人教版九年级上册数学 二次函数单元测试卷 (word版,含解析)

人教版九年级上册数学 二次函数单元测试卷 （word 版，含解

析）

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴．

（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．

（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2x =；（2）2

122

y x x =-

+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(

33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2?

?- ??

?

【解析】 【分析】

（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．

（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题． （3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可． 【详解】

解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42a

a

-＝2． （2）如图1中，

对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，

∴A(4，0)，

∵四边形OMAM′是正方形，

∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，

∴M((2，﹣2)，M′(2，2)

把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，

可得﹣2＝4a﹣8a，

∴a＝1

2

，

∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1

2(x﹣2)2+2＝﹣

1

2

x2+2x．

（3）如图3中，由题意OD＝2．

当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，1

2

m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣

1

2

(m﹣

2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣1

2

(m+2)2+2(m+2)]，

∵PQ∥OD，

∴1

2m2﹣2m＝﹣

1

2

(m﹣2)2+2(m﹣2)或

1

2

m2﹣2m＝﹣

1

2

(m+2)2+2(m+2)，

解得m ＝3±3或1±3，

∴P (3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)， 当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P (1，﹣

32

)， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)或(1，﹣32

)． 【点睛】

本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题

2．在平面直角坐标系中，抛物线2

2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的

1

4

时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）2

2y x x =-++；（2）存在，（

23，209）或（10

3，529

-）；（3）610

2 【解析】

【分析】

（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；

（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出

∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；

（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解． 【详解】

解：（1）∵抛物线2

2(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），

则44220422a b a b -=-+??=++?，解得：11a b =-??=?

，

∴抛物线的解析式为2

2y x x =-++； （2）存在，理由是：

在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ， 在2

2y x x =-++中， 令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B 坐标为（-1，0）， ∴点E 坐标为（1，0）， 可知：点B 和点E 关于y 轴对称， ∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ， ∵D （0，2），

∴=， 在△BDE 中，有

12×BE ×OD=1

2

×BD ×EF ，

即2×EF ，解得：EF=5

，

∴5

，

∴tan ∠BDE=

EF DF =4

3， 若∠PBC=2∠BDO ， 则∠PBC=∠BDE ，

∵BE=2， 则BD 2+DE 2＞BE 2， ∴∠BDE 为锐角， 当点P 在第三象限时，

∠PBC 为钝角，不符合； 当点P 在x 轴上方时，

∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++）， 过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ， 则BG=c+1，PG=22c c -++，

∴tan ∠PBC=

PG BG =221

c c c -+++=4

3， 解得：c=

2

3

， ∴22c c -++=

209

， ∴点P 的坐标为（

23，209

）；

当点P 在第四象限时，

同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，

tan ∠PBC=PG BG =221

c c c --+=4

3，

解得：c=

10

3

， ∴22c c -++=529

-

， ∴点P 的坐标为（

103，529

-）， 综上：点P 的坐标为（

23，209）或（10

3，529

-）；

（3）设EF 与AD 交于点N ，

∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ， 则422m n n -=-+??

=?，解得：3

2m n =??=?

，

∴直线AD 表达式为y=3x+2， 设点M 的坐标为（s ，3s+2），

∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，

则11114202m n m n -=-+??=+?，解得：11

1

2m n =??=-?，

∴直线AC 表达式为y=x-2， 令x=0，则y=-2， ∴点E 坐标为（0，-2）， 可得：点E 是线段AC 中点， ∴△AME 和△CME 的面积相等， 由于折叠，

∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ， 由题意可得：

当点F 在直线AC 上方时， ∴S △MNE =

14

S △AMC =12S △AME =1

2S △FME ，

即S △MNE = S △ANE = S △MNF ， ∴MN=AN ，FN=NE ，

∴四边形FMEA 为平行四边形， ∴CM=FM=AE=

12AC=22

1442

+22 ∵M （s ，3s+2）， ()

()2

2

23222s s -++=

解得：s=4

5

-

或0（舍），

∴M （45-

，2

5

-）， ∴AM=2

2

422455????-++-+ ? ?????

=

6105，

当点F 在直线AC 下方时，如图， 同理可得：四边形AFEM 为平行四边形， ∴AM=EF ，

由于折叠可得：CE=EF ， ∴AM=EF=CE=22，

综上：AM 的长度为10

5

或22 【点睛】

本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．

3．如图1，抛物线2

:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正

半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为

正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线

()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于

点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题： （1）填空：1a = ，1b = ； （2）求出2C 与3C 的解析式；

（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；

②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.

【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，231

26

y x x =-；（3）①()2

2

12123

n n y x x n -=

-≥?，②20182019y y ＞. 【解析】 【分析】

（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值； （2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；

（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．

②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小． 【详解】

解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），

由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（

12b ，12b ），D 1（12b ，12

b

-）， ∵B 1在抛物线c 上，则

12b =(12

b )2

， 解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），

把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1， 故答案为1，2；

（2）当20y =时，有()220a x x b -=， 解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，

222,22b b B ??∴ ???，22

2,22b

b D ??- ???

. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ??∴

=- ???

. 解得24b =或20b =（不合舍去），

()22,2D ∴-

2D 在抛物线2C 上，

()22224a ∴-=-.

解得21

2

a =

. 2C ∴的解析式是()2142y x x =

-，即221

22

y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=， 解得3x b =，或0x =.

()33,0A b ∴.

由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，

333,22b b B ??∴ ???，333,2

2b

b D ??- ???.

3B 在抛物线2C 上，

2

333122222

b b b

??∴=-? ???.

解得312b =或30b =（不合舍去），

()36,6D ∴-

3D 在抛物线3C 上，

()366612a ∴-=-.解得316

a =

. 3C ∴的解析式是()31126y x x =

-，即231

26

y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()22

1

2123

n n y x x n -=-≥?. ②由①可得2

201820161223y x x =

-?，220192017

1223

y x x =-?. 当0x ≠时，2

2018201920162017

111

0233y y x ＞??-=

-

???

， 20182019y y ∴＞.

【点睛】

本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标?把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．

4．已知函数2222

22(0)

114(0)

2

2x ax a x y x ax a x ?-+-

=?---+≥??（a 为常数）． （1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值． （2）当1a =-时，

①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．

②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．

（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点

()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．

【答案】（1）1a =或3a =-；（2

）①1x =--

1x =+；②

7

2

4m ≤<或21m -<<-；（3

）3a <--

或1a ≤<-

或a >【解析】 【分析】

（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线

y m =观察其与图像交点，即可得到答案．

（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将

2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211

422

y x ax a =---+与0比大小；第二

种为当20a -≤<，2

2

22y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211

422

y x ax a =-

--+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2

2

22y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211

422

y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小． 【详解】

（1）将()1,2代入2211422y x ax a =-

--+中，得211

2422

a a =---+，解得1a =或3a =-．

（2）当1a =-时，函数为2221,

(0)17

(0)

2

2x x x y x x x ?+-

=?-++≥?

?，

①令2210x x +-=

，解得1x =--

1x =- 令217

022

x x -

++=

，解得1x =+

或1x =-

综上，1x =--

1x =+．

②对于函数()2

210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--； 对于函数217

(0)22

y x x x =-

++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2??

???

． 综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足

7

2

4m ≤<或21m -<<-． （3）22

22y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211

422

y x ax a =-

--+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2

2

22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2

2

22y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础

上若使2211

422

y x ax a =-

--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，

2221111

49342222

0y x ax a a a =---+=?--+<-，

解得3a >或3a <--，

综上可得：3a <--．

②当20a -≤<时，若使得2

2

22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足

2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，

222

22=20y x ax a a =-+--≤；得2a ≤<，

在此基础上若使2211

422

y x ax a =-

--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，222111

4=42222y x ax a a ---+->=；3x =时，

2221111

49342222

2y x ax a a a =---+=?--+>-；

求得21a -<<-；

综上：1a ≤<-．

③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，

22222=22y x ax a a =-+--≥且222111

4+40222

y x ax a a =---+=-<；

求解上述不等式并可得公共解集为：a >

综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则3a <--或1a ≤<-或a > 【点睛】

本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．

5．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

(Ⅰ)将矩形纸片沿DF 折叠，使点A 落在CD 边上点E 处，如图②；

(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C 再次折叠，使得点B 落在边CD 上点B′处，如图③，两次折痕交于点O ；

(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB 、OE 、OC 、FD ，如图④． （探究）

（1）证明：OBC ≌OED ；

（2）若AB ＝8，设BC 为x ，OB 2为y ，是否存在x 使得y 有最小值，若存在求出x 的值并求出y 的最小值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）x=4，16 【解析】 【分析】

（1）连接EF ，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS 证明OBC ≌OED 即可；

（2）连接EF 、BE ，再证明△OBE 是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y 与x 的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】

（1）证明：连接EF ． ∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADE ＝∠DAF ＝90° 由折叠得∠DEF ＝∠DAF ，AD ＝DE ∴∠DEF ＝90°

又∵∠ADE ＝∠DAF ＝90°， ∴四边形ADEF 是矩形 又∵AD ＝DE ， ∴四边形ADEF 是正方形 ∴AD ＝EF ＝DE ，∠FDE ＝45° ∵AD ＝BC ， ∴BC ＝DE

由折叠得∠BCO ＝∠DCO ＝45° ∴∠BCO ＝∠DCO ＝∠FDE ． ∴OC ＝OD ． 在△OBC 与△OED 中，

BC DE BCO FDE OC OD =??

∠=∠??=?

，，

， ∴△OBC ≌△OED （SAS ）；

（2）连接EF 、BE ． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴CD ＝AB ＝8． 由（1）知，BC ＝DE ∵BC ＝x ， ∴DE ＝x ∴CE ＝8－x

由（1）知△OBC ≌△OED ∴OB ＝OE ，∠OED ＝∠OBC ． ∵∠OED ＋∠OEC ＝180°， ∴∠OBC ＋∠OEC ＝180°．

在四边形OBCE 中，∠BCE ＝90°，∠BCE ＋∠OBC ＋∠OEC ＋∠BOE ＝360°， ∴∠BOE ＝90°．

在Rt △OBE 中，OB 2＋OE 2＝BE 2．

在Rt △BCE 中，BC 2＋EC 2＝BE 2．∴OB 2＋OE 2＝BC 2＋CE 2． ∵OB 2＝y ，∴y ＋y ＝x 2＋(8－x)2． ∴y ＝x 2－8x ＋32

∴当x=4时，y 有最小值是16．

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．

6．如图1，抛物线2

1:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．

（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．

（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段

MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1

C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．

（3）如图2，将抛物线1C 向下平移7

8

个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在

直线2y x =-上，求m 的值．

【答案】（1）2

1y x =+；（2）251|n -；（3）14m =-

或12

m =- 【解析】 【分析】

（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式； （2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2

B C ''

并进行化简，由1n q -≤<且12,

q

n <-得21n q -<，则当()

2max

B C ''??????时，取min 2q q n ==-，带入()

2B C ''，即可求得

()

max

B C '

'

；

（3）依题意将抛物线1C 向下平移

7

8

个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ??+ ???，得到2

222

18OM m m ??=++ ??

?，由圆的特性易求得，⊙K 的

最高点点Q 坐标为：2111,22

28m OM m ??

??++ ?

?????，设Q y k =，则

2111228k OM m ??=

++ ???，化简得到22211084k m k m ?

?++-= ??

?，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到2

31048m m -

+=，解得14m =-或12

m =-． 【详解】

解：（1）将()0,1A 带入抛物线2

1:C y x b =+，得b=1， 则2

1:1C y x =+，

（2）设(),0B q ，则()2,0C q -， ∴()

2

2

2

22

(2)(2)B C q q q q ''

??=--+--??

2204020q q =-+

()2

201q =-，

∵1n q -≤<且12,q n <-

21n q -<∴，

∴()2

max

B C

'

'

?????

?

时，min 2q q n ==-，

即()2

2220(21)20(1)B C n n ''

=--=-，

∴()

max

1|B C n ''

=-，

（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移7

8

个单位长度得到抛物线2C ， ∴2

21:8

C y x =+， ∴2

1,8M m m ??+

??

?

， ∴2

22218OM m m ??=++ ??

?，

∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：

2111,22

28m OM m ??

??++ ?

?????， 设Q y k =，则2111228k OM m ??

=

++ ???

，

∴2

22111428OM k m ??

??=-+ ??????

?， 化简上式得：2

2

2

11084

k m k m ?

?++

-= ??

?， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-， ∴k m =-为上述方程的一个解， ∴分析可知1()04k m k m ??

+-

= ???

， 21148

m m m -=+∴，

∴2

31

048

m m -

+=， 解得：114m =-，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程2

31048

m m -+=的

解），

故14m =-

或1

2

m =-． 【点睛】

本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．

7．如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A 、B 、C 三点，已知点A （-3，0），B （0，3），C （1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ．动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；

（3）在直线x = -2上是否存在点M ，使得∠MAC = 2∠MCA ，若存在，求出M 点坐标．若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=-x 2-2x+3；（

2）点（-

32，15

4

），△PDE 的周长最大；（3）点M （-2，3）或（-2，-3）．

【解析】 【分析】

（1）将A 、B 、C 三点代入，利用待定系数法求解析式；

（2）根据坐标发现，△AOB 是等腰直角三角形，故只需使得PD 越大，则△PDE 的周长越大.联立直线AB 与抛物线的解析式可得交点P 坐标；

（3）作点A 关于直线x=-2的对称点D ，利用∠MAC = 2∠MCA 可推导得MD=CD ，进而求得ME 的长度，从而得出M 坐标 【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），

∴93030

a b c c a b c -+=??=??++=?

，解得：1

23a b c =-??

=-??=?，

所以，抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3； （2）∵A （-3，0），B （0，3），

∴OA=OB=3，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°， ∵PF ⊥x 轴，∴∠AEF=90°-45°=45°， 又∵PD ⊥AB ，∴△PDE 是等腰直角三角形，

∴PD 越大，△PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3， 设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ，

联立2

23

y x m

y x x =+??=--+?，消掉y 得，x 2+3x+m-3=0， 当△=9-4（m-3）=0，即m=21

4

时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长， 此时x=-32，y=15

4，∴点（-32

，154），△PDE 的周长最大；

（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．

∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ， ∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2

， ∴ME=3 ∴点M （-2，3）或（-2，-3）． 【点睛】

本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析

8．如图，抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(?1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C ； （1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；

（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =2

3

S △ABD ?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长.

【答案】（1）213

222

y x x =-++（2）存在，D （1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10 【解析】 【分析】

（1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由条件可求得点D 到x 轴的距离，即可求得D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D 点坐标；

（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长． 【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），

∴2016420a b a b -+=??++=?，解得：12

32a b ?

=-????=??

，

∴抛物线解析式为：213

222

y x x =-

++； （2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0），

∴AB=5，OC=2，

∴S △ABC =12AB?OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =2

3S △ABD ，

∴S △ABD =315

522

?=，

设D （x ，y ）， ∴11155222

AB y y ?=??=， 解得：3y =； 当3y =时，213

2322

y x x =-

++=， 解得：1x =或2x =，

∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）； 当3y =-时，213

2322

y x x =-

++=-， 解得：5x =或2x =-（舍去）， ∴点D 的坐标为：（5，-3）；

综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）； （3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，

∴22125AC =+=,222425BC =+=， ∴222AC BC AB +=，

∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，

如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，

由题意可知∠FBC=45°， ∴∠CFB=45°， ∴25CF BC ==