二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节 二次函数的图像与性质

1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质；

2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。

一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口

方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：

顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，

，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x

例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 y ＝2（x-1）2 的图像。

一、二次函数的基本形式

1. y ＝ax 2的性质：

2. y ＝ax 2＋k 的性质： （k 上加下减）

3. y ＝a （x -h ）2的性质： （h 左加右减）

4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质：

5. y ＝ax 2+bx+c 的性质：

二、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()

2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；

⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如

下：

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字

“左加右减，上加下减”．

方法二：

⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配

方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ???

，其中2424b ac b h k a a -=-=

，． 六、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-；

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．

例2、已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．

（1）求a 、m 的值；

（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小； （4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积． 例3、求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：

（1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与

y=2

1

x 2的开口大小相等，开口方向相反； （3）y=ax 2与直线

y=2

1

x ＋3交于点（2，m ）． 例4、试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移2

3

个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

例5、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，试求b 、c 的值。

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训练题:

1．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ． 2．当m= 时，y=（m －1）x

m

m +2－3m 是关于x 的二次函数．

3．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x

m

m +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称

轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．

6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为

．

7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）

A ．y=2

1

x 2

B ．y=－2

1

x 2

C ．y=－2x 2

D ．y=－x 2

8．抛物线，y=4x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）

A ．y=4

1x 2

B ．y=4x 2

C ．y=－2x 2

D ．无法确定

9．对于抛物线y=31x 2和y=－3

1x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ） A ．两条抛物线关于x 轴对称 B ．两条抛物线关于原点对称 C ．两条抛物线关于y 轴对称

D ．两条抛物线的交点为原点

10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ） 11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ）

A ．4

B ．2

C ．2

1

D ．4

1

12.已知二次函数y=41x 2－2

5

x ＋6，当x= 时，y 最小= ；当x 时，

y 随x 的增大而减小．

13．抛物线

y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式

为 ．

14．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

15．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

16．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0.

17.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。

18.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

19.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .

20.将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.

21、右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，?观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．

22、函数y=ax 2 (a ≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b ） （1)求a 和b 的值

（2）求抛物线y=ax 2 的解析式，并求出顶点坐标和对称轴；

（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2 中的y 随x 的增大而增大？

1.根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标，对称轴、最值和增减性。 ①422+-=x x y ②1422++-=x x y

③221y x x =-++ ④2516y x x =-+

2．函数y= x 2的图象向 平移 个单位得到y=x 2+3的图象；再向 平移 个单位得到y ＝(x-1)2+3的图象。