二次函数同步练习最完整编辑
同步作业
一、二次函数的定义
1、下列函数中,是二次函数的是 . ①142
+-=x x y ; ②2
2x y =;
③x x y 422
+=; ④x y 3-=; ⑤12--=x y ;
⑥p nx mx y ++=2
;
⑦x
y 4
=
; ⑧x y 5-=。
2、在一定条件下,若物体运动的路程s (米)与时间t (秒)的关系式为t t s 252
+=,则t =4秒时,该物体所经过的路程为 。
3、若函数54)82(2
2++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数,则m 的取值范围为 。 4、已知函数1)3(7
2
++=-m x m y 是二次函数,则m = 。
5、若函数15)2(2
2
++-=-x x m y m
是关于x 的二次函数,则m 的值为 。 6、已知函数35)1(1
2
-+-=+x x m y m
是二次函数,求m 的值。
二、二次函数)0(2≠=a ax y 的图象与性质
A
1. 二次函数2
21x y =
的顶点坐标是 ,对称轴是直线 。 2. 二次函数2
4
1x y =的图象开口 ,当x > 0时,y 随x 的增大而 ;当x < 0时,y 随
x 的增大而 ;当x = 0时,函数y 有最 值是 。
3. 二次函数2
3x y -=的图象开口 ,当x > 0时,y 随x 的增大而 ;当x < 0时,y 随x 的增大而 ;当x = 0时,函数y 有最 值是 。
4. 已知点A (2,1y ),B (4,2y )在二次函数2
3x y -=的图象上,则1y 2y . 5. 已知点A (-2,1y ),B (4,2y )在二次函数)0(2>=a ax y 的图象上,则1y 2y . 6. 在函数222)1(,32
1
,,4,-=+=-===x y x y x y x y x y 中,其图象的对称轴是y 轴的有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
7. 抛物线2
2
1x y -
=不具有的性质是( ) A .开口向下; B .对称轴是y 轴; C .当x > 0时,y 随x 的增大而减小; D .函数有最小值
8. 抛物线2
228,5,4
1x y x y x y =-==共有的性质是( )
A .开口方向相同
B .开口大小相同
C .当x > 0时,y 随x 的增大而增大
D .对称轴相同
9. 已知抛物线2
ax y =经过点A (1,-4),求(1)x =4时的函数值;(2)y =-8时的x 的值。 B
10. 已知抛物线m
m x
m y --=2)1(的开口向下,则m 的值为 。
11. 已知抛物线2
4x y =与直线1-=kx y 有唯一交点,求k 的值。
12.已知P (x ,y )是抛物线2
x y -=第三象限内的一点,点A 的坐标为(4,0),求OPA 的面积S 与x 的函数关系式。
2
ax y=
a>0 向上y轴(x
=0)
(0,0)当x<0时,
当x>0时,
x=0时,
y最小=0
a<0 向下y轴(x
=0)
(0,0)当x<0时,
当x>0时,
x=0时,
y最大=0 k
ax
y+ =2
a>0 向上y轴(x
=0)
(0,k) 当x<0时,
当x>0时,
x=0时,
y最小=k
a<0 向下y轴(x
=0)
(0,k) 当x<0时,
当x>0时,
x=0时,
y最大=k 2
)
(h
x
a
y-
=
a>0 向上x=h (h,0) 当x<h时,
当x>h时,x=h时,y最小=0
a<0 向下x=h (h,0) 当x<h时,
当x>h时,x=h时,y最大=0
k
h
x
a
y+
-
=2)
(a>0
向上x=h (h,k) 当x<h时,
当x>h时,x=h时,y最小=k
a<0
向下x=h (h,k) 当x<h时,
当x>h时,x=h时,y最大=k
c
bx
ax
y+
+
=2
a>0 向上
a
b
x
2
-
=
)
4
4
,
2
(
2
a
b
ac
a
b-
-
当x<
a
b
2
-
时,
当x>
a
b
2
-
时,
当
a
b
x
2
-
=时,
a
b
ac
y
4
42
-
=
最小
a<0 向下
a
b
x
2
-
=)
4
4
,
2
(
2
a
b
ac
a
b-
-当x<
a
b
2
-
时,
当x>
a
b
2
-
时,
当
a
b
x
2
-
=时,
a
b
ac
y
4
42
-
=
最大
二次函数的性质
函数c ax y +=2
的图象与性质
1.抛物线322
--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 2.将抛物线2
3
1x y =
向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。
3.二次函数c ax y +=2
()0≠a 中,若当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2)时,函数值相等,则当x 取x 1+x 2时,函数值等于 。
同步作业(5)
函数()2
h x a y -=的图象与性质
1.填表:
抛物线 开口方向 对称轴
顶点坐标 ()2
23--=x y
()232
1
+=
x y
同步作业(6)
1. 已知函数()412
-+=x y 。
(1) 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2) 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ,求△ABC 的面积; (3) 指出该函数的最值和增减性;
(4) 若将该抛物线先向右平移2个单位,在向上平移4个单位,求得到的抛物线的解析式; (5) 该抛物线经过怎样的平移能经过原点。
(6) 画出该函数图象,并根据图象回答:当x 取何值时,函数值大于0;当x 取何值时,函数值小于0。
函数c bx ax y ++=2
的图象和性质
1.抛物线942
++=x x y 的对称轴是 。
2.抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ,顶点坐标是 。
3.试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x =-2,且与y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 。
4.通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标: (1)12212+-=x x y ; (2)2832-+-=x x y ; (3)44
1
2-+-=x x y
5.把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位,在向下平移2个单位,所得图象的解析式是
532+-=x x y ,试求b 、c 的值。
6.把抛物线1422
++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由。
7.某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元,可卖出400台,以每100元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出50台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元?
同步作业(8)
二次函数的对称轴、顶点、最值
(技法:如果解析式为顶点式()k h x a y +-=2
,则最值为k ;如果解析式为一般式c bx ax y ++=2
则最
值为a
b a
c 442
-)
A
1. 抛物线m m x x y -++=2
2
42经过坐标原点,则m 的值为 。 2. 抛物线c bx x y ++=2
的顶点坐标为(1,3),则b = ,c = . 3. 抛物线y =x 2+3x 的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4. 若抛物线y =ax 2-6x 经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A.13
B.10
C.15
D.14
5. 若直线y =ax +b 不经过二、四象限,则抛物线y =ax 2+bx +c( ) A.开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴是y 轴 C.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上,对称轴平行于y 轴
6. 已知抛物线y =x 2+(m -1)x -
1
4
的顶点的横坐标是2,则m 的值是_______. 7. 抛物线
322
-+=x x y 的对称轴是 。 8. 若二次函数332
-+=mx x y 的对称轴是直线x =1,则m = 。
9. 当n =________,m =______时,函数y =(m +n)n
x +(m -n)x 的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.
10. 已知二次函数3222
++-=a ax x y ,当a 时,该函数y 的最小值为0? 11. 已知二次函数m x x y +-=62
的最小值为1,那么m = 。
12. (易错题)已知二次函数1)1(2
-+-+=m x m mx y 有最小值为0,则m = 。
13. 已知二次函数342
-+-=m x x y 的最小值为3,则m = 。
14. 心理学家发现,学生对概念的接受能力y 和提出概念所用的时间x (单位:分)之间大体满足函数关系式:436.21.02
++-=x x y (0≤x ≤30)。y 的值越大,表示接受能力越强。试根据关系式回答: (1) 若提出概念用10分钟,学生的接受能力是多少?
(2) 概念提出多少时间时?学生的接受能力达到最强?
B
15. 某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ,O 恰在水面中心,安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA 的任一平面上,抛物线形状如图(1)所示。图(2)建立直角坐标系,水流喷出的高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系是4
5
22
+
+-=x x y 。请回答下列问题: (1) 柱子OA 的高度是多少米?
(2) 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米? (3) 若不计其他因素,水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池
外?
16. 体育测试时,初三一名高个学生推铅球,已知铅球所经过的路线为抛物线212
12
++-
=x x y 的一部分,
根据关系式回答:
(1) 该同学的出手最大高度是多少?
(2) 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少? (3) 该同学的成绩是多少?
17. 如图,正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上,若AE =x ,正方形EFGH 的面积为y 。 (1) 求出y 与x 之间的函数关系式;
(2) 正方形EFGH 有没有最大面积?若有,试确定E 点位置;若没有,说明理由。
同步作业(9)
二次函数的增减性
18. 二次函数5632
+-=x x y ,当1>x 时,y 随x 的增大而 ;当1 19. 已知函数542+-=mx x y ,当2->x 时,y 随x 的增大而增大;当2- 20. 已知二次函数1)1(2++-=m x y ,当1≥x 时,y 随x 的增大而增大,则m 的取值范围是 . 21. 已知二次函数2 5 3212++- =x x y 的图象上有三点)(),,(),,(332211y x C y x B y x A ,且3213x x x <<<,则321,,y y y 的大小关系为 . 二次函数的平移 技法:只要两个函数的a 相同,就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式()k h x a y +-=2 , 平移规律:k ,正上负下,h ,正右负左. 22. 抛物线2 2 3x y - =向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得到的抛物线的关系式 为 。 23. 抛物线2 2x y =, ,可以得到3)4(22 -+=x y 。 24. 将抛物线12 +=x y 向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得到的抛物线的关系式 为 。 25. 如果将抛物线122 -=x y 的图象向右平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为 。 26. 将抛物线c bx ax y ++=2 向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到1422 --=x x y 则a = ,b = ,c = . 27. 将抛物线y =ax 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为____ _. 函数的交点 28. 抛物线372 ++=x x y 与直线92+=x y 的交点坐标为 。 29. 直线17+=x y 与抛物线532 ++=x x y 的图象有 个交点。 函数的的对称 30. 抛物线x x y 422 -=关于y 轴对称的抛物线的关系式为 。 31. 抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线为3422 +-=x x y , 则a= ,b = ,c = . 同步作业(10) 函数的图象特征与a 、b 、c 的关系 技法:对于c bx ax y ++=2 的图象特征与a 、b 、c 的关系为:①抛物线开口由a 定,上正下负; ②对称轴位置a 、b 定,左同右异,b 为0时是y 轴; ③与y 轴的交点由c 定,上 正下负,c 为0时过原点。 32. 已知抛物线c bx ax y ++=2 的图象如图所示,则a 、b 、c 的符号为( ) A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0=>>c b a C.0,0,0=<>c b a D.0,0,0<<>c b a 33. 已知抛物线c bx ax y ++=2 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A .0>++c b a B .a b 2-> C .0>+-c b a D .0 34. 抛物线c bx ax y ++=2 中,b =4a ,它的图象如图,有以下结论:①0>c ;② 0>++c b a ③0>+-c b a ④042 <-ac b ⑤0 ⑥c a >4;其中正确的为( ) A .①② B .①④ C .①②⑥ D .①③⑤ 35. 当0 在同一坐标系内的图象可能是( ) -1 1 x y O 36. 已知二次函数y =ax 2+ bx +c ,如果a>b>c ,且a +b +c =0,则它的图象可能是图所示的( ) 37. .如图所示,当b<0时,函数y =ax +b 与y =ax 2 +bx +c 在同一坐标系内的图象可能是( ) 38. 已知抛物线y =ax 2+bx +c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有( ) A.a>0,b>0 B.a>0,c>0 C.b>0,c>0 D.a 、b 、c 都小于0 39. .二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么abc ,b 2-4ac ,2a +b ,a +b +c 这四个代数式中,值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 40. 在同一坐标系中,函数)(2 c a x c y c ax y <= +=与图象可能是图所示的( ) 41. 二次函数y =ax 2+bx +c , 图象如图所示,则反比例函数x ab y =的图象的两个分支分别在第 象限。 42. 反比例函数x k y = 的图象在一、三象限,则二次函数122--=x k kx y 的图象大致为图中的( ) 43. 反比例函数x k y = 中,当0>x 时,y 随x 的增大而增大,则二次函数kx kx y 22 +=的图象大致为图1x A y O 1x B y O 1x C y O 1x D y O x A y O x B y O x C y O x D y O A B C D A B C D 中的( ) 44. 已知抛物线y =ax 2+bx +c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①a ,b 同号; ②当x =1和x =3时,函数值相同; ③4a +b =0; ④当y =-2时,x 的值只能取0; 其中正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 45. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 经过一、三、四象限(不经过原点和第二象限)则直线 bc ax y +=不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C 第三象限. D .第四象限 同步作业(11) 函数解析式的求法 技法: 一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式c bx ax y ++=2 ,然后解三元方程组求解; 1. 已知二次函数的图象经过A (0,3)、B (1,3)、C (-1,1)三点,求该二次函数的解析式。 2. 已知抛物线过A (1,0)和B (4,0)两点,交y 轴于C 点且BC =5,求该二次函数的解析式。 二、已知抛物线的顶点坐标时和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式()k h x a y +-=2 求解。 3. 已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,-8),求该二次函数的解析式。 4. 已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-3),且经过点P (2,0)点,该二次函数的解析式 为 。 三、(选学)已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式))((21x x x x a y --=。 5. 的图象经过A (-1,0),B (3,0),函数有最小值-8,求该二次函数的解析式。 B 6. 已知x =1时,函数有最大值5,且图形经过点(0,-3),则该二次函数的解析式 。 7. 抛物线c bx x y ++=2 2与x 轴交于(2,0)、(-3,0),则该二次函数的解析式 。 8. 若抛物线c bx ax y ++=2 的顶点坐标为(1,3),且与2 2x y =的开口大小相同,方向相反,则该二 次函数的解析式 。 9. 抛物线c bx x y ++=22与x 轴交于(-1,0)、(3,0),则b = ,c = . 10. 若抛物线与x 轴交于(2,0)、(3,0),与y 轴交于(0,-4),则该二次函数的解析式 。 C 11. 已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴交于(2,0)、(4,0),顶点到x 轴的距离为3,求函数的 解析式。 同步作业(12) 1. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚,尺寸如图: (1) 根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式; (2) 若菜农身高为1.60米,则在他不弯腰的情况下,在棚内的横向活动范围有几米?(精 确到0.01米) 2. 在一场足球赛中,一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离为6米时,球 到达最高点,此时球高3米,已知球门高为2.44米,问能否射中球门? 3. 已知二次函数的图象与x 轴交于A (-2,0)、B (3,0)两点,且函数有最大值是2。 (1) 求二次函数的图象的解析式; (2) 设次二次函数的顶点为P ,求△ABP 的面积。 4. 如图: (1) 求该抛物线的解析式; (2) 根据图象回答:当x 为何范围时,该函数值大于0。 5. 已知抛物线经过A (-3,0)、B (0,3)、C (2,0)三点。 (1) 求这条抛物线的解析式; (2) 如果点D (1,m )在这条抛物线上,求m 值和点D 关于这条抛物线对称轴的对称点E 的坐标,并求 出tan ∠ADE 的值。 6、如图,某建筑物从10m 高的窗口A 用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线状,如果抛物线的最高点M 离墙1m ,离地面 3 40 m ,求水流落点B 离墙的距离OB 的长。 7、已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜,从四月一日起开始上市的30天内,大蒜每10千克的批发价y (元)是上市时间x (天)的二次函数,有近几年的行情可知如下信息: x (天) 5 15 25 y (元) 15 10 15 (1) 求y 与x 的函数关系式; (2) 大蒜每10千克的批发价为10.8元时,问此时是在上市的多少天? 8、一男生推铅球,成绩为10米,已知该男生的出手高度为 3 5 米,且当铅球运行的水平距离为4米时达到最大高度,试求铅球运行的抛物线的解析式。 9、某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面3米高处各有一个壁灯,两壁灯之间的水平距离为6米,试求厂门的高度。 10、抛物线经过A 、B 、C 三点,顶点为D ,且与x 轴的另一个交点为E 。 (1) 求该抛物线的解析式; (2) 求四边形ABDE 的面积; (3) 求证:△AOB ∽△BDE 。 同步作业(13) 二次函数与x 轴、y 轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系) 技法一:实质就是y 为0,变为一元二次方程。由ac b 42 -的符号确定:当ac b 42 ->0时,抛物线与x 轴有两个交点;当ac b 42 -=0时,抛物线与x 轴有一个交点;当ac b 42 -<0时,抛物线与x 轴没有交 点。 技法二:与y 轴的交点也叫在y 轴上的截距(可以为负);实质就是x 为0时的函数值。对于一般式 c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标为(0,c )。 1. 如果二次函数c x x y ++=42 图象与x 轴没有交点,其中c 为整数,则c = (写一个即可) 2. 二次函数322 --=x x y 图象与x 轴交点之间的距离为 。 3. 抛物线y =-3x 2+2x -1的图象与x 轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 4. 如图所示,二次函数y =x 2-4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点, 交y 轴于点C , 则△ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1 5. 已知抛物线y =5x 2+(m -1)x +m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧,它们的距离平方等于 49 25 ,则m 的值为( ) A.-2 B.12 C.24 D.48 6. 已知抛物线的对称轴是x =-1,它与x 轴交点间的距离等于4,它在y 轴上的截距是-6,则它的关系 式是____ 7. 二次函数y =ax 2+bx +c 的值永远为负值的条件是( ) A.a>0,b 2-4ac<0 B.a<0,b 2-4ac>0 C.a>0,b 2-4ac>0 D.a<0,b 2-4ac<0 8. 若二次函数242 -++-=m x x y 的图象全在x 轴的下方,则m 的取值范围为 。 9. 若二次函数y =(m +5)x 2+2(m +1)x +m 的图象全部在x 轴的上方,则m 的取值范围是_ _ 10. 已知抛物线822--=x x y ,(1)求证:该抛物线与x 轴一定有两个交点;(2)若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,且它的顶点为P ,求△ABP 的面积。 B 11. 已知二次函数y =x 2-2(m -1)x +m 2-2m -3,其中m 为实数. (1)求证:不论m 取何实数,这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点; (2)设这个二次函数的图象与x 轴交于点A(x 1,0),B(x 2,0),且x 1、x 2的倒数和为2 3 ,求这个二次函数的关系式. 同步作业(14) 二次函数应用 (一)经济策略性 A 1. 某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售 价格。经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件。假定每月销售件数y(件)是价格X 的一次函数. (1)试求Y 与X 的之间的关系式. (2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本) 2. 有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天 也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元。 (1)设X 天后每千克活蟹的市场价为P 元,写出P 关于X 的函数关系式。 (2)如果放养X 天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q 元,写出Q 关于X 的函数关系式。 (2)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=销售总额—收购成本—费用),最大利润是多少? 3.某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定一个最佳的销售价格,在试销期采用多种价格进性销售, 经试验发现:按每双30元的价格销售时,每天能卖出60双;按每双32元的价格销售时,每天能卖出52双,假定每天售出鞋的数量Y(双)是销售单位X的一次函数。 (1)求Y与X之间的函数关系式; (2)在鞋不积压,且不考虑其它因素的情况下,求出每天的销售利润W(元)与销售单价X之间的函数关系式; (3)在图9所示的坐标系中,画出(2)中求出的函数图象草图,观察图象,指出销售价格定为多少元时,每天获得的销售利润最多?是多少? B 4.某公司生产的A种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售为100万件,为了获得更好的效益, 公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x万元时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如表所示: (1)求y与x的函数的关系式; (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)和x(十万元)的函数关系 式? (3)如果投入的年广告费为10万至30万元,问广告费在范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增 大? 5.某公司推出了一种高效环保洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,下面的二产 供销函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s 与t之间的关系)。 根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系式; (2)求截止到几个月末公司累积利润可达到30万元; (3)求第8个月公司所获利润是多少万元? 6.启明公司生产某种产品,每件产品成本是3元,售价是4元,年销售量是10万件。为了获得更好的 效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x(万元)时,产品的啊销售 量将是原销售量的y 倍,且10 7 1071012++= x x y ,如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费: (1) 试写出年利润S (万元)与广告费x (万元)的函数关系式,并计算广告费是多少元时,公司获得 的年利润最大,最大年利润是多少万元; (2) 把(1)中的最大利润留出3万元作广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项 目每股投资额和预计年收益如下表: 如果每个项目只能投一股,式?写出每种投资方式所选的项目。 (二)压轴题 1. 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 经过A (-1,0)、B (3,0)、C (0,3)三点, (1) 求抛物线的解析式和顶点M 的坐标,并在给定的直角坐标系 中画出这条抛物线。 (2) 若点(x 0,y 0)在抛物线上,且0≤x 0≤4,试写出y 0的取值范 围。 (3) 设平行于y 轴的直线x=t 交线段BM 于点P (点P 能与点M 重合,不能与点B 重合)交x 轴于点Q ,四边形AQPC 的面积为S 。 ① 求S 关于t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围; ② 求S 取得最大值进点P 的坐标; ③ 设四边形OBMC 的面积S /,判断是否存在点P ,使得S =S / , 若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由。 O x y 2. 已知ABC △,904BAC AB AC BD ===∠,,是AC 边上的中线,分别以AC AB ,所在直线为 x 轴,y 轴建立直角坐标系(如图). (1)在BD 所在直线上找出一点P ,使四边形ABCP 为平行四边形,画出这个平行四边形,并简要叙述其 过程; (2)求直线BD 的函数关系式; (3)直线BD 上是否存在点M ,使AMC △为等腰三角形?若存在,求点M 的坐标;若不存在,说明理由. 3. 如图,已知二次函数y=ax 2+bx +c 的象经过A (-1,0)、B (3,0)、N (2,3)三点,且与y 轴交于 点C 。 (1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点M 及点C 的坐标; (2)若直线y =kx +d 经过C 、M 两点,且与x 轴交于点D ,试证明四边形CDAN 是平行四边形; (3)点P 是这个二次函数的对称轴上一动点,请探索:是否存在这样的点P ,使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点,并且与直线CD 相切,如果存在,请求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由。 4. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 为菱形,点C 的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x 轴的 直线l 从y 轴出发,沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M 、N(点M 在点N 的上方). (1)求A 、B 两点的坐标; (2)设△OMN 的面积为S ,直线l 运动时间为t 秒(0≤t≤6),试求S 与t 的函数表达式; (3)在题(2)的条件下,t 为何值时,S 的面积最大?最大面积是多少? 5. 如图,二次函数2 y ax =的图象与一次函数y x b =+的图象相交于()22A -,,B 两点, 从点A 和点B 分别引平行于y 轴的直线与x 轴分别交于C ,D 两点,点()0P t ,,()43Q t +,分别为线段CD 和 BD 上的动点,过点P 且平行于y 轴的直线与抛物线和直线分别交于R ,S . (1)求一次函数和二次函数的解析式,并求出点B 的坐标. (2)指出二次函数中,函数y 随自变量x 增大或减小的情况. (3)当2SR RP =时,求t 的值. (4)当15BRQ S =△时,求t 的值. y x D ()0P t , O C ()22A -, ()43Q t +, B R S 22.1.1 二次函数 A 组 ◆基础练习 1、分别说出下列函数的名称: (1) y= 21x-1, (2)y=-3x 2, (3)y= x 2 (4)y=3x-x 2 (5)y=x 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项: (1)d= 21n 2-2 3n , (2)y=1-x 2 , (3)y=-x(x-3) 3、 二次函数y=ax 2 +c 中,当x=3时,y=26 ;当x=2时,y=11 ;则当x=5时, y= . 4、已知一个直角三角形的两条直角边的和为10cm 。 (1)求这个直角三角形的面积S 与其中一条直角边长x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围; (2)求当x=5cm 时直角三角形的面积。 5、函数y=ax 2 +bx+c (a 、b 、c 是常数),问当a 、b 、c 满足什么条件时, (1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数? ◆能力拓展 6、若() m m x m m y -+=2 2是二次函数,求m 的值。 7、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表: 时间t (秒) 1 2 3 4 … 距离s (米) 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式。 8、 富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料,建造猪舍三间,如 图,它们的平面图是一排大小相等的长方形。 (1) 如果设猪舍的宽AB 为x 米,则猪舍的总面积S (米2 )与x 有怎样的函数关系? (2) 请你帮富根老伯计算一下,如果猪舍的总面积为32米2 ,应该如何安排猪舍的长B C 和宽AB 的长度?旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响?怎样影响? 二次函数求最大利润问题的教学设计 范亚书 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:由简单的二次函数y=x2开始,然后是y=ax2,y =ax2+c,最后是y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。 学生的活动经验基础:在前面对二次函数的研究中,学生研究了二次函数的图象和性质,掌握了研究二次函数常用的方法。 二、教学任务分析 “怎样获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题,但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后,很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时,函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题,从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数,是否能利用二次函数的知识解决实际问题,并对结果进行解释。具体地,本节课的教学目标是: (一)知识与技能 1、能根据实际问题建立二次函数关系式,并探求出何时刻,实际问题可取得理想值,增强学生解决实际问题的能力。 2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力。(二)过程与方法 经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。 (三)情感态度与价值观 1、体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。 2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。 教学重点:能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值 教学难点:能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值 三、教学过程分析 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 1、二次函数 1. 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t 时间t (秒) 1 2 3 4 … 距离s (米) 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式。 2. 若() m m x m m y -+=2 2是二次函数,求m 的值。 3. 用100cm 长的铁丝围成一个扇形,试写出扇形面积S (cm 2)与半径R (cm )的函数关系式。 4. 已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时,y= -1;当x=2时,y=2,求该函数解析式。 5. 等边三角形的边长为4,若边长增加x ,则面积增加y ,求y 关于x 的函数关系式。 6. 富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料,建造猪舍三间,如图,它们的 平面图是一排大小相等的长方形。 (1) 如果设猪舍的宽AB 为x 米,则猪舍的总面积S (米2)与x 有怎样的函数关系? (2) 请你帮富根老伯计算一下,如果猪舍的总面积为32米2,应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度?旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响?怎样影响? 2、函数2ax y =的图象与性质 1. 在同一坐标系内,画出下列函数的图象:(1)221x y = ;(2)2 2 1x y -=。 根据图象填空:(1)抛物线2 2 1x y = 的对称轴是 (或 ) ,顶点坐标是 ,抛物线上的点都在x 轴的 方,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小,当x= 时,该函数有最 值是 ; (2)抛物线2 2 1x y - =的对称轴是 (或 ) ,顶点坐标是 ,抛物线上的点都在x 轴的 方,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小,当x= 时,该函数有最 值是 ; 2. 已知函数()4 2 2-++=m m x m y 是关于x 的二次函数,求: (1) 满足条件的m 的值; (2) m 为何值时,抛物线有最底点?求出这个最底点,这时x 为何值时,y 随x 的增大而增大; (3) m 为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?当x 为何值时,y 随x 的增大而减小? 3. 对于函数2 2x y =下列说法:①当x 取任何实数时,y 的值总是正的;②x 的值增大,y 的值也增 大;③y 随x 的增大而减小;④图象关于y 轴对称。其中正确的是 。 4. 二次函数1 2 -=m mx y 在其图象对称轴的左则,y 随x 的增大而增大,求m 的值。 5. 二次函数2 2 3x y - =,当x 1>x 2>0时,求y 1与y 2的大小关系。 6. 函数2 ax y =与b ax y +-=的图象可能是( ) 课题:人教版第二十六章第一节《实际问题与二次函数》 教学目标: 1、知识与技能: 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数求出实际问题中的最大(小)值,发展学生解决问题的能力。 2、过程与方法: 经历探索商品销售中最大利润问题的过程,进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题,增强学生数学应用能力。 3、情感态度与价值观: 提高学生解决问题的能力,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值。 教学重点与难点: 1、重点: 让学生通过解决问题,掌握如何应用二次函数来解决经济中最大(小)值问题。 2、难点: 如何分析现实问题中数量关系,从中构建出二次函数模型,达到解决实际问题的目的。 教学过程: 一、创设情境: 请同学们考虑下列问题: 已知某商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润,该商品应定价为多少元? 学生根据相应的数量关系列出方程。 设每件涨价x元 (60+x -40)×(300-10x)=6090 (从实际生活入手,创设问题情境,提高学生兴趣,激发求知欲望。) 二、探索新知,进入新课 1、商场的服装,经常出现涨价、降价,这其中有何奥妙呢?商家的利润否是随涨价而增多,降价而减少呢? 2、某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件。如何定价才能使利润最大? 教师展示问题, (1)、本题中的变量是什么? (2)、如何表示赚的钱呢? 学生分组讨论,利用函数模型解决问题 设每件涨价x元,由此商品 ①每件的利润为:(60+x -40)元 ②每星期的销售量为:(300-10x)件 ③所获利润是:(60+x -40)×(300-10x)元 若设所获得利润为y元,则有y=(60-40+x)(300-10x),即 y=-10x2+100x+6000。人教版九年级上册数学 22.1.1 二次函数 同步练习
二次函数求最大利润问题的教学设计
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数课堂同步练习题
二次函数与实际问题-利润问题
二次函数知识点总结及典型题目