实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案

第一章集合

早在中学里我们就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补的运算，因此这章的前两节具有复习性质，不过，无限多个集合的并和交，是以前没有接触过的，它是本书中常常要用到，是学习实变函数论时的一项基本功。

康托尔在19世纪创立了集合论，对无限集合也以大小，多少来分，例如他断言：实数全体比全体有理数多，这是数学向无限王国挺近的重要里程碑，也是实变函数论的出发点。

实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。

§1 集合的表示

集合是数学中所谓原始概念之一，不能用别的概念加以定义，就目前来说，我们只要求掌握一下朴素的说法：

在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称作一个集合，其中每一个个体事物叫做该集合的元素。

顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。

例1 4，7 ，8，3四个自然数构成的集合。

例2 全体自然数

例3 0和1之间的实数全体

0,1上的所有实函数全体

例4 []

例5 A,B,C三个字母构成的集合

例6 平面上的向量全体

全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。

1.集合的表示

一个具体集合A 可以通过例举其元素,,a b c L 来定义，可记{},,A a b c =L 也可以通过该集合中的各个元素必须且只需满足的条件p 来定义，并记为

A={x ：x 满足条件p}

如例1可以表示为｛4，7，8，3｝例3可以表示为{}:(0,1)x x ∈

设A 是一个集合，x 是A 的元素，我们称x 属于A ，记作x A ∈，x 不是A 的元素，记作x A ?。

为方便表达起见，?表示不含任何元素的空集，例如 {x ：sin x >1}=?

习惯上，N 表示自然数集，（本书中的自然数集不包含0），Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.

设()f x 是定义在E 上的函数，记()f E ={ ()f x ：x ∈E}，称之为f 的值域。若D 是R 中的集合，则

1()f D -={x :x ∈E ,},称之为D 的原像，在不至

混淆时，{x ：x ∈E ，()f x 满足条件p}可简写成{x :()f x 满足条件p }.

2.集合的包含关系

若集合A 和B 满足关系：对任意x ∈A,可以得到x ∈B ，则成A 是B 的子集，记为A ?B 或B ?A ，若A B 但A 并不与B 相同，则称A 是B 的真子集. 例7. 若()f x 在R 上定义，且在[a,b]上有上界M ，即任意对

x ∈[a,b]有()f x ≤M.用集合语言表示为：[a,b] ?{x ：()f x ≤M}.

用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例. 例8. 若()f x 在R 上连续，任意取定0x ∈R,对任意ε>0,存在δ>0.使得对任

意0

0(,)x x x δδ∈-+有0|()()|f x f x -<ε,即

0000((,))((),())f x x f x f x δδεε-+?-+.

3.集合相等

若集合A 和B 满足关系：A ?B 且B ?A,则称A 和B 相等，记为A=B.

例9 设()f x 在R 上定义，且在R 上有上界M ，则 R={x ：()f x ≤M}={x ：

()

f x ≤M+1}

例10 若()f x 在[a,b]上连续，则由连续函数的性质，([,])[,]f a b m M =，其中

min{():[,]}m f x x a b =∈，max{():[,]}M f x x a b =∈.

§2 集合的运算

从给定的一些集合出发，我们可以通过所谓集合的运算做出一些新的集合，其中最常见的运算有并、交、减法三种，实变函数中大量使用无限并和无限交的运算。

1、集合的并集

设A,B 是任意两个集合，设C 由一切或属于A 或属于B 的元素所组成，则我们称C 为A,B 的并集或和集，简称为并或和，记为C A B =U 它可以表示为

{:}A B X X B X A =∈∈U 或

图1.1是A B U 的示意图。

并集的概念可以推广到任意多个集合的情形，设有一簇集合

:}A ??∈Λ｛,其中?是在固定指标集Λ中变化的指标；则由一切A ?的所有元素组成的集合称为这族集合的并集或和集，记为A αα∈Λ

U ，它可以表示为：

=x x A A ααα

α∈Λ

∈Λ∈U ｛：存在某个使｝ 注意，按照集合的定义，重复出现在两个被并集合中的元素在做并运算时只能算一次。

习惯上，当=k Λ???｛1、2、3｝为有限集时，A A αα∈Λ=

U 写成k

n

=1=A A α

U ,而n

n N

A A ∈=U 写成n n=1

=A A ∞

U 。

例1设()f x 和()g

x 是定义在E 上的函数，则对任意C R ∈

()()()x max f x g x }>c}={x:g x >c}｛：｛，

例2.n=11

1(a,b)=

a

b n n ∞

??+-???

?U ， 例3若记n n n 1

m

=m n=n Q Q ∞=∈???U ｛：Z ｝，1、2、3则Q=

例4 若{:}I αα∈Λ是一族开区间，而[]a b I αα

∈Λ

?

U ，，则存在 使得

（有限覆盖定理） 例5若()f x 是定义在E 上的函数，则()1

1

x f x 0}{:()}n x f x n ∞

=>=

>U ｛： 2、集合的交集

设A,B 是任意两个集合，由一切既属于A 又属于B 的元素组成的集合C 称为A 和B 的交集或积集，简称为交或积，记作C A B =I ,它可以表示为

{:}A B x x A x B =∈∈I 且

如图1.2所示

交集的概念也可以推广到任意多喝集合的情形设 :}A αα∈Λ｛ 是任意集族，其中?是在固定指标集Λ中变化的指标；则由一切

:}A αα∈Λ｛的所有元素组成的集合称为这族集合的交集或积，记为n A α

∈Λ

I ，它可以表示为：

若

n A α

∈Λ

≠?I ，说明所有的n A 没有公共的元素。

习惯上，当=k Λ???｛1、2、3｝为有限集时，A A αα

∈Λ

=

I 写成k

n n=1

=A A I ,而n n=N

A A =I

1

2

3

ααα????Λ

｛，，｝[]i i=1

a b I ∞

?U

，=x x A A ααα

α∈Λ

∈Λ∈I ｛：存在某个使｝

写成 n n=1

=A A ∞

I

例6、若()f x 是定义在E 上的函数，则

x a

例7、若[][]()n n n 1n 1n n a b a b n=12lim b a =0x --→∞

????-，，，，且则存在唯一的

a R ∈使[][]n n n n n=1

a a

b n=12a =a b ∞

?I ，，

，，，即｛｝， （区间套定理）。 例8 若()}{

f x n 是定义在E 上的一列函数，则对任意c R ∈， （1）1

{:sup }{:}n n n x f c x f c ∞

=≤=

≤I

（2）1

{:sup }{:}n n n x f c x f c ∞

=>=>U

证明 我们只证明（1），（2）的证明类似的，请读者自证。

若{:sup }n x x f c ∈≤则对任意n sup{}n n f f c ≤≤即{:}n x x f c ∈≤ ，由n 的任意性，1

{:}n n x x f c ∞

=∈

≤I

；反之，若1

{:}n n x x f c ∞

=∈≤I ，对任意n ，n f c ≤ ，

因此c 是}{

()n f x 的一个上界，于是sup n f c ≤即{:sup }n x x f c ∈≤

定理1

(1),A B B A B B A ==U U I I （交换律）

(2)()(),()()A B C A B C A B C A B C ==U U U U I I I I

(3)()()(),()()A B C A B A C A B A B αααα∈Λ

∈Λ

==I U I U I I I U U

(4),A A A A A A ==U I

证明 我们只证明(

)()A B A B αααα

∈Λ

∈Λ

=I I U U

先设

()x A B αα

∈Λ

∈I

U 则有x A ∈且有00,B αα∈Λ∈使得x

于是0()x A B A B αα

∈Λ

∈?

I I U