第五章 微分方程

第五章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念

微分方程的定义：

①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解：

微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数

)(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方

程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.

初始条件与特解：

用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。

例1 课本294页 例1

二、独立的任意常数

线性相关与线性无关：

设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有

0)()(2211=+x y k x y k

成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性相关，否则称为线性无关.

显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是

)

()

(21x y x y 在区间),(b a 内恒为常数. 如果

)

()

(21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性无关.

独立的任意常数：

在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中, 1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关.

例2 课本297页 例4

第二节 可分离变量的微分方程 一、定义

形如

)()(d d y g x f x

y

= 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数.

二、求解方法

可分离变量的微分方程

)()(d d y g x f x

y

=的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ??=

x x f y y g d )(d )(.

【例1】求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2

的通解.

解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得

dx x dy y y 1

1

12

-=- 两端积分

?

?

-=-dx x dy y y

111

2得 ||ln |1|ln |1|ln 2

1

12C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下,

用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解

22)1(1-=-x C y 中.

【例2】 已知 ,tan 2cos )(sin 2

2x x x f +=' 当10<

解 设,sin 2x y =则,21sin 212cos 2y x x -=-=

.1sin 1sin cos sin tan 22222

y

y

x x x x x -=-==

所以原方程变为,121)(y y y y f -+

-='即.112)(y

y y f -+-=' 所以 =)(y f ???? ?

?-+-y y 112dy 2y -=,)1ln(C y +-- 故 C x x x f +-+-=)]1ln([)(2).10(<

第三节 线性微分方程 一、一阶线性微分方程

定义 ：

形如

)()(d d x Q y x P x

y

=+. 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 都是x 的已知连续函数，“线性”是指未知函数y 和它的导数y '都是一次的. 求解方法 ：

一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P x

y

=+的求解方法,一般有如下两步: 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P x

y

=+所对应的齐次线性微分方程0)(d d =+y x P x

y

的通解?=-x x P c C y d )(e . 第二步：设?=-x x P x C y d )(e )(为一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P x

y

=+的解,代入该方程后,求出待定函数)(x C .

第三步: 将)(x C 代入?=-x

x P x C y d )(e )(中,得所求一阶线性微分方程

)()(d d x Q y x P x

y

=+的通解. 注：只要一阶线性微分方程是

)()(d d x Q y x P x

y

=+的标准形式,则将?=-x x P x C y d )(e )(代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有

)(e )(d )(x Q x C x

x P =?'-,

该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程. 一阶线性微分方程

)()(d d x Q y x P x

y

=+的求解公式： ??

????+??=?-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )( (其中C 为任意常数). 【例1】 求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2

+=+ 满足条件20=

=x y 的特解.

解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有

x x y y y d 11

d 1

2-=-，

两边积分，得

=-?

y y y

d 12

?-x x d 11

，

求积分得

121ln 1ln 2

1

C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1

222e )1(1C x y -=-，222

)1(e

11

-±=-x y C ，

记 0e

1

2≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .

可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的 C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）. 代入初始条件 20=

=x y

得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .

【例2】 求微分方程（1）x

y y

y +=

'，（2） x xy y x cos e 22

=-'的通解.

（1）解一 原方程可化为

1d d +=x

y

x y

x y ，令 x y

u =， 则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12

-=+ ，两边取积分 ??-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得

C x u u

ln ln ln 1

-=-，将x y u =代入原方程，整理得原方程的通解为

y

x C y e = （C 为任意常数）.

解二 原方程可化为

11

d d =-x y

y x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程

01

d d =-x y

y x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1

ln

)(C y

y C =， 所以原方程的通解为 1

ln C y y x

=，即y

x C y

e = （C 为任意常数）.

（2）解一 原方程对应的齐次方程

02d d =-xy x y 分离变量，得xy x

y

2d d =，x x y

y

d 2d =， 两边积分，得

x x y y

??=d 2d ，C x y +=2ln ，

)e ln(ln e ln ln 2

2

x x C C y =+=，2

e x C y =，

用常数变易法.设2

e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(2

2

='，x x C cos )(='，

C x x x x C +==?sin d cos )(，

故原方程的通解为 )(sin e 2

C x y x += （C 为任意常数）.

解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2

=代入通解的公式得

)d e cos e (e d 2d 22?+???=---C x x y x

x x x x

=)d e

cos e

(e 2

2

2

C x x x x x +??

-=)d cos (e 2

C x x x +?=)(sin e 2

C x x +（C 为任意常数）.

小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 )()(x Q y x P y =+'，也可直接利用公式

C x x Q y x

x P x x P +??=?-d e )((e d )(d )(）求通解.

二、二阶常系数齐次线性微分方程

定义：

形如

0=+'+''qy y p y 的微分方程（其中q p ,均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程. 求解方法：

求解二阶常系数齐次线性微分方程,一般分为如下三步:

第一步 写出方程0=+'+''qy y p y 的特征方程 02=++q pr r ，

第二步 求出特征方程的两个特征根 1r ,2r ，

第三步 根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出0=+'+''qy y p y 的通解.

【例3】 求微分方程02=+'-''y y a y 的通解.

解 原方程对应的特征方程为 0122

=+-ar r ，2

44222

,1-±=a a r =12-±a a ，

（1）当1>a ，即 1>a 或1-

121-+=a a r ，122--=a a r ，

故原方程的通解为

x

a a x

a a C C y )1(2)1(122e e --

-+

+=.

（2）当1=a ，即1=a 或1-=a 时，特征方程有两个相等的实根 a r r ==21， 故原方程的通解为 ax

x C C y e )(21+=.

（3）当1

2,11i a a r -±=，

故原方程的通解为

)1sin 1cos (e 2221x a C x a C y ax -+-=.

三、二阶常系数非齐次线性微分方程

定义：

形如

)(x f qy y p y =+'+''

的微分方程（其中q p ,均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微分方程.

求解方法：

求解二阶常系数非齐次线性微分方程, 一般分为如下三步:

第一步 先求出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''所对应的齐次线性微分方程方程0=+'+''qy y p y 的通解c y ;

第二步 根据下表设出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的含待定常数的特解p y ,并将p y 代入非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''解出待定常数,进而确定非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解p y ;

第三步 写出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的通解p c y y y +=.

方程)(x f qy y p y =+'+''的特解p y 的形式表

注: ①表中的)(x P m 为已知的m 次多项式，)(x Q m 为待定的m 次多项式，如C Bx Ax x Q ++=22)( （C B A ,,为待定常数）.

②在设微分方程 x

m x P qy y p y λe )(=+'+''的特解时，必须注意把特解p y 设全.如：

2)(x x P m =，那么 2120)(b x b x b x Q m ++=，而不能设20)(x b x Q m =.另外，微分方程的特解都

是满足一定初始条件的解，上面所求的特解p y 一般不会满足题设初始条件，因此需要从通

解中找出一个满足该初始条件的特解.

【例4】 求微分方程 x

x y y e 4=-''满足初始条件00=

=x y

，10='

=x y 的特解.

解 对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通

解为 x

x c C C y -+=e e 21.

因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 x

P b x b x y e )(10+=，

代入原方程得 x x b b b 4422010=++，

比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 x

P x x y e )1(-=， 故原方程的通解为 =y x

x

C C -+e

e 21x x x e )1(-+，

由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ??

?=-=+,

2,

02121C C C C

从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y x

x

--e

e x x x e )1(-+.

【例5】 求微分方程 x y y y x

2sin e 842=+'-''的通解.

解 对应的齐次微分方程的特征方程 0842

=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对

应的齐次微分方程通解为

)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．

为了求原方程x y y y x

2sin e

842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）

的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。所以设特解为

x Ax y )i 22(e +*=，代入原方程，化简得

18])i 22([4i 8)i 44(=+++-++Ax Ax A Ax A ,

比较同类项系数，得 1i 4=A ，4

i i 41-==

A . 所以，方程（*）的特解为

)2sin 2(cos e 4i 2x i x x y x +-=*=)2sin 2cos i (e 4

1

2x x x x --,

其虚部即为所求原方程的特解 x x y x

P 2cos e 4

12-=.

因此原方程通解为

)sin cos (e 212x C x C y x +=x x x

2cos e 4

12-

.

四、高阶微分方程的降阶法

【例6】 求微分方程 123='+''y x y x 的通解.

解 方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =

''，代入原方程，得 1d d 23=+P x x

P x ，

31

1d d x

P x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以

=)(x P 1d 1

3d 1

d e 1(e

C x x

x

x x

x +???-

） =1ln 3

ln d e 1(e C x x x x

+?

-）=1

3d 1(1C x x x x +??）=11(1C x x +-）=x C x 121+-， 由此

x y d d =x C

x 121+-，

?+-

=x x C x

y d )1(12

=21ln 1C x C x ++， 因此，原方程的通解为 y =

21ln 1

C x C x

++ （21,C C 为任意常数）. 【例7】 求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21=

=x y

，11-=

'

=x y 的特解.

解 方程不显含x ，令 P y ='，y

P P

y d d =''，则方程可化为 )1(d d 22

-=y y P P P ， 当 0≠P 时

y y P P d 1

2

d -=，于是 21)1(-=y C P . 根据 21=

=x y

，11-=

'

=x y ，知12-='

=y y 代入上式，得 11-=C ，从而得到

x y y d )

1(d 2

-=-，积分得 211

C x y +=-，再由21==x y ，求得 02=C ，于是当0≠P 时，

原方程满足所给初始条件的特解为

x y =-1

1

， 当0=P 时，得C y =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解x y =-1

1

中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11，即 x

y 11+=.

第四节 二阶线性微分方程解的结构

+

二阶齐次线性微分方程解的叠加原理：

如果函数1y 和2y 是齐次线性微分方程的两个解，则函数2211y C y C y +=也是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的解；且当1y 与2y 线性无关时， 2211y C y C y +=就是方程的通解（其中21,C C 是任意常数）. 非齐次线性微分方程解的叠加原理：

如果函数p y 为非齐次线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的一个特解，c y 为齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的通解，则p c y y y +=为该非齐次线性微分方程的通解.

非齐次线性微分方程解的分离定理：

如果1y 是方程)(1x f qy y p y =+'+''的解，2y 是方程)(2x f qy y p y =+'+''的解，则

21y y y +=是方程

)()(21x f x f qy y p y +=+'+''

的解.

第五节 用微分方程解决实际问题的方法

用微分方程解决实际问题，包括建立微分方程，确定初始条件和求解方程这几个主要步

骤.由于问题的广泛性，一般建立微分方程要涉及到许多方面的知识，如几何、物理等.

【例1】 已知某曲线经过点)1,1(，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.

解 设所求曲线方程为 )(x f y =，),(y x P 为其上任一点，则过P 点的曲线的切线方程为 )(x X y y Y -'=-，

由假设，当0=X 时 x Y =，从而上式成为

11

d d -=-y x

x y .因此求曲线)(x y y =的问题，转化为求解微分方程的定解问题 ?????

=-=-'=1

1

11x y y x

y ，的特解. 由公式 C x x Q y x

x P x x P +??

=?

-d e )((e d )(d )(，得 )d e

)1((e

d 1

d 1

C x y x

x x

x +?-?=-

?=Cx x x +-ln ，

代入11==x y

得

1=C ，故所求曲线方程为 )ln 1(x x y -=.

【例2】 一质量为m 的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的反作用力与下沉速度

成正比，求此质点的运动规律.

解 设质点的运动规律为)(t x x =.由题意，有

???

????==-===,0d d ,0,d d d d 0022t t t x x t x k mg t x m （0>k 为比例系数） 方程变为

g t

x

m k t x =+d d d d 22， 齐次方程的特征方程为 02=+

r m k r ， 0)(=+m

k

r r ，01=r ，m k r -=2.

故原方程所对应的齐次方程的通解为 t m

k

c C C x -+=e

21，

因0=λ是特征单根，故可设 at x p =，代入原方程，即得 k

mg

a =， 故t k

mg

x p =

，所以原方程的通解 t m

k C C x -+=e

21t k

mg

+

, 由初始条件得 2

21k g m C -

=，2

22k g m C =

，

因此质点的运动规律为 )e 1()(22t m k

k

g

m t k mg t x ---=.

本章同步练习

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课本315页第七题（3）（4） 课本323页第一题（2）（5）

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