《圆》基础练习题
初中数学总复习:《圆》基础练习题
(一)选择题(每题2分,共20分)
1.有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有………………( )
(A )4个 (B )3个 (C )2个 (D )1个
【提示】若三点在一条直线上,则不能作出过这三点的圆,故②不对.【答案】B .
【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念,其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件.
2.下列判断中正确的是………………………………………………………………( )
(A )平分弦的直线垂直于弦(B )平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
(C )弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧(D )平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦,因此平分弦所对的两条弧.【答案】C .
3.如图,在两半径不同的同心圆中,∠AOB =∠A ′OB ′=60°,则………………( )
(A )=(B )> (C )的度数=的度数 (D )的长度=的长度
【提示】因为在圆中,圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,
而∠AOB =∠A ′OB ′,所以的度数=的度数.【答案】C .
4.如图,已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ,
的度数为60°,的度数为100°,则∠AEC 等于………………………………………………………………………( )
(A )60° (B )100° (C )80° (D )130°
【提示】连结BC ,则∠AEC =∠B +∠C =2
1×60°+2
1×100°=80°.
【答案】C .
5.圆内接四边形ABCD 中,∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6,则∠D 的度数是( )
(A )67.5° (B )135° (C )112.5° (D )110°
【提示】因为圆内接四边形的对角之和为180°,则∠A +∠C =∠B +∠D =180°.又因为∠A ︰∠B ︰∠C
=2︰3︰6,所以∠B ︰∠D =3︰5,所以∠D 的度数为85×180°=112.5°.【答案】C . 6.OA 平分∠BOC ,P 是OA 上任一点,C 不与点O 重合,且以P 为圆心的圆与OC 相离,那么圆P 与
OB 的位置关系是………………………………………………( )
(A )相离 (B )相切 (C )相交 (D )不确定
【提示】因为以点P 为圆心的圆与OC 相离,则P 到OC 的距离大于圆的半径.又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等,则点P 到OB 的距离也大于圆的半径,故圆P 与OB 也相离.【答案】A .
7.△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,它的内切圆的半径为r ,则△ABC 的面积为( )
(A )21(a +b +c )r (B )2(a +b +c )(C )3
1(a +b +c )r (D )(a +b +c )r 【提示】连结内心与三个顶点,则△ABC 的面积等于三个三角形的面积之和,所以△ABC 的面积为
21a ·r +21b ·r +21c ·r =2
1(a +b +c )r .【答案】A . 8.如图,已知四边形ABCD 为圆内接四边形,AD 为圆的直径,直线MN 切圆于点B ,DC 的延长线交MN 于G ,且cos ∠ABM =23
,则tan ∠BCG 的值为……( )
(A )33 (B )2
3 (C )1 (D )3
【提示】连结BD ,则∠ABM =∠ADB .因为AD 为直径,所以∠A +∠ADB =90°,所以cos ∠ABM =2
3=cos ∠ADB =sin A ,所以∠A =60°.又因四边形ABCD 内接于⊙O ,所以∠BCG =∠A =60°.则tan ∠BCG =3. 【答案】D .
9.在⊙O 中,弦AB 和CD 相交于点P ,若P A =3,PB =4,CD =9,则以PC 、PD
的长为根的一元二次方程为…………………………………………………………( )
(A )x 2+9 x +12=0 (B )x 2-9 x +12=0(C )x 2+7 x +9=0 (D )x 2-7 x +9=0
【提示】设PC 的长为a ,则PD 的长为(9-a ),由相交弦定理得3×4=a ·(9-a ).所以a 2-9 a +12=0,故PC 、PD 的长是方程x 2-9 x +12=0的两根.【答案】B .
10.已知半径分别为r 和2 r 的两圆相交,则这两圆的圆心距d 的取值范围是………( )
(A )0<d <3 r (B )r <d <3 r (C )r ≤d <3 r (D )r ≤d ≤3 r
【提示】当两圆相交时,圆心距d 与两圆半径的关系为2 r -r <d <2 r +r ,即r <d <3 r .【答案】B .
(三)填空题(每题2分,共20分)
11.某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为_____.
【提示】如图,AB 为弦,CD 为拱高,则CD ⊥AB ,AD =BD ,且O 在CD 的延长线上.连结OD 、OA ,则OD
=22AD OA -=221213-=5(米).所以
CD =13-5=8(米). 【答案】8米.
12.如图,已知AB 为⊙O 的直径,∠E =20°,∠DBC =50°,则∠CBE =______.
【提示】连结AC .设∠DCA =x °,则∠DBA =x °,所以∠CAB
=x °+20°.因为AB 为直径,所以∠BCA =90°,则∠CBA +
∠CAB =90°.
又 ∠DBC =50°,∴ 50+x +(x +20)=90.
∴ x =10.∴ ∠CBE =60°.【答案】60°.
13.圆内接梯形是_____梯形,圆内接平行四边形是_______.
【提示】因平行弦所夹的弧相等,等弧所对的弦相等,所以圆内接梯形是等腰梯形.同理可证圆内接平行四边形是矩形.【答案】等腰,矩形.
14.如图,AB 、AC 是⊙O 的切线,将OB 延长一倍至D ,若∠DAC =60°,则∠D =_____.
【提示】连结OA .∵ AB 、AC 是⊙O 的切线,∴ AO 平分∠BAC ,且
OB ⊥AB .又 OB =BD ,∴ OA =DA .∴ ∠OAB =∠DAB .
∴ 3∠DAB =60°.∴ ∠DAB =20°.∴ ∠D =70°.
15.如图,BA 与⊙O 相切于B ,OA 与⊙O 相交于E ,若AB =
5,EA =1,则⊙O 的半径为______.
【提示】延长AO ,交⊙O 于点F .设⊙O 的半径为r .
由切割线定理,得AB 2=AE ·AF .∴ (
5)2=1·(1+2 r ). ∴ r =2.【答案】2.
16.已知两圆的圆心距为3,半径分别为2和1,则这两圆有______条公切线.
【提示】因为圆心距等于两圆半径之和,所以这两圆外切,故有两条外公切线,一条内公切线.
【答案】3.
17.正八边形有_____条对称轴,它不仅是______对称图形,还是_____对称图形.
【提示】正n 边形有n 条对称轴.正2n 边形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
【答案】8,轴,中心.
18.边长为2 a 的正六边形的面积为______. 【提示】把正六边形的中心与六个顶点连结起来,所得六个等边三角形全等.每个等边三角形的面积为43·(2 a )2=3a 2,所以正六边形的面积为63a 2. 19.扇形的半径为6 cm ,面积为9 cm 2,那么扇形的弧长为______,扇形的圆心角度数为_____.
【提示】已知扇形面积为9 cm 2,半径为6 cm ,则弧长l =
692?=3;设圆心角的度数为n ,则1806π?n =3 cm ,所以n =π
90.【答案】3;π90?. 20.用一张面积为900 cm 2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面,则这个圆柱的底面直径
为_____.
【提示】面积为900 cm 2的正方形的边长为30 cm ,则底面圆的周长30 cm .设直径为d ,则πd =30,故d =π30(cm ).【答案】π
30 cm . (三)判断题(每题2分,共10分)
21.相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段……………………………( )【答案】×.
【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦,反过来公共弦不一定平分连结两圆圆心的线段.
22.各角都相等的圆内接多边形是正多边形…………………………………………( )【答案】×.
【点评】矩形内接于以对角线为直径的圆,但它不是正多边形.
23.正五边形既是轴对称图形,又是中心对称图形…………………………………( )【答案】×.
【点评】正五边形是轴对称图形,但不是中心对称图形.
24.三角形一定有内切圆………………………………………………………………( )【答案】√.
【点评】作三角形的两条角平分线,设交点为I ,过I 作一边的垂线段,则以点I 为圆心,垂线段长为半径的圆即三角形的内切圆.
25.平分弦的直径垂直于弦……………………………………………………………( )【答案】×.
【点评】当被平分的弦为直径时,两直径不一定垂直.
(四)解答题:(共50分)
26.(8分)如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,且AE =1 cm ,EB =5 cm ,
∠DEB =60°,求CD 的长.
【分析】因为AE =1 cm ,EB =5 cm ,所以OE =2
1(1+5)-1=2(cm ).在Rt △OEF 中可求EF 的长,则EC 、ED 都可用DF 表示,再用相交弦定理建立
关于DF 的方程,解方程求DF 的长.
【略解】∵ AE =1 cm ,BE =5 cm ,∴ ⊙O 的半径为3 cm .∴ OE =3-1
=2(cm ).在Rt △OEF 中,∠OEF =60°,∴ EF =cos 60°·OE =2
1·2=1(cm ).∵ OF ⊥CD ,∴ FC =FD .∴ EC =FC -FE =FD -FE ,ED =EF +FD .即 EC =FD -1,ED =FD +1.由相交弦定理,得 AE ·EB =EC ·ED .∴ 1×5=(FD -1)(FD +1).解此方程,得 FD =6(负值舍去).∴ CD =2FD =26(cm ).
27.(8分)如图,AB 为⊙O 的直径,P 为BA 的延长线上一点,PC 切⊙O 于点C ,
CD ⊥AB ,垂足为D ,且P A =4,PC =8,求tan ∠ACD 和sin ∠P 的值.
【提示】连结CB ,易证△PCA ∽△PBC ,所以BC AC =PB PC .由切割线定理可求PB 的长,所以 tan ∠ACD =tan ∠CBA =BC AC =PB
PC .连结OC ,则在Rt △OCP 中可求 sin ∠P 的值.
【略解】连结OC 、BC .∵ PC 为⊙O 的公切线,∴ PC 2=P A ·PB .
∴ 82=4·PB .∴ PB =16.∴ AB =16-4=12.易证△PCA ∽△PBC .∴
BC AC =PB
PC .∵ AB 为⊙O 的直径,∴ ∠ACB =90°.又 CD ⊥AB ,∴ ∠ACD =∠B .∴ tan ∠ACD =tan B =BC AC =PB PC =168=2
1. ∵ PC 为⊙O 的切线,∴ ∠PCO =90°.∴ sin P =PO OC =106=53. 28.(8分)如图,已知ABCD 是圆内接四边形,EB 是⊙O 的直径,且EB ⊥AD ,AD 与BC 的延长线交
于F ,求证FD AB =DC BC .
【提示】连结AC ,证△ABC ∽△FDC .显然∠FDC =∠ABC .因为AD ⊥直径
EB ,由垂径定理得
=,故∠DAB =∠ACB .又因为∠FCD =∠DAB ,所
以
∠FCD =∠ACB ,故△ABC ∽△FDC ,则可得出待证的比例式.
【略证】连结AC .∵ AD ⊥EB ,且EB 为直径,∴ =. ∴ ∠ACB =∠DAB .∵ ABCD 为圆内接四边形,∴ ∠FCD =∠DAB ,∠FDC
=∠ABC .
∴ ∠ACB =∠FCD .∴ △ABC ∽△FDC .∴ FD AB =DC BC .
29.(12分)已知:如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P ,过点P 的直线交⊙O 1于点D ,交⊙O 2于点E ;DA
与⊙O 2相切,切点为C .*(1)求证PC 平分∠APD ;(2)若PE =3,P A =6,求PC 的长.
【提示】(1)过点P 作两圆的公切线PT ,利用弦切角进行角的转换;在(2)题中,可通过证△PCA ∽△PEC ,得到比例式PE PC =PC
PA ,则可求PC . *(1)【略证】过点P 作两圆的公切线PT ,连结CE .∵ ∠TPC =∠4,∠3=∠D .
∴ ∠4=∠D +∠5,∴ ∠2+∠3=∠D +∠5.∴ ∠2=∠5.
∵ DA 与⊙O 相切于点C ,∴ ∠5=∠1.∴ ∠1=∠2.即
PC 平分∠APD .
(2)【解】∵ DA 与⊙O 2相切于点C ,∴ ∠PCA =∠4.
由(1),可知∠2=∠1.∴ △PCA ∽△PEC .
∴ PE PC =PC
PA .即 PC 2=P A ·PE .∵ PE =3,P A =6,∴ PC 2=18.∴ PC =32.
5.(14分)如图,⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆,点D 是劣弧的中点,连
结AD 并延长,与过C 点的切线交于P ,OD 与BC 相交于点E .(1)求证OE =21AC ; *(2)求证:AP DP =22AC BD ;(3)当AC =6,AB =10时,求切线PC 的长. 【提示】(1)因为AO =BO ,可证OE 为△ABC 的中位线,可通过证OE ∥AC 得到OE 为中位线;(2)
连结CD ,则CD =BD ,可转化为证明AP DP =2
2
AC CD .先证△PCD ∽△P AC ,得比例式AC CD =PC PD ,两边平方得22
AC CD =22PC PD ,再结合切割线定理可证得2
2AC CD =PA PD PD ?2=PA
PD ;(3)利用(2)可求DP 、AP ,再利用勾股定理、切割线定理可求出PC 的长.
(1)【略证】∵ AB 为直径,∴ ∠ACB =90°,
即 AC ⊥BC .∵ D 为的中点,由垂径定理,得
OD ⊥BC .∴ OD ∥AC .又∵ 点O 为AB 的中点,∴ 点E 为BC 的中点.∴ OE =
21AC . *(2)【略证】连结CD .∵ ∠PCD =∠CAP ,∠P 是公共角,∴ △PCD ∽△P AC .∴ PC PD =AC
CD . ∴ 22PC PD =22AC CD .又 PC 是⊙O 的切线,∴ PC 2=PD ·DA .∴ PA PD PD ?2=2
2AC CD , ∴ PA PD =22AC CD .∵ BD =CD ,∴ PA PD =22AC BD .
(3)【略解】在Rt △ABC 中,AC =6,AB =10,∴ BC =
22610-=8.∴ BE =4. ∵ OE =AC 2
1=3,∴ ED =2.则在Rt △BED 中,BD =2
2BE ED +=25, 在Rt △ADB 中,AD =22BD AB -=45.∵ AC PD =22AC BD ,∴ 54+PD PD =36
20. 解此方程,得 PD =55,AP =95.又 PC 2=DP ·AP ,∴ PC =5955?=15.