的提高。达到以下目标: (1)通过分析问题的方法的教学,培养学生的学习的兴趣。 (2)提供生活背景,通过数学建模,让学生体会数学就在身边,培养学数学用数学的意识。 (3)在探究过程中,体验获得数学规律的艰辛和乐趣,在分组研究合作学习中学会交流、相互评价,提高学生的合作意识 (4)基于情感目标,调控教学流程,坚定学习信念和学习信心。 (5)还时空给学生、还课堂给学生、还探索和发现权给学生,给予学生自主探索与合作交流的机会,在发展他们思维能力的同时,发展他们的数学情感、学好数学的自信心和追求数学的科学精神。 四、教材分析和时间安排: 本学期教学内容为必修2第三章《直线与方程》、第四章《圆与方程》,必修3,选修1-2第一章《统计案例》,选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》。本学期课本内容多、难度大,又要迎接月考,期中和期末考试,正常的教学工作很难完成。针对这些具体情况,对本学期的教学进度安排如下: 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式, 分式不等式,高次不等式,指数、对数不等 式,三角不等式,含参不等式,函数不等式, 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时,将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式,再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一:转化为不等式组;法二:化为整式不等式;法三:数轴标根法 5.高次不等式解法 法一:转化为不等式组;法二:数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>; 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0; ) ()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <> 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要,对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解,化为基本不等式 (有时还会结合奇偶性) 10.绝对值不等式解法(后面详细讨论) 二、练习: (1)23440x x -++>解集为 (2 23x -<< )(一化二算三写) (2)213 022 x x ++>解集为 (R ) (变为≤,则得?)(无实根则配方) 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-,则不等式 0)2(<-x f 的解集为 ),2 1 ()23,(+∞--∞Y 解法一:由根与系数关系求出3,1-=-=b a ,得32)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解 《不等式的性质》拔高练习 一、选择题(本大题共5小题,共25.0分) 1.(5分)若a<b,则下面可能错误的变形是() A.6a<6b B.a+3<b+4C.ac+3<bc+3D.﹣ 2.(5分)已知a<b,则下列不等式变形不正确的是() A.4a<4b B.﹣2a+4<﹣2b+4 C.﹣4a>﹣4b D.3a﹣4<3b﹣4 3.(5分)下列式子一定成立的是() A.若ac2=bc2,则a=b B.若ac>bc,则a>b C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a<b,则a(c2+1)<b(c2+1) 4.(5分)已知a<b,则下列不等式一定成立的是() A.a﹣b>0B.a+b<0C.2﹣a<2﹣b D. 5.(5分)若a>b,则下列不等式变形正确的是() A.a+7<b+7B.C.﹣5a>﹣5b D.9a﹣2>9b﹣2二、填空题(本大题共5小题,共25.0分) 6.(5分)某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现,取某个实数范围内的x作为输入值,则永远不会有输出值,这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是. 7.(5分)已知a>b,则﹣4a+5﹣4b+5.(填>、=或<) 8.(5分)若x>y,则﹣x﹣2﹣y﹣2(填“<”、“>”或“=”)9.(5分)比较大小:如果a<b,那么2﹣3a2﹣3b.(填“>”“<”或“=”) 10.(5分)非负数a,b,c满足a+b=9,c﹣a=3,设y=a+b+c的最大值为m, 最小值为n,则m﹣n=. 三、解答题(本大题共5小题,共50.0分) 11.(10分)有一个两位数,个位上的数字为a,十位上的数字为b,如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调,得到的两位数大于原来的两位数,那么a与b哪个大? 12.(10分)阅读下列材料: 解答“已知x﹣y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围”有如下解法:解∵x﹣y=2,∴x=y+2. 又∵x>1,∴y+2>1.即y>﹣1. 又∵y<0,∴﹣1<y<0.…① 同理得:1<x<2.…② 由①+②得﹣1+1<y+x<0+2 ∴x+y的取值范围是0<x+y<2 请按照上述方法,完成下列问题:已知x﹣y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范围. 13.(10分)根据不等式的基本性质,把﹣2x<15化成“x>a”或“x<a”的形式. 14.(10分)若x<y,比较2﹣3x与2﹣3y的大小,并说明理由. 15.(10分)根据不等式的性质,将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式.(1)10x﹣1>7x; (2)﹣x>﹣1. 高中数学不等式的基本性质不等式的基本性质 1.不等式的定义:a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质: ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有: (1)abb (2)ab,bcac(传递性) (3)aba+cb+c(cR) (4)c0时,abacbc c0时,abac 运算性质有: (1)ab,cda+cb+d。 (2)ab0,cd0acbd。 (3)ab0anbn(nN,n1)。 (4)ab0(nN,n1)。 应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题: (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。 要练说,先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯:有的结巴重复,面红耳赤;有的声音极低,自讲自听;有的低头不语,扯衣服,扭身子。总之,说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键,面向全体,偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时,我总是笑脸相迎,声音亲切,动作亲昵,消除幼儿畏惧心理,让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中,改变过去老师讲学生听的传统的教学模式,取消了先举手后发言的约束,多采取自由讨论和谈话的形式,给每个幼儿较多的当众说话的机会,培养幼儿爱说话敢说话的兴趣,对一些说话有困难的幼儿,我总是认真地耐心地听,热情地帮助和鼓励 2017——2018学年高一数学教学计划 2017.08.27 一、指导思想: 使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下。 1.获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程。 2.提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力,数学表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。 4.发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。 5.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。6.具有一定的数学视野,逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义,从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。 二、教材特点: 我们所使用的教材是人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)》,它在坚持我国数学教育优良传统的前提下,认真处理继承,借签,发展,创新之间的关系,体现基础性,时代性,典型性和可接受性等到,具有如下特点: 1.“亲和力”:以生动活泼的呈现方式,激发兴趣和美感,引发学习激情。 2.“问题性”:以恰时恰点的问题引导数学活动,培养问题意识,孕育创新精神。3.“科学性”与“思想性”:通过不同数学内容的联系与启发,强调类比,推广,特殊化,化归等思想方法的运用,学习数学地思考问题的方式,提高数学思维能力,培育理性精神。4.“时代性”与“应用性”:以具有时代性和现实感的素材创设情境,加强数学活动,发展应用意识。 三、教法分析: 1.选取与内容密切相关的,典型的,丰富的和学生熟悉的素材,用生动活泼的语言,创设能够体现数学的概念和结论,数学的思想和方法,以及数学应用的学习情境,使学生产生对数学的亲切感,引发学生“看个究竟”的冲动,以达到培养其兴趣的目的。 2.通过“观察”,“思考”,“探究”等栏目,引发学生的思考和探索活动,切实改进学生的学习方式。 3.在教学中强调类比,推广,特殊化,化归等数学思想方法,尽可能养成其逻辑思维的习惯。 四、学情分析: 两个班均属普高班,学习情况良好,但学生自觉性差,自我控制能力弱,因此在教学中需时时提醒学生,培养其自觉性。班级存在的最大问题是计算能力太差,学生不喜欢去算题,嫌麻烦,只注重思路,因此在以后的教学中,重点在于培养学生的计算能力,同时要进一步提高其思维能力。同时,由于初中课改的原因,高中教材与初中教材衔接力度不够,需在新授时适机补充一些内容。因此时间上可能仍然吃紧。同时,其底子薄弱,因此在教学时只能注重基础再基础,争取每一堂课落实一个知识点,掌握一个知识点。 高中数学不等式的解法 复习目标 1.掌握一元一次不等式(组) ,一元二次不等式,分式不等式,含绝对值的不等式,简单的 无理不等式的解法. 2.会在数轴上表示不等式或不等式组的解集. 3.培养运算能力. 知识回顾 一、一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax b(a 0) 的解集情况是 b b (1)当 a 0 时,解集为 { x | } (2)当 a 0时,解集为 { | } x x x a a 二、一元二次不等式的解法 2 bx c 2 的有 一般的一元二次不等式可利用一元二次方程 ax 0与二次函数 y ax bx c 关性质求解,具体见下表: 2 0 0 0 a 0 , b 4ac 二次函数 y 2 ax b x c 的图象 一元二次方程 有两个相等的实根 有两实根 2 bx c ax 的根 x x 或 1 x x 2 x x 1 x 2 b 2a 无实根 不等式 一 式 元 的 2 bx c ax {x| x x 1或x x 2} { x | x x 1 } R 二 解 次 集 不 的解集 不等式 等 2 bx c ax {x|x 1 x x 2} Φ Φ 的解集 注:1.解一元二次不等式的步骤: (1)把二次项的系数a变为正的.(如果a 0,那么在不等式两边都乘以1,把系 数变为正) 1 (2)解对应的一元二次方程.(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根)(3)求解一元二次不等式.(根据一元二次方程的根及不等式的方向) 2.当a 0 且0 时,定一元二次不等式的解集的口诀:“小于号取中间,大于号取两边”. 三、含有绝对值的不等式的解法 1.绝对值的概念 a (a 0) a 0 a 0 a a 0 2.含绝对值不等式的解: (1)| x | a(a 0) a x a (2)| x | a(a 0) x a或x a (3)| f (x) | a(a 0) a f (x) a (4)| f (x) | a(a 0) f (x) a或f (x) a 注:当a 0时,| x | a 无解,| x | a的解集为全体实数. 四、一元高次不等式的解法 一元高次不等式 f ( x) 0(或 f (x) 0),一般用数轴标根法求解,其步骤是: (1)将 f ( x) 的最高次项的系数化为正数; (2)将 f ( x) 分解为若干个一次因式的积; (3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线; (4)根据曲线显现出 f (x) 值的符号变化规律,写出不等式的解集. 如:若a1 a2 3 ,则不等式(x a1)(x a2) (x a n) 0 a a n 或(x 1)(x a ) (x a n ) 0的解法如下图(即“数轴标根法”): a 2 五、分式不等式的解法 ' ' f (x) f ( x) 对于解 a a 或型不等式,应先移项、通分,将不等式整理成 ' g ( x) g'( x)高中数学-不等式的基本性质(一)练习
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