九年级数学第一次模拟考试试题
中考数学第一次模拟试卷 时量:120分钟 满分:120分 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.6-的值是( )
A .﹣6
B .6
C .61
D .6
1- 2.如图,在数轴上点M 表示的数可能是( )
A .1.5
B .﹣1.5
C .﹣2.4
D .2.4
3.下列二次根式中,能与3合并的是( )
A .2
3 B .12 C .2
4 D .8 4.如果一组数据1、2、x 、5、6的众数是6,则这组数据的中位数是( )
A .1
B .2 C.5
D .6
5.二次函数7)2(2+-=x y 的顶点坐标是( )
A .(﹣2,7)
B .(2,7)
C .(﹣2,﹣7)
D .(2,﹣7) 6.下列说法正确的是( )
A .面积相等的两个三角形一定全等
B .平分弦的直径垂直于弦
C .矩形的对角线互相平分且相等
D .对角线互相垂直的四边形是菱形
7.若一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则这个等腰三角形的周长是为( )
A .8
B .10
C .8或10
D .6或12 8.正多边形的一个内角为135°,则该多边形的边数为( )
A .5
B .6
C .7
D .8
9.如图,一座石拱桥是圆弧形其跨度AB=24米,半径为13米,则拱高CD 为( )
A .53米
B .5米
C .7米
D .8米 10.如果将一副三角板按如图方式叠放,那么∠1= ( )
A .90°
B .100°
C .105°
D .135°
(第9题图) (第10题图)
11.反比例函数x k y =的图象在第二、四象限,点A ),2(1y -、B ),4(2y 、C ),5(3y 是图象上的三点,则123y y y ,,的大小关系是( )
A .321y y y >>
B .231y y y >>
C .213y y y >>
D .132y y y >>
12.如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 是正方形外一动点,?=∠45AED ,P 为AB 的中点,当E 运动时,线段PE 的最大值为( )
A .24
B .22
C.224+
D.222+
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共36分)
13.从2,0,3-,3.14,6这五个数中随机抽取一个数,抽到的无理数的概率是 . 14.若分式4
242--x x 的值为零,则x 等于__________。 15.如图,直线b a ∥,?=∠75P ,?=∠302,则=∠1 .
16.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,E 是BC 延长线上一点,若?=∠100BAD ,则DCE ∠的大小是 .
17.若圆锥的底面积为216cm π,母线长为cm 12,则它的侧面展开图的圆心角为
18.若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是________
(第16题图) (第17题图)
三、解答题(本大题共8小题,共66分) 19.(6分)计算: 3-160sin 2)2018(202+?--+-π
20.(6分)已知3=-y x ,求代数式)2(2)1(2x y y x x -+-+的值.
21.21.(8分)长沙市文化底蕴深厚,旅游资源丰富,天心阁、岳麓山、橘子洲三个景区是人们节假日游玩的热点景区,李老师对中考1班学生五一长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查,调查分四个类别:A 、游三个景区;B 、游两个景区;C 、游一个景区;D 、不到这三个景区游玩.现根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图,请结合图中信息解答下列问题:
(1)九(1)班共有学生 人,请将条形统计图补充完整;
(2)在扇形统计图中,表示“B 类别”的扇形的圆心角的度数
为 ;
(3)若小明、小华两名同学,各自从三个景区中随机选一个
作为5月1日游玩的景区,请用列表或者画树状图的形式求出
他们同时选中岳麓山的概率.
22.(8分))如图,某公安海上缉私局发现在我国领海的P 处有一条走私船正以22
海里/时的速度沿南偏东64o的方向向公海逃窜,于是缉私局命令位于点P 北偏东30o
方向A 处的我公安缉私快艇前往拦截,已知P 、A 相距20海里,公安缉私快艇向正南
方向行进计划在B 处拦截走私船。
(1)求A 、B 两处的距离;(结果保留整数)
(2)若公安缉私快艇要在B 处成功拦截走私船,则缉私快艇的速度至少为多少海里/时?
【参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2,2 1.4≈,3 1.7≈,5 2.2≈】
23.(9分)“低碳生活,绿色出行”,共享单车已经成了很多人出行的主要选择,今年1月份,“摩拜”共享单车又向长沙河西新投放共享单车640辆.
(1)若1月份到3月份新投放单车数量的月平均增长率相同,3月份新投放共享单车1000辆.求月平均增长率。
(2)考虑到共享单车市场竞争激烈,摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A ,B 两种规格的自行车100辆,且A 型车不超过60辆。已知A 型的进价为500元/辆,B 型车进价为700元/辆,设购进A 型车m 辆,求出m 的取值范围。
(3)已知A 型车每月产生的利润是100元/辆,B 型车每月产生的利润是90元/辆,在(2)的条件下,求公司每月的最大利润。 24.(9分)如图,已知AO 为Rt △ABC 的角平分线,∠ACB=90°,
,以O 为圆心,OC 为半径的圆分别交AO ,BC 于点D ,E ,连接ED 并延长交AC 于点F .
(1)求证:AB 是⊙O 的切线;
(2)求CAO ∠tan 的值。
(3)若⊙O 的半径为4,求AD
CF 的值. 25.(10分)定义:如图1,点N M 、把线段AB 分割成BN MN AM 、、,若以BN MN AM 、、为边的三角形是一个直角三角形,则称N M 、是线段AB 的勾股点。
(1)已知点N M 、是线段AB 的勾股点,若2,1==MN AM ,求BN 的长。
(2)如图2,点),(b a P 是反比例函数)0(2>x x
y =上的动点,直线2+-=x y 与坐标轴分别交与B A 、两点,过点P 分别向y x 、轴作垂线,垂足为D C 、,且交线段AB 于F E 、。试证明:F E 、是线段AB 的勾股点。
(3)如图3,已知一次函数3+-=x y 与坐标轴交与B A 、两点,与二次函数m x x y +-=42交与D C 、两点,若D C 、是线段AB 的勾股点,求m 的值。
(图1) (图2) (图3)
26.(10分).如图,在平面直角坐标系xoy 中,
将抛物线2
x y =的对称轴绕着点P (0,2)顺时
针旋转45°后与该抛物线交于B A 、两点,点Q
是该抛物线上的一点.
(1)求B A 、两点的坐标。
(2)如图①,若点Q 在直线AB 的下方,求点Q 到直线AB 的距离的最大值;
(3)如图②,若点Q 在y 轴左侧,且点)2)(,0(<t t T 是直线PO 上一点,当以Q B P 、、为顶点的三角形与PAT 相似时,求所有满足条件的t 的值.
2018中考数学第一次模拟试卷答案及评分标准 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B C B C B D D C B D
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共36分)
13、 5
2 ;14、 2-=x ;15、 45° ;16、 100° ;17、 120° ;18、 01≠k k 且< ;
三解答题
19(6分):解:原式=﹣4+1﹣2×
+﹣1 ……………… 4’
=﹣3﹣+﹣1 =﹣4 ……………… 6’
20:(6分)解:原式变为 (x+1)2
﹣2x+y (y ﹣2x )
=x 2+2x+1﹣2x+y 2﹣2xy
=x 2+y 2﹣2xy+1
=(x ﹣y )2+1 ……………… 3’
将x ﹣y=代入,上式=(
)2+1 =3+1
=4. …………… 6’
21(8分):(1)50人 ………… 1’
………… 2’
(2) 72° …………… 4’
(3) 分别设天心阁、岳麓山、橘子洲为A 、B 、C ,列出树状图
A B C
A B C A B C A B C ………… 7’
∴ P= 91 ………… 8’ 22(8分):解:(1)过P 点作PC ⊥AB 于点C
Rt △APC 中,∵ ∠A=30°,PA=20
∴ AC=310,PC=10 ……………2’
Rt △PBC 中,∵∠B=64°
∴ tan64°=BC
PC =2 PC=5 …………3’ ∴ AB=310+5 ≈22 海里 ………… 4’
(2)Rt △PBC 中,∵BC=5,PC=10
∴PB=55 ………5’
设走私船到B 点时间为t ,则t=22
55 …………6’ 设公安缉私船速度为V ,则由题意
225522≤V 解得 V ≥44 答:缉私船的速度至少为44海里/小时才能在B 拦截走私船。 ……8’ 23(9分):解:(1)设增长率为x ,由题意
1000)1(6402=+x ………… 1’
解得)(4
9,4121舍-==x x …………2’ 答:月平均增长率为25% …………3’
(2) 由题意:500m+700(100-m)≤60000 ………… 4’
解得 m ≥50 …………5’
又 m ≤60 ∴ 50≤m ≤60 …………6’
(3)由题意,设利润为W ,有
W= 100m+90(100-m )
= 10m+9000 …………7’
∵10>0 ∴ W 随m 的增大而增大
C
m=60时, 9600max =W …………8’ 答:A 型车60辆、B 型车40辆时,最大利润为9600元。 …… 9’
24(9分)(1)证明:作OG ⊥AB 于点G .
∵∠ACB=∠OGA=90°,∠GAO=∠CAO ,AO=AO ,
∴△OGA ≌△OCA , ………… 1’
∴OC=OG , …………2’
∵OC 为⊙O 的半径,
∴AB 是⊙O 的切线; …………3’
(2)解:设AC=4x ,BC=3x ,则AB=5x ,
由切线长定理知,AC=AG=4x ,故BG=x . ……………4’
∵tan ∠B=OG :BG=AC :BC=4:3,
∴OG=, ………… 5’
∴tan ∠CAO=tan ∠GAO===; …………6’
(3)解:由(2)可知 在Rt △OCA 中,AO=10422=+AC OC
∴AD=OA ﹣OD=4104- …………7’
连接CD ,则∠DCF+∠ECD=∠ECD+∠CEF ,
∴∠DCF=∠CEF ,
又∠CEF=∠EDO=∠FDA ,
∴∠DCF=∠ADF ,又∠FAD=∠DAC ,
∴△DFA ∽△CDA , …………8’
∴DA :AC=AF :AD ,
即4104-:12=AF :4104-
∴AF=310
844-,CF=12-310844-=38
108-
∴32=AD CF ………… 9’ 25(10分)解:(1)由题意,BN 为斜边时,BN=541=
+ BN 为直角边时,BN=314=-
∴ BN 的长为5或者3 ………… 3’
(2)易知A (2,0),B (0,2) …………4’
且P (a,b )由题意知E (a,-a+2),且△BDF 、△PEF 、 △ACE 均为等腰直角三角形。……5’ ∴ BF=BD 2=)2(2b -,AE=)2(22a AC -=,EF=)2(22-+=a b PE
可求出222BF AE EF +=,∴E 、F 是线段AB 的勾股点。 ………… 6’
(3)由题意,∵C 、D 为A 、B 的勾股点,所以C 、D 必在A 、B 之间。
过C 作CE ⊥x 轴于E ,DF ⊥x 轴于F 。
由题意,设C ),(11y x ,D ),(22y x 联立{342+-=+-=x y m
x x y 得0332=-+-m x x ∴321=+x x 321-=?m x x ………… 7’
且0)3(49>--=?m 4
21<m ∴OE+OF=3
又∵OF+BF=3 ∴OE=BF
∵以AC 、CD 、BD 为斜边的三个三角形都为等腰直角三角形。
∴ AC=BD
则由题意必有222BD AC CD += 且AC CD 2=
…………8’ 设AC=BD=a,则CD=a 2,又AB=a a a 223++=
∴3232
223-=+=a x y
D C B A O
E F
∴EF=323- ………… 9’ ∴32312-=-x x
解得2
329-=m ………… 10’ 26(10分)解:(1)如图①,设直线AB 与x 轴的交点为M .
∵∠OPA=45°,∴OM=OP=2,即M (﹣2,0).
设直线AB 的解析式为y=kx+b (k ≠0),将M (﹣2,0),P (0,2)两点坐标代入,得
,
解得. 故直线AB 的解析式为y=x+2; …………1’
联立 {22
+==x y x y 解得 1,221-==x x …………2’ ∴ A (-1,1) B (2,4) …………3’
(2)如图①,过点Q 作x 轴的垂线QC ,交AB 于点C ,再过点Q 作直线AB 的垂线,垂足为D ,根据条件可知△QDC 为等腰直角三角形,则QD=
QC . …………4’ 设Q (m ,m 2),则C (m ,m+2).
∴QC=m+2﹣m 2=﹣(m ﹣)2+,
QD=QC=[﹣(m ﹣)2+]. …………5’
故当m=时,点Q 到直线AB 的距离最大,最大值为
; …………6’ (3)∵∠APT=45°,
∴△PBQ 中必有一个内角为45°,由图知,∠BPQ=45°不合题意.
①如图②,若∠PBQ=45°,过点B 作x 轴的平行线,与抛物线和y 轴分别交于点Q′、F .此时满足∠PBQ′=45°.
∵Q′(﹣2,4),F (0,4),
∴此时△BPQ′是等腰直角三角形,由题意知△PAT 也是等腰直角三角形. …… 7’ (i )当∠PTA=90°时,得到:PT=AT=1,此时t=1;
(ii )当∠PAT=90°时,得到:PT=2,此时t=0. ……8’
②如图③,若∠PQB=45°,①中是情况之一,答案同上;
先以点F为圆心,FB为半径作圆,则P、B、Q′都在圆F上,设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″.
则∠PQ″B=∠PQ′B=45°(同弧所对的圆周角相等),即这里的交点Q″也是符合要求.设Q″(n,n2)(﹣2<n<0),由FQ″=2,得 n2+(4﹣n20=22,即n4﹣7n2+12=0.
解得n2=3或n2=4,而﹣2<n<0,故n=﹣,即Q″(﹣,3).
可证△PFQ″为等边三角形,所以∠PFQ″=60°,又PQ″=PQ″,
所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°.则在△PQ″B中,∠PQ″B=45°,∠PBQ″=30°.
(i)若△Q″PB∽△PAT,则过点A作y轴的垂线,垂足为E.则ET=AE=,OE=1,所以OT=﹣1,解得t=1﹣;………… 9’
(ii)若△Q″BP∽△PAT,则过点T作直线AB垂线,垂足为G.
设TG=a,则PG=TG=a,AG=TG=a,AP=,
∴a+a=,
解得PT=a=﹣1,
∴OT=OP﹣PT=3﹣,
∴t=3﹣.………… 10’
综上所述,所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣.