上海八年级上数学知识点汇总
《数学》（八年级上册）知识点总结
第十六章二次根式
、二次根式计算
1、 含有二次根号“、厂”；被开方数a 必须是非负数。
2、 性质：
（1） （ a ）2 a （a 0）
0（a 0）
（2） 好 |a 彳 0（a 0）
匕 a （a 0）
（3） - ab - a ? , b （a 0,b 0） （、a?.b . ab （a 0,b 0））
（—b
,b
（a 0
，
b 0）
（
,'b
川 °，
b 0）
）
3、 化简二次根式：把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。例： 、、18 、2 32 3 2。（字母 因式由
根号内移到根号外时，必须考虑字母因式隐含的符号）
4、 最简二次根式：化简后的二次根式需同时符合以下两个条件：⑴被开方数中各因式的指数都为 1；⑵被 开
方数不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。
将一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：
⑴如果被开方数是分式或分数（包括小数） ，先利用商的自述平方根的性质把它写成分式的形式， 然后再分
母有理化；
⑵如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把能开方的因式或因数开出来，从而 将式子化简。 化二次根式为最简二次根式的步骤： ⑴把被开方数分解质因数，化为积的形式； ⑵把根号内能开方的的因数移到根号外；
⑶化去根号内的分母，若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数。
5、 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二 次根式。例：?? 18、2 .一 2、1、2。（判断是不是同类二次根式：首先，要看它们是不是最简二次根式；其次，
2
看这些最简二次根式的被开方数是否相同）
6、 二次根式的加法、减法：⑴化简，化成最简二次根式；⑵合并同类二次根（即将被开方数相同的二次根
式的系数进行合并）
7、二次根式的乘法、除法：⑴先完成根号内乘除，再化简二次根式；⑵小数化分数，带分数化假分数；⑶ 字母需考虑取值范围（不要忽视隐含条件）。
8、分母有理化：把分子和分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号，这种计算叫做分母有理化。
第十七章一元二次方程
一、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数是二次的整式方程。
二、一般式：aX 2 bX c 0（a 0）
三、一元二次方程的解法：
1、开平方法：一般来说，形如X 2 d 、aX2 c 0（a 0）的一元二次方程可以用开平方法。（三种情况：有
两个不相等的实数根，等于0, 没有实数根）
2、因式分解法：提取公因式、公式法（平方差、完全平方公式）、十字相乘法、分组分解法。
3、配方法：⑴移常数项；⑵化二次项系数为 1 ;⑶配方，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；⑷用开平方法求解；⑸结论。
4、公式法：⑴先把方程化为一般形式；⑵写出方程各项的系数a、b、c的值（要注意它们的符号）；⑶计算
2 2 2
b 4a
c ；⑷当b 4ac 0时，将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个根；⑸当b 4ac <0时，方程没有实数根，就不必解了。
（开平方法、因式分解法一般适用于特殊形式的方程，而配方法、公式法是使用最普遍的方法，适用任意方程，其中：公式法计算较繁琐。）
四、一元二次议程根的判别式
1、定义：b2 4ac叫做一元二次方程aX2 bX c 0（a 0）的根的判别式，通常用符号“△”来表示，即
△=b24ac 。
2、一元
二
次方程
2
aX bX c 0（a 0）的根的情况与△的关
系
⑴亠b24ac 0方程有两个不相等的实数根。
⑵厶= b24ac0 方程有两个相等的实数根。
⑶厶= b24ac 0方程没有实数根。
3、由方程的情况求字母系数的值或取值范围
⑴如果说方程有实数根，那么b2 4ac 0 ；
⑵注意：因为是一元二次方程，不要遗漏隐含条件 a 0。
五、一元二次议程的应用
1、二次三项式的概念：形如（a、b、c都不为0）的多项式称为二次三项式。
2、二次三项式的因式分解：
⑴首先考虑能否提取公因式；⑵能否运用十字相乘法；⑶最后考虑用公式法。
3、列一元二次方程解应用题的一般步骤：
⑴审题⑵设元⑶列方程⑷解方程⑸检验⑹写答案
4、根据题意列方程时，必须同时满足以下四个条件：
⑴方程两边意义相同；⑵方程两边单位一致；⑶方程两边数值相等；⑷方程全面地反映了题中所有数量之间的
关系。
5、列一元二次方程解题的类型：
⑴几何类问题（利用几何定理、面积公式等作解题依据，列出一元两次方程，解题）；
⑵增长（降低）率问题：如设基数为a，平均增长率为x,则第一次增长后为a（1+x）,第二次增长后为a（1+x）2；
⑶利润（销售）问题：常用等量关系有：利润=售价-进价（成本）、总利润=每件的利润x总件数、利润率
利润一
= 100 00、售价=标价x打折数等；
进价（或成本）
注意：解应用题时一定不要忘记检验所求的根是否符合实际问题的要求。
第十八章正比例函数和反比例函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们
称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不
为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
（1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3 ）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是
使被开方数为非负数的一切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
三、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）
法。
（2）列表法
把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、函数图像
函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
用描点法画函数的图象的一般步骤：
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时
需对称。
2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
五、正比例函数和一次函数
1 、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x，y 间的关系可以表示成y kx b （k，b 为常数，k 0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。
特别地，当一次函数y kx b 中的b=0 时（即y kx ）（k 为常数，k 0），称y 是x 的正比例函数，是一次函数的特例。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数y kx b的图像是经过点（0, b）的直线；正比例函数y kx的图像是经过原点（0, 0）的直
线。
一般地，正比例函数y kx有下列性质：
(1)当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大;
(2)当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数y kx b有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y kx（k 0）中的常数k。确定一个一次函数，需
要确定一次函数定义式y kx b（k 0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。
（1）一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0。
（2）求ax+b=0（a, b是常数，0）的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与x轴交点的横坐标。
（3）—次函数与一元一次不等式：
解不等式ax+b >0（a , b是常数，a*0）。从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0。
（4）解不等式ax+b > 0（a , b是常数，a*0）。从“形”的角度看，求直线y= ax+b在x轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围。
7、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0 （k、b为常数，k* 0）的形式. 而一次函数解析式形式正
是y=kx+b （k、b为常数，k* 0）.当函数值为0时，？即kx+b=0就与一元一次方程完全相同.
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0 （k、b为常数，k* 0）的形式.所以解一元一次方程可以
转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.
7、反比例函数
定义：一般地，形如y k（k为常数，k o）的函数称为反比例函数。y -还可以写成y kx 1
x x
反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k），分母中含有
自变量x，且指数为1.
⑵比例系数k 0
⑶自变量x的取值为一切非零实数。
⑷函数y的取值是一切非零实数。
反比例函数的图像
⑴图像的画法：描点法
①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
②描点（有小到大的顺序）
③连线（从左到右光滑的曲线）
⑵反比例函数的图像是双曲线，y k（k为常数，k 0 ）中自变量x 0，函数值y 0,所以
x
双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是y x或y x ）。
k k
⑷反比例函数y k（k 0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线y （k 0）上任意引
x x x轴y轴的垂线，所得矩形面积为|k
反比例函数性质如下表：
反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）
“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函数k
y -中的两个变量必成反比例关系。
x
第十九章几何证明
一、几何证明中常用的证明方法：
1 、证明两直线平行一一利用平行线的性质和判定，利用平行线的判断定理及其推论来证明，这是证明两直线平行最基本的方法，关键是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系。
2、证明两线段相等一一利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定（1）如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等，有时可能缺少直接条件，要证明两次全等；
（2）有时两线段分别在两个三角形中，但这两个三角形不全等，那么可添辅助线构造全等三角形来证。常添的辅助线有：平行线、垂线、中线、连结线段等。
（3）如果两线段是一个三角形的两边，可证它们所对的角相等、等角对等边；
（4）证明两条线段都等于第三条线段，即以第三条线段为媒介。
3、证明两角相等一一利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定。
4、证明两直线互相垂直一一利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质。
*5 、证一线段等于另一线段的2倍或一半一一利用加倍法或拆分法常常要作辅助线。
添辅助线：由于证明的需要，可以在原来的图上添画一些线，即添加辅助线来完成一些几何证明，辅助线通常画成虚线。三角形证明题中常见在辅助线做法：利用三角形的主要线段构造全等三角形。
、勾股定理
1、勾股定理的定义
直角三角形两直角边a, b的平方和等于斜边c的平方，即a2 b2 c2