2019-2020学年江苏省常州市天宁区正衡中学九年级上学期数学开学考

2019-2020江苏省常州市天宁区正衡中学

九年级上学期数学开学考试卷

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：①线段；

②等腰三角形；③矩形；④菱形；⑤正方形。将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（）。

【A】1 5

【B】2 5

【C】3 5

【D】4 5

【答案】D

【分析】本题主要考查图形的轴对称、图形的中心对称以及随机事件的概率。

2．设有反比例函数

1

y

k

x

+

=，（x1，y1）、（x2，y2）为其图象上的两点，若x1＜0

＜x

2时y

1

＞y

2

，则k的取值范围是（）

【A】k＞0

【B】k＜0

【C】k＞-1

【D】k＜-1

【答案】D

【分析】本题主要考察反比例函数的性质。

3( )

【A】

【B】

【C】-

【D】-

【答案】C

【分析】本题考查二次根式的性质及二次根式成立的条件解答. 解答此题,要弄清以下问题:

①定义:一般地,0)

a≥的代数式叫做二次根式.

②性质||a =.

4．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个。设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）。 【A 】250(1)196x += 【B 】25050(1)196x ++=

【C 】25050(1)50(1)196x x ++++= 【D 】5050(1)50(12)196x x ++++=

【答案】C

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用。

根据题意，可知八月份生产零件50(1)x +个，九月份生产零件250(1)x +个；因为第三季度生产零件196万个，则可得方程25050(1)50(1)196x x ++++=。

5．根据关于x 的一元二次方程20x px q ++=，可列表如下：

则方程20x px q ++=的正数解满足（ ）

【A 】解的整数部分是0，十分位是5 【B 】解的整数部分是0，十分位是8 【C 】解的整数部分是1，十分位是1 【D 】解的整数部分是1，十分位是2 【答案】 C

【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系． 由表可知 1.1＜x ＜1.2范围内使得20x px q ++=

6．对于函数2

y x

-=

,下列说法错误的是( ) 【A 】这个函数的图象位于第二、第四象限 【B 】当x>0时,y 随x 的增大而增大

【C 】这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 【D 】当x<0时,y 随x 的增大而减小

【答案】A

【分析】本题考查反比例函数的性质

解:A、∵k=-2<0,∴这个函数的图象位于第二、第四象限,故本选项正确;

B、∵k=-2<0,∴当x>0时,y随x的增大而增大,故本选项正确;

C、∵此函数是反比例函数,∴这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项正确;

D、∵k=-2<0,∴当x<0时,y随x的增大而增大,故本选项错误.

所以D选项是正确的.

7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（）。

【A】6

【B】12

【C】18

【D】24

【答案】B

【分析】本题主要考查三角形的基本概念和平行四边形。

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以DC=AB，AD=BC，

因为AC的垂直平分线交AD于点E，

所以AE=CE，

所以△CED的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，

所以平行四边形ABCD的周长=2×6=12。

故本题正确答案为B。

8．如图,在△ABC中,D、E为边AB、AC的中点,己知△ADE的面积为3,那么△ABC 的面积是( ).

【A】6

【B】9

【C】12

【D】15

【答案】C

【分析】本题主要考察相似三角形的性质 解:∵D 、E 分別是AB 、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，

∴DE ∥BC ，1

2

DE BC

∴△ADE ∽△ABC ∴

ADE ABC 2

DE =()BC

S S V V ∵△ADE 的面积为3 ∴

ABC

31=4

S V ∴S △ABC ＝12. 故选(C)

9．矩形ABCD 与CEFG 如图放置,点B,C,E 共线,点C,D,G 共线,连接AF,取AF 的中点H,连接GH,若BC=EF=2，CD=CE=1,则GH=( ).

【A 】1

【B 】23

【C

】

2 【D

【答案】C

【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理

解：

如图,延长GH 交AD 于点P,

因为四边形ABCD 和四边形CEFG 都是矩形点B.C 共线 所以AD ∥BE ∥GF ，所以∠GPH ＝∠PAH 又因为H 是AF 的中点，所以AH ＝FH 在△APH 和△FGH 中

∠PAH ＝∠GFH AH=FH

∠AHP ＝∠FHG

所以△APH ≌△FGH(ASA)所以AP ＝GF ＝1，GH ＝PH ＝1

2

PG 所以PD ＝AD-AP ＝1，因为CG ＝2，CD ＝1

所以DG ＝1，所以PG

则GH=

12

PG=2

故选C

【答案】12

a a -≠＞且

【分析】本题考查了分式方程的解，方程的解为正数，需注意x ＝2时，分式方程无意义．

【答案】－6＜x ＜－2

【分析】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的

13.已知m，n是两个不相等的实数，且满足23

m m

-=，23

n n

-=，求代数式2

222019

n mn m

-++= 。

【答案】2030

【分析】本题主要考查根与系数的关系，由条件得出m、n是方程230

x x

--=的两根是解题的关键．

解：

∵m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，

∴m、n是方程x2－x－3＝0的两根，

∴2n2－2n＝6，m＋n＝1，mn＝－3，

∴2n2－mn＋2m＋2019＝2n2－2n－mn＋2m＋2n＋2019＝6＋3＋2＋2019＝2030．

【答案】0

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的情况是解题的关键

解：由图可知，a＜0，c＜0，b＞0，

且|c|＜|b|，

所以，a＋c＜0，c－b＜0，

a 2

－|a＋c|＋(c－b)

2

－|－b|，

＝－a＋a＋c＋b－c－b，

＝0．

15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝2，BC＝3，

如果边AB上的点P，使得以P，A，D为顶点的三角形与P，B，C为顶点的三角形相似，这样的点P有________个．

【答案】3

【分析】本此题考查了相似三角形的判定和性质，根据P点不同位置进行分析，解题时要注意一题多解的情况，要注意别漏解是解题关键．

解：若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，

∴AD AP

BP BC

=，

∴

2

83

AP

AP

=

-

，

∴AP 2

－8AP＋6＝0，

∴AP＝4±10，

若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．

∴AP AD

BP BC

=，

∴

2

83

AP

AP

=

-

，

∴AP＝16

5

．

因此，点P的位置有三处，即在线段AP的长为4±10、16 5

．

故答案为：3．

16. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是________

【答案】4＜a＜5

【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质以及定理并求出AP的取值范围是解题的关键．

解：连接AP

∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，

∴对角线AC＝62

＋8

2

＝10，

∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），∴8＜AP＜10，

连接AP，

∵M，N分别是AE、PE的中点，

∴MN是△AEP的中位线，

∴MN＝1

2 AP，

∴4＜a＜5．

故答案为：4＜a＜5．

17.如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE＝1

3

AB，CF＝

1

3

CB，

AG＝1

3

AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于________

【答案】27

【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．

解：在CD上截取一点H，使得CH＝1

3

CD．连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG

交AC于P．

∵

AE AG

AB AD

=

， ∴EG ∥BD ，同法可证：FH ∥BD ， ∴EG ∥FH ，同法可证：EF ∥GH ， ∴四边形EFHG 是平行四边形， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ， ∴EF ⊥EG ，

∴四边形EFHG 是矩形，易证点O 在线段FG 上，四边形EQOP 是矩形， ∵S △EFG ＝6，

∴S 矩形EQOP ＝3，即OP ﹒OQ ＝3， ∵OP ：OA ＝BE ：AB ＝2：3， ∴OA ＝3

2

OP ，同法可证OB ＝3OQ ，

∴S_(菱形ABCD)＝12﹒AC ﹒BD ＝1

2×3OP ×6OQ ＝9OP ×OQ ＝27．

故答案为27

三、计算题（每空6分，共12分）

18（

【答案】（1【分析】本题主要考查了实数的运算。

（

=141

233????（2

（

19解方程：（2）

224

124

x x x -+=+-

【答案】3

【分析】本题考查了解分式方程

解：方程两边同乘24

x-，得()22

244

x x

-+=-

解得x=3

检验：当x=3时，240

x-≠

所以，x=3是原分式方程的解

20、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

【答案】60元或80元

【分析】此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系正确表示出月销售量．

答案：解：设销售单价定为每千克x元时，

则月销售量为：[500－（x－50）×10]＝（1000－10x）千克，

每千克的销售利润是：（x－40）元，

则（x－40）（1000－10x）＝8000，

解得：x1＝60，x2＝80．

答：要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为60元或80元．

21.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂

足为点B，反比例函数y＝k

x

（x＞0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且

AD＝3

（1）设点A的坐标为（4，4）则点C的坐标为________；（2）若点D的坐标为（4，n）．

①求反比例函数y＝k

x

的表达式；

②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，设点E是x轴的动点，请直接写出使△OCE为直角三角形的点E坐标．

【答案】60元或80元

【分析】本题主要考查的是一次函数、反比例函数的综合应用，列出关于k 、n 的方程组是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键． （1）依据中点坐标公式可求得点C 的坐标；

（2）①先用含n 的式子表示点A 、点C 的坐标，然后将点D 和点C 的坐标代入函数关系列方程组求解即可；②先求点C 与点D 的坐标，然后利用待定系数法求解即可；

（3）分为∠OEC ＝90°和∠OCE ＝90°两种情况求解即可．

【解答】解：（1）∵点C 是OA 的中点，A （4，4），O （0，0）， ∴C （

4＋02，4＋0

2

）， ∴C （2，2）；

故答案为（2，2）．

（2）①∵AD ＝3，D （4，n ）， ∴A （4，n ＋3）， ∵点C 是OA 的中点，∴C （2，

n ＋32

），

∵点C ，D （4，n ）在双曲线y ＝k

x

上，

∴ ?????k ＝2× n ＋32k ＝4n ，解得：?????n ＝1k ＝4，

∴反比例函数解析式为y ＝4

x

．

②由①知，n ＝1， ∴C （2，2），D （4，1）， 设直线CD 的解析式为

y ＝ax ＋b ，则?????2a ＋b ＝2

4a ＋b ＝1，解得：??

?

??

a ＝－ 1

2b ＝3

∴直线CD的解析式为y＝－1

2

x＋3．

（3）当∠OEC＝90°时，点E的横坐标与点C的横坐标相等，C（2，2），

∴E（2，0）．

当∠OCE＝90°时．

∵C（2，2），

∴∠COB＝45°．

∴△OCE为等腰直角三角形．

∴E（4，0）．

综上所述，点E的坐标为（2，0）或（4，0）．

22.探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．

（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；

②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足________

关系时，线段BE、DF和EF之间依然有①中的结论存在，请你写出该结论的证明过程；

（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．

【答案】（1）①EF＝BE＋DF，②∠B＋∠D＝180°（2）DE＝5 3

【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．

（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF ＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝4，根据旋转的性质得出AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，求出∠F AD ＝∠DAE ＝45°，证△F AD ≌△EAD ，根据全等得出DF ＝DE ，设DE ＝x ，则DF ＝x ，BF ＝CE ＝3－x ，根据勾股定理得出方程，求出x 即可．

解答：解：（1）①如图1，

∵把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，BE ＝DG ，∠B ＝∠ADG ＝90°， ∵∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＋∠ADG ＝90° ∴F 、D 、G 共线，

∵∠BAD ＝90°，∠EAF ＝45°， ∴∠BAE ＋∠DAF ＝45°，

∴∠DAG ＋∠DAF ＝45°，即∠EAF ＝∠GAF ＝45°， 在△EAF 和△GAF 中， ∵ ?????AF ＝AF

∠EAF ＝∠GAF AE ＝AG

∴△EAF ≌△GAF （SAS ），∴EF ＝GF ，

∵BE ＝DG ，∴EF ＝GF ＝DF ＋DG ＝BE ＋DF ； ②解：∠B ＋∠D ＝180°，

理由是：如图2，把△ABE 绕A 点旋转到△ADG ，使AB 和AD 重合， 则AE ＝AG ，∠B ＝∠ADG ，∠BAE ＝∠DAG ，

∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＋∠ADG ＝180°， ∴C 、D 、G 在一条直线上，

与①同理得，∠EAF ＝∠GAF ＝45°， 在△EAF 和△GAF 中 ?????AF ＝AF

∠EAF ＝∠GAF AE ＝AG

∴△EAF ≌△GAF （SAS ），∴EF ＝GF ， ∵BE ＝DG ，∴EF ＝GF ＝BE ＋DF ； 故答案为：∠B ＋∠D ＝180°；

（2）解：∵△ABC 中，AB ＝AC ＝2 2，∠BAC ＝90°，

∴∠ABC ＝∠C ＝45°，

由勾股定理得：22 4BC AB AC ＝＋＝，

如图3，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ． 则AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ， ∵∠DAE ＝45°，

∴∠F AD ＝∠F AB ＋∠BAD ＝∠CAE ＋∠BAD ＝∠BAC －∠DAE ＝90°－45°＝45°，

∴∠F AD ＝∠DAE ＝45°， 在△F AD 和△EAD 中 ?????AD ＝AD

∠F AD ＝∠EAD AF ＝AE

∴△F AD ≌△EAD （SAS ），∴DF ＝DE ， 设DE ＝x ，则DF ＝x ，

∵BC ＝4，∴BF ＝CE ＝4－1－x ＝3－x ，

∵∠FBA ＝45°，∠ABC ＝45°，∴∠FBD ＝90°， 由勾股定理得：DF 2＝BF 2＋BD ^(2)， x 2＝（3－x ）2＋12

，解得：x ＝53，即DE ＝53．