第5章点的合成运动习题解答080814

第五章点的合成运动

本章要点

一、绝对运动、相对运动和牵连运动

一个动点，

两个参照系：定系，动系；

三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动，包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度；

三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度；

牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。二、速度合成定理 &

动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即

r e a v v v +=

解题要领

1 定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上.

2 牵连速度是牵连点的速度.

3 速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.

4 作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置.

5 用解三角形的方法解速度合成图. 三、加速度合成定理

1 牵连运动为平移时的加速度合成定理 ·

当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即

r e a a a a +=，

当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成

n r t r n

e t e n a t a a a a a a a +++=+

其中 t v a d d a t a

=，a 2a n a ρv a =，t v a d d e t e =，e

2e n e ρv a =，t v a d d r t r =，r 2r n

r ρv a =，r e a ,,ρρρ依次为绝

对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。解题要领

1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.

2 牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。剩下的三个切向加速度的大小方向共有六个因素，能且只能有2个未知量时方可求解。

3 因加速度合成定理涉及的矢量较多，一般不用几何作图的方法求解，而是列投影式计算，千万不能写成“平衡方程”的形式。

4 在加速度分析中，因动点和动系的选择不当而出现了一种似是而非的分析过程。教材中例5.3.5的一个典型错误解法如下： $

例：半径为r 的半圆凸轮移动时，推动靠在凸轮上的杆OA 绕O 轴转动，凸轮底面直径DE 的延长线通过O 点，如图所示。若在 30=?的图示瞬时位置，已知凸轮向左的移动速度为u ，加速度为a 且与u 反向，求此瞬时OA 杆的角速度ω与角加速度α。

“解”：取OA 杆上与凸轮相接触的B 点为动点，动系固结在凸轮上。设OA 杆的角速度和角加速度分别为和

。

1）速度分析：

根据速度合成定理，可画出速度平行四边形如图所a 示。由几何关系可得

u v v 2

30sin e a == , u v v 2330cos e r == 方向如图所示。由此可求得OA 杆在图示瞬时的角速度为

u r OB v ω63230ctg 1a =

，转向如图所示。

…

（a ）

(b)

2）加速度分析：

根据牵连运动为平移时的加速度合成定理，有

n r t r e

n a

a a a a a a ++=

大小： αOB 2

ωOB a BC

v 2

方向： OA ⊥ 指向O 点 ← BC ⊥ 指向C 点

加速度矢量关系图如图b 所示。在这个矢量关系式中，各加速度分量的大小、方向共有十个要素，已知八个要素，可以求解。将图示的加速度矢量关系向CB 方向投影，得

(

)

???

? ??+-=-

-=--=--=r u a r u/a BC v a a a a 4322

30sin 30sin 22

2r n r e t a

， t a a 为负值说明τa a 的真实指向应与图设的指向相反。由此，可求得OA 杆在图示瞬时的角加速度

的大小为

???

? ??+=+===r u a r r r /u a/BC a a α2323343230ctg 22t

a t a ， —

转向如图所示（由t a a 的真实指向决定）。

上述解法是“避免 ”了取OA 杆为动系时出现的科氏加速度，错在何处这不难从杆OA 的转动方程

?sin ，对时间求导求得OA 杆的角速度和角加速度值得到验证，式中OA x =。可以看到，速度分析的结果是正确的，而加速度分析结果是错误的。原因是“取OA 杆上与凸轮相接触的B 点为动点”，此动点只在此瞬时与凸轮相接触，随后就分道扬镳了，其相对轨迹不是凸轮轮廓线，相对轨迹不清楚，因此，上面分析中n

r a 用凸轮轮廓线的半径作为相对轨迹的曲率半径的计算是错误的。

2 牵连运动为转动时的加速度合成定理

牵连运动为转动时点的加速度合成定理：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度，等于该瞬时动点的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和

c r e a a a a a ++=，

其中科氏加速度为r e c ω2v a ?=，当相对速度矢量与牵连角速度矢量垂直时，相对速度顺着牵

连角速度转

90的方向就是科氏加速度的方向，大小为r e ω2v a c =.当点作曲线运动时，其加速

度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成

c n r t r n

e t e n a t a a a a a a a a ++++=+.

(

解题要领：

1 在加速度分析中要特别注意动系是否有角速度，如果有，就要考虑科氏加速度。

2 牵连运动为转动时的加速度合成定理涉及的矢量较多，最多有7个矢量，分析和列投影式时不要遗漏了。

3 法向加速度和科氏加速度只与速度和角速度有关，因此，在加速度分析时应作为是已知的。

4 牵连运动为转动时的加速度合成定理只可以解2个未知量。

第五章点的合成运动习题解答

5-1 在图a 、b 所示的两种机构中，已知20021==a O O mm ，

31=ωrad/s 。求图示位置时杆A O 2的角速度。

解：（1）取杆A O 1上的A 点为动点，杆A O 2为动系。1a ωa v =，

由r e a v v v +=作速度平行四边形（如题5-1图a 所示），得

a v v 1a e 2

30cos ω=

， rad/s 5.1

12e 2===ω

ωA O v ，

（逆时针）

（2）取滑块A 为动点，杆A O 1为动系， 1e ωa v =，由r e a v v v +=

作速度平行四边形（如题5-1图b 所示），得

1e a 3

30cos ωa v v ==

， rad/s 23

12a 2===

ωωA O v .（逆时针）

…

5-2图示曲柄滑道机构中，杆BC 为水平，杆DE 保持铅直。

曲柄长10.OA =m ，并以匀角速度20=ωrad/s 绕O 轴转动，通过滑块A 使杆BC 作往复运动。求当曲柄水平线的交角分别

题5-2图

(a) {

( b)

为0=?、 30、

90时杆BC 的速度。

解：取滑块A 为动点，动系为BCE 杆。m /s 2OA a =?=?

v . 由 r e a v v v += 得 ?sin a e v v =

当 0=? 时， 0e =v ；当

30=?时，m/s 1e =v ；

当90=?时，m/s 2e =v .

5-3图示曲柄滑道机构中，曲柄长r OA =，并以匀角速度ω饶O 轴转动。装在水平杆上的滑槽DE 与水平线成 60角。求当曲柄与水平线交角0=?、 30、

60时，杆BC 的速度。解：取滑块A 为动点，动系为杆BC ，ωωr v =?=OA a . 作速度矢量图如图示。

由正弦定理

)30-sin()60-sin(180e

?v v =，解得 )30-sin(3

e ?ω?=r v . 当

0=?时， 3

e v r ω=

；当30o

?=时， 0=e v ；

当60o

?=时， 3

e v r ω=-

(向右). 5-4如图所示，瓦特离心调速器以角速度ω绕铅垂轴转动。由于机器转速的变化，调速器重球以角速度1ω向外张开。如该瞬间

10rad/s =ω，

1.2rad/s 1=ω。球柄长500mm =l ，悬挂球柄的支点到铅垂

的距离为50mm =e ，球柄与铅垂轴间所成的夹角

30=β。求此时重球绝对速度的大小。

题5-3图

题5-4图

解：取重球为动点，转轴AB 为动系，则 ωl v r =，方向如图示；牵连速度()ωβsin e l e v +=，方向与ADB 垂直。根据

r e a v v v +=，

由勾股定理得 m/s 059.3

r 2e a =+=

v v v .

5-5图示L 形杆BCD 以匀速v

沿导槽向右平动，CD BC ⊥，h BC =。靠在它上面并保持接触的直杆OA 长为l ，可绕O 轴转动。试以x 的函数表示出直杆OA 端点A 的速度。

解：以L 形杆上的B 为动点，OA 杆为动系，则动点相对于动系做直线运动。v v =a ，设OBC ∠为θ，由速度合成定理得 v x h h v v 22a e cos +==?，由此可求得v x

h h

l l x h v v e

A 2

2+=

. 也可以利用以下关系解出A v 。由h

h x arctan ,tan ==

θθ，vt x = )

v x

h h

l r v x h vh h x h v

t A 22222,1d d +=

=+=??

??+==ωθω.

5-6如图所示，摇杆OC 绕O 轴转动，拨动固定在齿条AB 上的销钉K 而使齿条在铅直导轨内移动。齿条再传动半径100=r mm 的齿轮D 。连线1OO 是水平的，距离400=l mm 。在图示位置，摇杆角速度

50.=ωrad/s ， 30=?。试求此时齿轮D 的角速度。

解：解法一：

分两步计算。

（1）计算齿条AB 的速度。取K 为动点，OC 杆为动系，则

ωOK v =e . 由速度合成定理得：

题5-5图

题5-6图

e a cos cos l v v v AB ==

=，（2）计算齿轮

D 的角速度。

rad/s 67.23

cos 2

====

?ωωr l r v AB D .（逆时针）

解法二：设齿轮D 和齿条AB 的啮合点到K 点的距离为h ，则 ω?

?-== ,tan l h ，从而有

()t

l l t t h v AB ωω

?2cos tan d d d d -

===

，代入数据，

m/s 15

30cos 5.04.02-=?-

= AB v .

其中负号表示AB v 是沿h 减小的方向，即向下。齿轮D 的角速度为 m/s 67.23

===

r v v AB D .（逆时针） 5-7绕轴O 转动的圆盘及直杆OA 上均有一导槽，两导槽间有一活动销子M 如图所示，0.1m =b 。设在图示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为9rad/s 1=ω和

3rad/s 2=ω。求此瞬时销子M 的速度大小。

解：取销子M 为动点，分别将动系1，2固结在盘和杆OA

上，则22

e 11e 30cos ,30cos ωω

v b v ==

，方向与OA 垂直. 由速度合成定理

r1e1a v v v +=， r2e2a v v v +=，

故

r1e1a v v v +=r2e2v v += ，

将此式向水平方向投影，得

30cos 60cos 060cos 2r 2e 1e v v v --=+-

由此解出

()2122r 30

cos 30

sin ωω-=

b v

，

题5-7图

)

代入数据得 m /s 4.0r2=v ，m/s 346

.02e =v ，

所以销子速度m/s 529.02

2r 2

2e a =+=

v v v .

5-8如图所示，曲柄长400=OA mm ，以等角速度50.=ωrad/s 绕O 轴逆时针转动。曲柄的A 端推动水平板B ，使滑杆C 沿铅直方向上升。当曲柄与水平线间的夹角

30=θ时，试求滑杆C 的速度和加速度。

解：选OA 杆的A 点为动点，水平板B 为动系，它做平移动。

（1）速度分析. ωOA v v A ==a ，由r e a v v v +=作速度平行四边形，

?ω?cos cos a e OA v v ==

代入数据，m/s 173

e =v . 方向向上

（2） &

（3）

加速度分析. 2a ωOA a a A ==，由r e a a a a +=画加速度如图所示

?ω?sin sin 2a e OA a a ==，

代入数据，mm/s 50e =a 方向向下

5-9 半径为R 的半圆形凸轮D 以等速0v 沿水平线向

右运动，带动从动杆AB 沿铅直方向上升，如图所示。求

30=?，AB 杆的速度和加速度。解： OA 杆的A 点为动点，凸轮为动系，它做平移. （1）速度分析. 0e v v =，由r e a v v v +=作速度平行四边形，得

?tan e a v v =，?

cos 0

r v v =

代入数据，0a 33v v =

，0r 33

2v v = （2）加速度分析. r

v r v a 2

2r n

34==，0e =a ，由牵连运动为平移时的加速度合成定理为

r n r e a a a a a ++=，

向凸轮的法向轴投影，

n r a cos a a -=?，

题5-9图

解得，r

v a 2

a 398-=，负号表示所画的绝对加速度方向与实际相反，即与所画速度方向相反。

[

5-10如图所示，半径为R 的半圆形凸轮D 以等速0v 在水平面上滑动，长为r 2的直杆 OA 可绕O 轴转动。求图示瞬时A 点的速度与加速度，并求OA 杆的角速度与角加速度。

解：OA 杆的A 点为动点，凸轮为动系，它做平移. （1）速度分析. 0e v v =，根据r e a v v v +=作速度平行四边形，由正弦定理得

()

sin 30180sin sin r a e v v v =--=?θ，解得 0a 3cot 2v v v A +=

=?，?

?cos sin 30

r +=v v ，其中?角由正弦定理

sin sin 2r r =θ，求得，

45=?，从而(

)

00133

v v v A -=+=

. ()

v OA v A

OA 0

2132-==

ω, (逆时针).

—

(

)

0r 132

v v -=

（2）加速度分析. 0e =a ，()

v v a 2

2r n r

32r -==， ()

r v v a 2

2a n

322r 2-==.根据牵连运动为平移时的加速度合成定理

t r n r t e n e t a n a a a a a a +++=+a

向凸轮的法向轴ξ列投影式，n

r n a t a sin cos a a a -=+??，其

中

1560=-=??. 解得

题5-10图

()r v a 20t

322--=， ()

220

t a 32r v OA

a OA --==α，（顺时针）.

5-11 如图所示，带滑道的圆轮以等角速度0ω绕O 轴转动，滑块A 可在滑道内滑动，已知

l OO =1，在图示瞬时，1OO OA ⊥，且b OA =，试求此瞬时：（1）滑块相对于圆轮的速度和

加速度；（2）曲柄A O 1的角速度及角加速度。

解：取A O 1杆的A 点为动点，圆轮为动系，它作定轴转

动.

（1）速度分析.0e ωb v = ，A O l v 1a ω=.由r e a v v v +=，

经过速度合成图分析可以看出

??cot ,sin e r e

a v v v v ==

. 其中 b l

l b b

=+=

??cot ,sin 2

2，代入上式，得 220a l b v +=ω，0r ωl v =. 曲柄A O 1的角速度01a

1ωω==

O v A O ，顺时针方向. （2）加速度分析.2

220

1l b l b a A

O +=+=ω

，2

0n e ω

b a =，2

0r 0c 22ωωl v a ==，由牵连

运动为定轴转动时的加速度合成定理 c r t e n e t a n a a a a a a a +++=+，分别向水平和铅垂轴投

影

c n a t a cos sin a a a =+-??，r n

e n a t a sin cos a a a a +=+??

解得：2

220t

l b b

l a +-=ω，202r ωb l a -=.(方向向上).

曲柄A O 1的角加速度 2

1t a O 1

ωαb

l A a A

O -==，(逆时针). 5-12 如图所示杆A O 1绕1O 轴以等角速度1ω转动，连杆一端的滑块B 以等速0v 沿滑槽运动，AB 杆长为l .试求图示瞬时AB 杆的角速度和角加速度.

题5-12图

题5-11图

解：若以A 点为动点，AB 为动系，则A 点作合成运动。但AB 杆作平面运动，平面运动刚体上点的速度和加速度分析要在第六章中学习，因此，这题我们用第四章讲述的方法解。设在任意位置，杆AB 和杆A O 1与水平线夹角分别为()t t ?ω?,1=，()t x B O B =1，如图示。按正弦定理得 ()l x B ?

??sin sin +=

， (a) \

上式等号两边同时对时间求导，注意到

30,,01==-==??ω?

v x B ， (b) 得 l

v AB 0

2-==ω?ω ，（顺时针）. （a ）式等号两边同时对时间求2次导，注意到（b ）式和0,0==B x ?

，得 ???? ?

?+-=22

1021

883l v l v AB

ωωα，顺时针. ~

5-13如图所示，杆OA 绕定轴O 转动，圆盘绕动轴A 转动。

一直杆长20.=l m ，圆盘半径10.=r m ，在图示位置，杆的角速度和角加速度为4=ωrad/s ，2

rad/s 3=α，圆盘相对于杆OA 的角速度和角加速度为6r =ωrad/s ，2

r rad/s 4=α。求圆盘上1M 和2M 点的绝对速度及绝对加速度。解：

（1）动点：圆盘上1M 点；动系： OA 杆。

则OA 延长线与1M 重合的点1m 为牵连点。可得 m /s 2.13.041e =?=?=Om v ω，

方向为垂直1Om 逆时针方向。又 m /s 6.01.06r r =?=?=r v ω, 方向与e v 平行而反向。

m /s 6.06.02.1r e a =-=+=∴v v v , 方向与e v 相同。

1M 点的加速度合成图如图b) ，其中

2212n

e m/s 8.43.04=?=?=Om a ω；

题5-13图

b ）1

M 点的加速度合成图

2M 点的速度合成图

22r n r m /s 6.3=?=r a ω；

m/s 8.42,m/s 9.0,m/s 4.02

r C 21t e 2r t r ==

=?==?=v a Om a r a ωαα

由牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理

c t r n r t e n e t a n a a a a a a a a ++++=+，

得 2c n r n e n a m/s 6.3=-+=a a a a ,2

t r t e t a m/s 5.0=-=a a a

()()

22t a

2n a

a m /s 63.3=+=

∴a a a

(2) 动点：圆盘上2M 点；动系： OA 杆。

OA 杆的刚性延伸，与2M 点重合的2m 点为牵连点，有 m/s 894.0,

m/s 6.02e r r =?==?=OM v r v ωω，

速度合成图如图示，图中()

43.632arctan ==? 由速度合成定理得 ()()

m/s 824.0sin cos 2

e 2

r e a =++-=

??v v v v .

作2M 点的速度合成图如图示，其中

…

m /s 4.041.0,m /s 6.31.062r τr 2

r n

r =?=?==?=?=r a r a αω

2r m/s 8.42==v a C ω，22τe 222n

e m/s 53.0,m/s 56.1=?==?=Om a Om a αω.

加速度合成定理

c t r n r t e n

e y a x a a a a a a a a ++++=+，得

2t r t e n e x a m/s 30

.3cos sin =+-=a a a a ??，

2c n

r t e n e y a m /s 00

.1sin cos =-++=a a a a a ??，

由勾股定理，得 2a m/s 45

.3=a .

5-14图示圆盘绕水平轴AB 转动，角速度为t 2=ωrad/s ，盘上M 点沿半径方向槽按

240t OM r ==的规律运动（r 单位为mm ，t 单位为s ）。OM 与AB 轴成

60倾角。求当1=t s

时，M 点的绝对加速度的大小。

解：取点M 为动点，圆盘为动系，计算

1,,,=t r r r 在和ω

ω 时刻取值，得到M 点在该瞬时的位置，相速度和相对加速度：

…

（

题5-14图

2r r m m /s 80,m m /s 80,m m 40===a v r ，

以及圆盘在该瞬时的角速度，角加速度：

2rad/s 2,rad/s 2==αω

取xyz O -坐标系如图示，yz O -与盘面重合，且y 轴为转轴，x 垂直盘面. 对点M 作加速度分析如图，加速度合成定理为

c r t e n

e a a a a a a +++=，

其中

2τ

e mm/s 34060sin == αr a ，与x 轴同向平行；

22n

e mm/s 38060sin == ωr a ，与z 轴反向平行；

2r c mm/s 316060sin 2== v a ω，与x 轴同向平行；

于是有 "

2c t

e ax mm/s 3200=+=a a a ； 2r ay mm/s 4060cos == a a ； 2r n e az mm/s 34060sin -=+-= a a a ，

由此解出22

az 2

ay 2ax a mm/s 5.355=++=

a a a a .

5-15曲柄OBC 绕O 轴转动，使套在其上的小环M 沿固定直杆OA 滑动，如图所示。已知100=OB mm ，OB 垂直于BC ，曲杆角速度50.=ωrad/s 。求当

60=?时，小环M 的速度和加速度。

解：取小环M 为动点，直角杆为动系. 1）速度分析. 根据速度合成定理

【

r e a v v v +=

作出速度平行四边形，如图示，其中

mm/s 100e ==ωOM v ，

由此解出

,m m /s 32.17tan e a ==?v v

mm /s 200cos e

r ==

v v . 2）加速度分析. 根据加速度合成定理

题5-15图

M 点的速度和加速度图

c r t e n

e a a a a a a +++=，

作出加速度图，如图示，其中

22n

e mm/s 50=

=ωOM a ，2r c mm/s 2002==v a ω，

向与BC 垂直的轴投影，有

c n

e a cos cos a a a +-=??，

解得 2a mm/s 350=a .

5-16 一牛头刨床的机构如图所示。已知2001=A O mm ，匀角速度21=ωrad/s 。求图示位置滑枕CD 的速度和加速度。、

解：1）速度分析（图a ）。

先取A O 1的A 点为动点，B O 2为动系，设r A O =1。由速度合成定理，A 点的速度为

r e a A A A v v v +=，其中ωr v A =a ，解得

r r v A 11e 21

30sin ωω== ，

r r v A 11r 2

330cos ωω=

= 于是，B O 2杆的角速度为 4

2e 2ωω==

A O v A （逆时针）. 再选

B 点为动点，CD 为动系，由速度合成定理，B 点速度为

r e a B B B v v v +=，

其中， 22a ω?=B O v B ，由此解得CD 的速度为

图a 速度分析图

图b 加速度分析图

题5-16 图

m/s 325.02

30cos 22a e =??=

=ωB O v v B B . 滑枕CD 的速度m/s 325.0=CD v ，方向向右。 2）加速度分析（图b)。动点，动系仍如速度分析。

A 点加速度

c r n

e t e a a a a a a +++=A A A A ，

其中

21a ωr a A =, 222t

e 2ααr A O a A

=?=，

22n e 8

ωωr A O a A =?=, 21r 2c 432ωωr v a A ==. 方向如图示。向η轴投影得

c τ

e a 30cos a a a A A +-= ，

解得 2

1a c t e 4

330cos ωr a a a A A -

=-=

，于是，B O 2杆的角加速度为2

12t 283ωα-==A

O a Ae ，（逆时针）

B 点加速度为

t a B a + n

a B a = e B a + r B a

大小： 22α?B O 2

22ωB O

方向：如图所示向CD 轴投影得

e n a t a 30sin 30cos B B B a a a =-

解得 m/s 6567

.0Be -=a

滑枕CD 的加速度m /s 6567

.0CD =a ，方向向左。

在图示位置，滑枕CD 的速度和加速度反向，表明滑枕在此瞬时作减速运动。